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重难点培优01 坐标法与极化恒等式、矩形恒等式在平面向
量中的应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 坐标法（★★★★★）....................................................................................................................3
题型二 极化恒等式（★★★★）..............................................................................................................12
题型三 矩形恒等式（★★★）..................................................................................................................16
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................18
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................18
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................28
1、建系的常见技巧
（1）前言
坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度
的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的.
（2）技巧
①涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等
等；
②虽然没有垂直，但有特殊角，如30°、45°、60°、120°、135°等等.
C
B
x
y
(
a
2 ,
3
2 a)
(a, 0)
A
θ
C
B
x
y
(bcosθ，bsinθ)
(a, 0)
A
x
y
D (0,b)
C(a,a)
B(a, 0)
A
x
y
D
(0，asinθ)
C(a-acosθ，asinθ)
B(a, 0)
A
2、极化恒等式
设a，b 是平面内的两个向量，则有
证明：
，①
，②
将两式相减可得
，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．
①几何解释1（平行四边形模型）以
，
为一组邻边构造平行四边形
，
，则
，由
，得
．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的
”．
②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M 为对角线的交点，则由
变形为
，得
，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们
从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量
与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
3、矩形恒等式
如图，在矩形
中，若对角线
和
交于点
，
为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关
系：①
；②
.
证明：①连接
，根据
，
可得
；
②根据极化恒等式
，可得
.
题型一 坐标法
1．如图，在直角梯形
中，
，
，
，
为
的中点，若
，则
的值（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，由
，利用向量相等求解.
【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：
则
，
所以
，
因为
，
所以
，
则
，解得
，
所以
，
故选：B
2．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的
头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现
代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形
，其中心为O，若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】构建合适的平面坐标系，标注相关点坐标，由向量线性关系的坐标表示列方程，即可得.
以
，
所在直线分别为
，
轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，
设
，则
，
因为
，所以
，
，
由
，得
，解得
，故
.
故选：A
3．（2025·江苏南京·二模）在四边形
中，
，
，
，E 是线段
中点，
是线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】建立坐标系，表示出
的坐标，根据
是线段
上的动点用参数
表示点
的函数，
从而题目可转换为关于
的二次函数在闭区间上的最小值问题.
【详解】由题以点
为坐标原点，
为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为
，E 是线段
中点，
所以
，
而
是线段
上的动点，
从而可设
，
所以点
的坐标是
，
所以
，
，
所以当
时，
的最小值是
.
故选：C.
4．已知在矩形
中，
，
，
是边
上的动点，记
，当
取最
小值时，
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，设
，
，表示出个各点坐标，利用向量模的公式可得当
最小时
，代入
，即可求解.
【详解】解法1：如图建立平面直角坐标系，不妨设
，则
，
，
，
，
所以
，
，
，
则
．
当
时，
，
最小．
由
得
，则此时
．
5．在△ABC 中，BC＝2，
，D 为BC 中点，在△ABC 所在平面内有一动点P 满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
化简整理得出
，由此将
化简，可得
．
根据
且
，得到点A 在以BC 为弦的优弧上运动（不含端点），以B 为原点建立直角坐标
系，求出
所在圆的方程，设出点A 的坐标，根据向量数量积的坐标运算法则与圆的性质求出
的最大值，进而得到答案．
【详解】由
，得
，即
，
所以
．
因为
，
，所以点A 在以BC 为弦的优弧上运动（不含端点）．
设
所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，
则MD⊥BC，
，可得
，
，
．
以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，
可得
，圆M 的方程为
，
设
，则
，结合
，
可得
，
因为A 点在圆M：
上运动，
所以
，可得当
时，
，达到最大值．
综上所述，当
时，
有最大值
．
故选：D．
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的
特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解
等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
6．（24-25 高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面四边形
中，
，点
是线段
上的一点，且
，点
是线段
上的一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据余弦定理求解
长度，进而可得
，
．
是等边三角形，建
立直角坐标系，利用向量的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解
【详解】以
为原点，
所在的直线分别为
轴，
轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
连接
，在
中，由余弦定理得
．所以
，
所以
．而
，所以
．
连接
，在
中，由余弦定理得
．所以
，
所以
．在
中，
，
所以三角形
是等边三角形，所以
，
所以
．设
，令
，
即
，所以
，所以
，
所以
，
所以当
时，
有最小值为
．
故选:B．
7．（24-25 高三上·河南·月考）在等腰
中，
，
，以点
为圆心作半径为的圆，
点
为此圆上的动点，若动点
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】以
为原点，建立平面直角坐标系，得到以
为圆心，半径为的圆方程为
，
设
，
，根据
，求得
，进而得到
，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，以
为原点，以
所在的直线为
轴，建立平面直角坐标系，
因为
，
，可得
，
以
为圆心作半径为1 的圆，可得圆的方程为
，
由点
在圆
上，可得设点
的坐标为
，
因为
，可得
，
可得
，所以
，
所以
，其中
，
所以当
时，
取得最小值，最小值为
.
故选：B.
8．根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两
直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形
（其中
，
）按上述操作
作图后，得如图所示的图形，若
，则
.
【答案】
/
【分析】依题意，建立平面直角坐标系，设
，求得
的坐标，再由
列
式求解即可.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系：
设
，则
，
则
，
，
所以
，即
，
所以
，
因为
，
所以
，则
，
所以
，
则
，
故答案为：
.
9．如图所示，梯形
中，
，点
为
的中点，
，
，若向
量
在向量
上的投影向量的模为
，设
，
分别为线段
，
上的动点，且
，
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，用
设点
，
坐标，使用向量数量积的坐标运算建立函数求解.
【详解】
∵
，∴
，以
为原点，直线
，
分别为
轴，
轴建立平面直角坐标系，
∵向量
在向量
上的投影向量为
，∴
，∴
，
由已知，设
，
，（
，
），
则
，
，
，
∵
，∴
，即
，
∴
，∴
，
，∴
，
又∵
，
分别为线段
，
上的动点，且
，
，
∴
，解得
，
且
，
，
∴
，
，
∴
，
，
∴
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
设
，
，则由以上基本不等式所求最小值可知，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
，
，
∴
的最小值为
，最大值为
∴
的取值范围是
.
故答案为：
.
题型二 极化恒等式
【技巧通法·提分快招】
1、适用范围
极化恒等式适用于共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化.例如在三角形中求两边向量的数
量积，可利用极化恒等式进行转化求解.
不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题
2、使用方法
在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下：
（1）取第三边的中点：连接向量的起点与中点.比如在
中，若求
.
，取
中点
，连接
.
（2）利用公式转化：将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差，即
.
（3）求相关长度：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积.
1．（23-24 高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形
的边长为4，若动点
在以
为直径的半圆
上（正方形
内部，含边界），则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件及极化恒等式，结合向量的线性运算即可求解.
【详解】取
的中点
，连接
，如图所示，
所以
的取值范围是
，即
，
又由
，
所以
.
故选：B.
2．（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为
，半径为1 的圆O 的圆心为正六边形的中心，若点M
在正六边形的边上运动，动点A，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得
，再由
的范围，即可得
到结果.
【详解】由题意可得，
，
当
与正六边形的边垂直时，
，
当点
运动到正六边形的顶点时，
，
所以
，则
，即
.
故选：B
3．已知正
内接于半径为2 的圆
，
为线段
上一动点，延长
，交圆
于点
，则
的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据数量积的定义，虽夹角不变，但长度时刻变化，导致数量积不易求，观察发现
为定线段，
可用极化恒等式转化．
【详解】如图，取
中点为
，连结
．
由条件可知
，
．
因为点
在劣弧
上，当点
在点
处时取最小值，当点
在点
处时取最大值，
所以
，所以
．
故答案为：
4．（2025 高一·全国·专题练习）如图，在边长为1 的正方形
中，
是以
为圆心，
为半径的圆
弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解.
【详解】如图，取
的中点
，
，
而
，所以
．
故答案为：
5．2024 年12 月4 日，我国“春节”正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．贴窗
花是春节的常见习俗，如图①是一种窗花，可将其视为如图②的正八边形
，已知
是其边上
任意一点，
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】取
的中点
，根据向量的线性运算可得
，结合正八边形的特征，求出
，即可得答案.
【详解】如图，取
的中点
，
则
，
当点
与点
或点
重合时，
取得最大值，
易得正八边形的内角为135°，
可解得
，
所以
，
故
的最大值为
．
故答案为：
题型三 矩形恒等式
【技巧通法·提分快招】
（1）矩形恒等式，适用于以矩形为背景的问题.如果题目本身给出了矩形当然好，如果没给出矩形，但是
给出了两条线段(两个向量垂直)，那么我们就可以以这个直角为矩形的一个内角，构造矩形.一旦构造出矩
形，就可以运用矩形恒等式解决问题了.
（2）矩形恒等式的第一个结论，往往适用于求向量的数量积.这两个向量的数量积不容易求，就可以转化
为另外两个向量的数量积.这里体现了数学中的转化(化归)思想，具有深刻的意义.
（3）矩形恒等式的第二个结论，往往运用于与向量(线段)长度有关的问题.如果两个向量的长度都不确
定，另外两个向量中一个长度确定，那么这种转化一定会给我们带来极大的方便.
模长平方和：|PA|² + |PC|² = |PB|² + |PD|²，适用于求解向量长度相关的最值或范围问题.结合三角不等式或轨
迹分析，例如在圆上求线段长度时，通过矩形恒等式转化为对角线关系，快速得出范围.
1．在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则
A. 2 B.4 C.5 D.10
【解析】把直角三角形ABC 补成矩形
易知
，
所以
故
故选D
2．在三角形
中,
,
，点P 满足
,则
的最大值为( )
A.11 B.16 C.18 D.25
【解析】把三角形ABC 补成矩形ACBD 则
易知点P 在以C 为圆心半径为2 的圆上
延长DC 与圆交于点E
当P 点与E 点重合时
最大，
故选B
3．在矩形
中，
，
，
为矩形
所在平面上一点，满足
，
，则
__________.
【解析】连接
，取
的中点
，连接
和
，
因为
，
所以
.
4．在四边形
中，
，
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】构造正方形
和圆弧，根据矩形恒等式可知，
，数形结合得到最小值.
【详解】如图所示，构造正方形
，边长为
，
以
为圆心，
为半径在正方形内部作作圆，
显然
在圆弧上，根据矩形恒等式可知，
，
故当
，
，
三点共线时，
取得最小值，
由于
，
，
故最小值为
.
故答案为：
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．已知平面四边形
，
，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】构建以
为坐标原点，
所在直线为
轴，垂直于
的直线为
轴建立如图所示的平面直角坐
标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求
，
，得到两个关系式，
即可
求值；
【详解】以
为坐标原点，
所在直线为
轴，垂直于
的直线为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则
因为
，
，
化简
，即
化简得
，即
所以
，即
,
故选：B.
2．（多选题）如图，在直角梯形
中，
，
，E 为AB 的中点，M，N 分别为线段DE
的两个三等分点，点P 为线段BD 上的任意一点，若
，则
的值不可能是（ ）
A．
B．3
C．7
D．9
【答案】ACD
【分析】建立适当的平面直角坐标系，依次设
和
并结合
和
得关于
的方程组即可求解.
【详解】由题可建立如图以A 为坐标原点的平面直角坐标系，
则
，不妨设
，则
，
则
，
设
，则
，
因为
，所以
，
所以
，整理得
因为
，所以
.
故选：ACD
3．（2024·湖北·模拟预测）四边形
是边长为4 的正方形，点
是正方形内的一点，且满足
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意建立直角坐标系，设
，写出
坐标，可得点
的轨迹方程，进而可求出
的最大值.
【详解】根据题意，建立如图所示的直角坐标系，
设
,
.
所以
,
,
,
,
所以
,
因为
,
即
,
故点
在以点
为圆心，半径为
的圆周上运动，
所以
的最大值为
.
故选：D.
4．（24-25 高三上·北京海淀·月考）已知正方形
的边长为2，以B 为圆心的圆与直线
相切，若点
P 是圆B 上的动点，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．4
D．8
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，设
，
，求出
，由数量积的定义结合
三角函数的性质即可得出答案.
【详解】设
交于点
，
因为以B 为圆心的圆与直线
相切，所以半径
，
建立如下图所示的直角坐标系，可得圆
：
，
则
，
，
所以
，
所以
，
，
当
，即
，则
的最大值是.
故选：D.
5．在直角梯形
中，
，
，
，点
为梯形
四条边上的
一个动点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】此题可以先证明一下极化恒等式，再使用，轻松解决此题.
【详解】如图
中，O 为AB 中点，
（极化恒等式）
共起点的数量积问题可以使用.
如图，取
中点
，则由极化恒等式知，
，要求
取值范围，只需要求
最大，最小即可.
由图，可知
最大时，P 在D 点，即
，此时
，
最小时，P 在O 点，即
，此时
.
综上所得，
取值范围为:
.
故选：D.
6．（23-24 高三下·湖北武汉·月考）点
是边长为1 的正六边形
边上的动点，则
的最大值
为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】C
【分析】借助
中点Q 和平方差公式得
，再探究PQ 的最大值即
可.
【详解】分别取
，
中点Q，R，连接
，
，
则由题
，
，即
，
所以
，
作图如下，由图可知当P 运动到D 或E 时PQ 最大，
所以
，
所以
的最大值为3.
故选：C.
7．如图，在四边形
中，已知
，
，
，点
在边
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】方法一：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后利用平面向量的线性运算及向
量数量积的运算律将问题转化为二次函数形式求向量数量积的最值；
方法二：利用已知条件及勾股定理判断线段所在直线的关系，然后建立平面直角坐标系，将问题转化为向
量数量积的坐标表示，得出二次函数，最后利用二次函数性质求出向量数量积的最值即可；
方法三：同方法二一样，但是选择另外的边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，将问题转化为平面向
量坐标形式求解即可；
【详解】解法一 由
，
，
，
得
，
，
所以
，
，
．
设
，则
，所以
，
当且仅当
时，
取得最小值
．
解法二： 由
，
，
，
得
，
，
所以
，
，
，
，
连接
，交
于点
，则易知
，
建立如图所示的平面直角坐标系
，
则
，
，
，
，
所以
．
设
，
则
，
所以
，
，
，
则
，
当且仅当
时，
取得最小值
．
解法三 由
，
，
，
得
，
，
所以
，
，
，
，
如图，
分别以
所在的直线为
轴、
轴建立平面直角坐标系，
所以
，
．
因为点
在边
上，
所以设
，
所以
，
，
所以
，
当且仅当
时，
取得最小值
．
故选：A.
8．在平面四边形
中，
，
，
.若点
为线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】取
中点为
，结合极化恒等式以及余弦定理，即可求得结果.
【详解】根据题意，连接
，取
中点为
，作图如下：
，
在三角形
中，由余弦定理可得：
，即
，
则
，故
，
显然当且仅当
时，
取得最小值，
故
，
的最小值为
.
即
的最小值为
.
故选：
9．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为
的等边
，动点
在以
为直径的半圆上.若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧
的方程为：
，设
，根据向量的坐
标运算法则算出
关于
的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可．
【详解】由题意可以
所在直线为x 轴，
的垂直平分线为
轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得
，
，
，
半圆弧
的方程为：
，
设
，则
，
，
，
由
得：
，
解得：
，
所以
，
因为
在
上，所以
，
又
，
则可设
，
，
，
将
，
代入
整理得：
，
由
得
，
所以
，
，
故
的取值范围是
.
故选：D.
10．已知点
为矩形
所在平面上一点,若
,则
为
【解析】由
得
.
11．已知向量
，
，满足
，
，
，且
，则
的取值范围是
__________.
【解析】如图所示，令
，
，
，易知
，
则作矩形
，根据矩形恒等式可知
，
即
，
根据
，
，
即
，
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知正六边形
的边长为4，圆
的圆心为该正六边形的中心，圆
的半径为2，圆
的直径
，点
在正六边形的边上运动，则
的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】D
【分析】根据
，结合正六边形的性质求解
的范围即可.
【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知，
，
，
，
，
，
均
是边长为4 的等边三角形，
当点
位于正六边形
的顶点时，
取最大值4，
当点
为正六边形各边的中点时，
取最小值，即
，
所以
．
所以
，
即
的最小值为8．
故选：D
2．在平面直角坐标系中，原点
，已知
，
，
是线段AB 上的动点（含端点），且
为
的中点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】可设
（
），利用
表示出
，再利用二次函数值域的求法求解.
【详解】如图：
设
（
），
则
，
又
，
所以
.
所以
，（
）.
所以当
时，
取得最小值，为
；
当
时，
取得最大值，为
.
所以
.
故选：A
3．已知非零向量
与
满足
，且
，点
是
的边AB 上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意条件可知，
，取
的中点
，连接
，则
⊥
，
，
，
，由极化恒等式得到
，进而求出
的最小值，得到答案.
【详解】因为
分别表示
与
方向上的单位向量，
所以
表示
的平分线上的共线向量，
又
，即
与
垂直，
由三线合一可知，
，
如图，取
的中点
，连接
，则
⊥
，
又
，其中
，
所以
，
，故
，
由于
，
，两式平方相减可得
，
当
⊥
时，
取得最小值，
其中由勾股定理得
，
故
，
故
的最小值为
.
故选：D
4．如图，已知正方形
的边长为4，若动点P 在以
为直径的半圆上（正方形
内部，含边
界），则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到
，结合
的最值得到答案.
【详解】取
的中点
，连接
，
则
，
，
两式分别平方再相减得
，
设
中点为
，连接
交圆弧于点
，则当
与
重合时，
最小，最小值为2，
当当
与
或
重合时，
最大，最大值为
，
所以
.
故选：B
【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的
特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解
等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
5．已知
，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题设向量模长和垂直条件，考虑运用几何法求解，由
想到构造矩形
，运用极
化恒等式推导出结论
，求得
,最后用三角形三边关系定理得到
的范围，
转化即得.
【详解】
如图，设
，
，
，点
在圆
上，
点
在圆
上，则
，
，由
可得：
，
作矩形
, 则
.
下证：
.
设
交于点
，连接
,因
则
，
同理可得：
，两式左右分别相加得：
，
.
即
，故
.
又
，因
，
即
，故有
．
故选:C．
5．（多选题）窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的
艺术门类，图1 是一个正八边形窗花，图2 是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH
的边长为4，P 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
在
方向上的投影向量为
C．
的最大值为
D．若函数
，则函数
的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，由向量的线性运算可得；对于B，由
在
方向上的投影向量为
代入坐
标运算即可；对于C，由
，根据几何意义求
的最大
值即可；对于D，设设
，则
，即当
时，
取得最小值，根
据图形求
最小值即可.
【详解】根据题意，每个小三角形为全等的等腰三角形，顶角为
，
，以
为原点，
分别为
轴，设
，
则
，解得
，
，
对于A，因为
，
，所以
，故A 正确；
对于B，
，
在
方向上的投影向量为
，故B 错误；
对于C，设
中点为
，
，所以
取最大即
取最大，
由题知，当
在点
或点
处时，
取最大，
此时
，
，
，
所以
，故C 正确；
对于D，设
，
，
所以当
时，
取的最小值，
根据题意，
，所以
在
延长线上，
又
，则
，
所以
，故D 正确；
故选：ACD.
6．已知平面向量
分别满足
与
的夹角是
，则
的最大值
为 .
【答案】
【分析】根据题意建系，设
取
，
，由图可得
，
由题得
，
，由正弦定理可得
，再利用向量数量积的定义将所求式化
成关于角
的正弦型函数，利用正弦函数的单调性即可求得答案.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，设点
取
，
满足
则
，取
，连接
，则
，
依题意
，
记
中角
所对的边分别为
，由正弦定理，
，
则得
，
由
，因
，故
，
故当
，即当
时，
取得最大值1，
此时
取得最大值为
.
故答案为：
.
