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微专题01 平面向量
【秒杀总结】
结论1：极化恒等式
1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设
，
，则
，
（1）
（2）
（1）（2）两式相加得：
2、极化恒等式：
上面两式相减，得：
————极化恒等式
（1）平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的
．
（2）三角形模式：
（M 为BD 的中点）
结论2：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等．
已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：
．
【证明】（坐标法）设
，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，
则
，设
，则
1
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结论3：三点共线的充要条件
设
、
、
是三个不共线向量，则A、B、P 共线
存在
使
．
特别地，当P 为线段AB 的中点时，
．
结论4：等和线
【基本定理】
（一）平面向量共线定理
已知
，若
，则
三点共线；反之亦然．
（二）等和线
平面内一组基底
及任一向量
，
，若点
在直线
上或者在平行
于
的直线上，则
（定值），反之也成立，我们把直线
以及与直线
平行的直线称为等和
线．
（1）当等和线恰为直线
时，
；
（2）当等和线在
点和直线
之间时，
；
（3）当直线
在点
和等和线之间时，
；
（4）当等和线过
点时，
；
（5）若两等和线关于
点对称，则定值
互为相反数；
l
A
Q
B
O
A1
B1
P
结论5：奔驰定理
【奔驰定理】若O 为
内任一点，且
，则
2
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【典型例题】
例1．在
中，
是
的中点，
，则
____．
【答案】-16
【解析】因为
是
的中点，由极化恒等式得：
．
例2．（2024·江西新余·高三统考期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一
个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容
是：已知M 是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
．以下命题正确的有（ ）
A．若
，则M 为
的重心
B．若M 为
的内心，则
C．若M 为
的垂心，
，则
D．若
，
，M 为
的外心，则
【答案】ABC
【解析】A 选项，因为
，所以
，
取
的中点
，则
，所以
，
故
三点共线，且
，
同理，取
中点
，
中点
，可得
三点共线，
三点共线，
所以M 为
的重心，A 正确；
3
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B 选项，若M 为
的内心，可设内切圆半径为，
则
，
，
，
所以
，
即
，B 正确；
C 选项，若M 为
的垂心，
，
则
，
如图，
⊥
，
⊥
，
⊥
，相交于点
，
又
，
，即
，
，即
，
，即
，
设
，
，
，则
，
，
，
因为
，
，
所以
，即
，
4
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同理可得
，即
，故
，
，则
，
故
，
，则
，
故
，
，
故
，
同理可得
，
故
，C 正确；
D 选项，若
，
，M 为
的外心，
则
，
设
的外接圆半径为
，故
，
，
故
，
，
，
所以
，D 错误.
5
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故选：ABC
例3．正三角形内接于半径为2 的圆O，点P 是圆O 上的一个动点，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】取AB 的中点D，连结CD，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O
在CD 上，且
，所以
，
（也可用正弦定理求AB）
又由极化恒等式得：
因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，
当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，
所以
例4．已知圆
与
，定点
，A、B 分别在圆
和圆
上，满足
，则线段AB 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以
为邻边作矩形
，则
由
得
，即
，
的轨迹是以
为圆心，半径为
的圆，
6
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，
．
例5．给定两个长度为1 的平面向量
和
，它们的夹角为
，点
在以
为圆心的圆弧
上
变动．若
，其中
，则
的最大值是__________．
【答案】2
【解析】（秒杀）作平行于AB 的直线l，当且仅当l 与圆相切时，
的取最大值2．
令
，则由
得
．
由
三点共线可得
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）已知向量
满足
，
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以可以构造如图正
：
7
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使得：
，
，延长
到
，使得
，
以
为圆心，
为半径作圆，
因为
，所以
的终点
在这个圆上.
所以
所以
，
而
，
.
所以
.
故选：C
2．（2024·北京西城·高三北京师大附中校考开学考试）如图，圆
为
的外接圆，
，
为边
的中点，则
（ ）
A．10
B．13
C．18
D．26
【答案】B
【解析】
是
边的中点，可得
，
是
的外接圆的圆心，
，
8
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同理可得
，
．
故选：B．
3．（2024·云南保山·高三统考期末）如图，已知正方形
的边长为4，若动点
在以
为直径的半
圆上（正方形
内部，含边界），则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取
的中点
，连接
，如图所示，
所以
的取值范围是
，即
，
又由
，
所以
.
故选：B.
4．（2024·全国·校联考模拟预测）在等腰
中，角A，B，C 所对应的边为a，b，c，
，
，P 是
外接圆上一点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意等腰
中，
，
，
9
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故
，设
外接圆半径为R，则
；
以
的外接圆圆心为原点，以
的垂直平分线为y 轴，
过点O 作
的平行线为x 轴，建立平面直角坐标系，
则
，设
，
，
则
，
，
则
，
，
故
，
因为
，故
，
即
的取值范围是
，
故选：C
5．（2024·北京通州·高三统考期末）在菱形
中，
是
的中点，
是
上
一点（不与
，
重合），
与
交于
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示：当点
与点
重合时，此时
最长，
易知
，且相似比为
，
，在
中，由余弦定理得：
，
10
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所以
，此时满足
，所以
，
所以
，此时
，
由图可知，
，
则
.
故选：B.
6．（2024·全国·校联考模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知
，
，动点P 满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．P 的轨迹为圆
B．P 到原点最短距离为1
C．P 点轨迹是一个菱形
D．点P 的轨迹所围成的图形面积为4
【答案】C
【解析】设P 点坐标为
，则由已知条件
可得
，整理得
．
又因为
，所以P 点坐标对应轨迹方程为
．
，且
时，方程为
；
，且
时，方程为
；
，且
时，方程为
；
，且
时，方程为
．
P 点对应的轨迹如图所示：
，且
，所以P 点的轨迹为菱形．A 错误，C 正确；
原点到
：
的距离为
B 错误；
轨迹图形是平行四边形，面积为
，D 错误．
故选：C．
7．（2024·全国·统考模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机
11
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物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知
与
为全等的正六边形，且
，点
为该图形边界（包括顶点）上的一点，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取线段
的中点
，则
，
，
由图可知，当点
与点
重合时，
取最小值，且
，
由图形可知，当
取最大值时，点
在折线段
上，
连接
，则
，
同理
，
由正六边形的几何性质可知，
，
所以，
，
则
、
、
三点共线，则
，即
，
当点
在线段
上从点
运动到点
的过程中，
在逐渐增大，
同理可知，
，
当点
在线段
上由点
到
的过程中，
在逐渐增大，
所以，当
取最大值时，点
在折线段
上运动，
以线段
的中点
为坐标原点，
所在直线为
轴，
线段
的垂直平分线所在直线为
轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
12
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则
、
、
、
、
、
、
，设点
，
（1）当点
在线段
上运动时，
，
直线
的方程为
，即
，
所以，线段
的方程为
，
则
；
（2）当点
在线段
上运动时，
，
，则
，
所以，
；
（3）当点
在线段
上运动时，
，
直线
的方程为
，即
，
所以，线段
的方程为
，
所以，
，
因为函数
在
上单调递增，
故
.
综上所述，
的最大值为
，故
，
故
的取值范围是
.
故选：B.
8．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）在
中，
，D 为AB 的中点，
，P 为CD
上一点，且
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为D 为AB 的中点，则
，
可得
，即
，解得
，
又因为P 为CD 上一点，设
，
则
，
可得
，解得
，即
，
则
，
可得
，即
.
故选：D.
9．设
，根据平面向量基本定理求得
；
10．以
为基底表示
，进而运算求解.
二、多选题
11．（2024·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知直线
，圆
，且
圆
过点
，直线与圆
交于
两点，下列结论中正确的是（ ）
A．圆
的半径为2
B．直线过定点
C．
的最小值是
D．
的最大值是0
【答案】ABD
【解析】由圆
过点
，得
，圆
的圆心
，半径
，
A 正确；
14
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直线
，由
，得
，即直线过定点
，B 正确；
显然点
在圆
内，
，当
时，
，C 错误；
当弦
长最小时，圆心角
最小，此时
，则
，
因此
，当且仅当
时取等号，D 正确.
故选：ABD
12．（2024·贵州·校联考模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确
的是（ ）
A．若
，且
，则
为直角三角形
B．若
，
，
，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
C．若
平面内有一点
满足：
，且
，则
为等边三角形
D．若
，则
为钝角三角形
【答案】BC
【解析】对于选项A，因为
，
，
分别为单位向量，所以
的角平分线与
BC 垂直，所以
，所以
.又因为
，
即
，因为
，所以
，所以
，所以
为等边三角形，故选项
A 错误；
对于选项B，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
，因为
，
，所以
，即
，所以
，故选项B 正确；
15
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对于C，因为
，故
，即
，又
，所以
，故
，由于
，故
，同理可得
，结合
，故
，可
得
，故
为等边三角形，C 正确；
对于D.
，
而
，所以A，B，C 都为锐角，D 错误；
故选：BC.
13．（2024·安徽淮北·统考一模）如图，边长为2 的正六边形
，点
是
内部（包括边界）
的动点，
，
，
.（ ）
A．
B．存在点
，使
C．若
，则点
的轨迹长度为2
D．
的最小值为
【答案】AD
【解析】设
为正六边形的中心，
根据正六边形的性质可得
且四边形
均为菱形，
，故A 正确，
假设存在存在点
，使
，则
,其中点
为以
为邻边作平
行四边形的顶点，
所以
在直线
上，这与点
是
内部（包括边界）的动点矛盾，故B 错误，
当
时，
，
取
,则
,所以点
的轨迹为线段
,
16
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其中
分别为过点
作
与
的交点，
由于
为
的中点，所以
,故点
的轨迹长度为1，C 错误，
由于
,
,
过
作
于
，则
,所以此时
，
由于
分别为
上的分量，且点点
是
内部（包括边界）的动点，所以
当
位于
时，此时
同时最小，故
的最小值为
故选：AD
14．（2024·黑龙江·高三校联考期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一
个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：
已知
是
内一点，
的面积分别为
，且
.
以下命题正确的有（ ）
A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
，
为
的外心，则
D．若
为
的垂心，
，则
【答案】ABD
【解析】对于A，取
的中点D，连接
，
由
，则
，
所以
，
17
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所以A，M，D 三点共线，且
，
设E，F 分别为AB，AC 的中点，同理可得
，
，所以
为
的重心，故A 正确；
对于B，由
为
的内心，则可设内切圆半径为，
则有
，
所以
，
即
，故B 正确；
对于C，由
为
的外心，则可设
的外接圆半径为
，
又
，
则有
，
所以
，
，
，
所以
，故C 错误；
对于D，如图，延长
交
于点D，延长
交
于点F，延长
交
于点E，
18
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由
为
的垂心，
，则
，
又
，则
，
，
设
，则
，
所以
，即
，
所以
，所以
，故D 正确.
故选：ABD．
15．（2024·山东菏泽·高三统考期末）如图，顺次连接正五边形
的不相邻的顶点，得到五角星形状，
则以下说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由正五边形的对称性可得，每个正五边形的内角为
，
对于A，在
中，
，
则
，进而
，
所以
，同理可得
，故四边形
是平行四边形，
所以
，故A 正确；
对于B，由对称性可得
，且
，
所以
，故B 正确；
19
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对于C，假设
，因为
，所以
，
由对称性可得
，所以
，得
是等边三角形，
则
，所以
，故C 不正确.
对于D，要证
，即证四边形
是平行四边形，
因为五边形
为正五边形，所以
，
因为在
中，
，所以
，
，进而
，
所以
，同理可得
，故四边形
是平行四边形，
故D 正确.
故选：ABD.
16．（2024·全国·校联考模拟预测）已知平面向量
满足
，
，且对任意的实数，都有
恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．
与
垂直
B．
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【答案】AC
【解析】由
恒成立得
，
即
恒成立，
因为
，
，
设
夹角为
，则
恒成立，
所以
，
即
，
所以
，则
，
所以
，
20
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所以
，
所以
与
垂直，A 正确；
，B 不正确；
设
，
，
则
，
所以
，
其几何意义是
与
和
连线的距离之和的2 倍，
当三点共线时取得最小值，最小值为
，C 正确；
，
，
所以
其几何意义是
与
和
连线的距离之差的2 倍，
当三点共线时最得最大值，最大值为
，D 不正确，
故选：AC.
三、填空题
17．（2024·天津红桥·统考一模）如图所示，在
中，点
为
边上一点，且
，过点
的
直线
与直线
相交于
点，与直线
相交于
点（
，
交两点不重合）.若
，则
，若
，
，则
的最小值为 .
21
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【答案】
【解析】在
中，
，
，则
，
故
，
故
；
又
，而
，
，
所以
，则
，
又
三点共线，所以
，结合已知可知
，
故
，
当且仅当
，结合
，即
时，取等号；
即
的最小值为
，
故答案为：
；
18．（2024·天津·高三校联考期末）在梯形
中，
分
别为线段
和线段
上的动点，且
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】以点
为坐标原点，直线
为
轴，过点
且垂直于直线
的直线为
轴建立如下图所示的平
面直角坐标系，
22
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则
、
、
、
，则
，
由题意可得
，解得
，
，
所以，
，
由对勾函数的单调性可知，函数
在区间
上单调递增，
在
上单调递减，且
，
，
则
.
因此，
的取值范围是
.
故答案为：
.
19．（2024·全国·校联考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．
在2022 年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿
望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形
的边长为
，中心为
，四个半圆的圆心均在正方形
各边的中点（如右图）．若点
在四个
半圆的圆弧上运动，则
的取值范围是 .
【答案】
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【解析】以
原点，
为
轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.
因为正方形
的边长为
，所以
，
则
、
，则
，
设
的中点为
，则
，
，所以，
，
因为
是半圆
上的动点，设点
，
则
，其中
，则
，
所以，
，
由对称性可知，当点
在第三象限的半圆弧上运动时（包含点
、
），
，
当点
在第一象限的半圆弧上运动时（包含点
、
），
的中点为
，半圆的半径为
，
可设点
，其中
，则
，
，则
，
同理可知，当点
在第四象限内的半圆弧上运动时（包含点
、
），
.
综上可知，
的取值范围是
.
故答案为：
.
20．（2024·四川·高三校联考期末）过圆
外一点
作圆
的两条切线，切点为
，则
的最小值为 ，此时，
．
【答案】
【解析】圆
的标准方程为
，设
，
24
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则
，有
，
又
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
的最小值为
，
此时
．
故答案为：
；
.
21．（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知
是边长为3 的等边三角形，
为
上一点，
为
的中心，
为
内一点（包括边界），且
，则
的最大值为 .
【答案】3
【解析】因为
，
，
三点共线，所以
，解得
，
即
为
上靠近点
的三等分点.
利用向量的投影定义，可知当
位于点
时，
取得最大值，
最大值为
.
故答案为：3
22．（2024·天津宁河·高三统考期末）在平行四边形
中，
，
是
的中点，
，
若设
，则
可用
，
表示为 ；若
的面积为
，则
的最小值为
．
【答案】
【解析】如图所示，根据向量的运算法则，
可得
，
25
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设
，因为
的面积为
，可得
，即
，
又由
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
；
.
23．（2024·广东惠州·统考一模）已知
为函数
图象上一动点，则
的最大值为
．
【答案】
【解析】设
，原点
，则
，
；
所以
，即
，
如图所示，所以当直线
与函数
在
轴右侧相切时，
取到最大值，即
取
得最大值；
联立直线
与函数
可得
，
所以
，解得
（
舍去）；
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此时
，所以
，
即
的最大值为
.
故答案为：
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