重难点16 坐标法与极化恒等式、等和（高）线定理在平面向量中的
应用
【全国通用】
【题型1 坐标法解决平面向量线性运算问题】.....................................................................................................4
【题型2 坐标法解决平面向量数量积问题】.........................................................................................................6
【题型3 坐标法解决向量共线、垂直问题】.........................................................................................................7
【题型4 利用极化恒等式求值】..............................................................................................................................9
【题型5 利用极化恒等式求最值（范围）】........................................................................................................11
【题型6 等和线解决系数和问题】........................................................................................................................15
【题型7 等和线解决其他系数问题】....................................................................................................................18
1、坐标法、极化恒等式与等和（高）线定理
坐标法是解决平面向量问题的重要方法，坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达
成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统
一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的.
极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型
和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
等和（高）线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值
（范围）中有着重要作用.
知识点
1 坐标法解决平面向量问题
1．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和
（差）
的坐标表示
由于向量⃗a=(
)，⃗b=(
)等价于⃗a=
，⃗b=
，所以⃗a+⃗b=(
)+(
)=
，即⃗a+⃗b=(
).同理可得⃗a-⃗b=(
).
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由⃗a=(x,y)，可得⃗a=
，则λ⃗a=
=
，即λ⃗a=(λx,λy).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量⃗a=(
)，⃗b=(
)等价于⃗a=
，⃗b=
，所以⃗a·⃗b=(
)·(
)=
.又
=1，
=1，
=
=0，所以⃗a·⃗b=
.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若⃗a=(x,y)，则
或
.
其含义是：向量⃗a的长度(模)等于向量⃗a的横、纵坐标平方和的算术平方根.
3．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设⃗a=(
)，⃗b=(
)，其中⃗b≠0.向量⃗a，⃗b (⃗b≠0)共线的充要条件是
.
②三点共线的坐标表示
若A(
)，B(
)，C(
)三点共线，则有
，从而
，
即
.
(2)夹角的坐标表示
设⃗a，⃗b都是非零向量，⃗a=(
)，⃗b=(
)，是⃗a与⃗b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得
.
(3)垂直的坐标表示
设⃗a=(
)，⃗b=(
)，则
.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
4．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐
标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
知识点
2 极化恒等式
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设
，则
，
，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：
————极化恒等式
平行四边形模式：
.
2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的
．
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线
长”平方差的
，即
(如图).
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即
(M 为BC 的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
知识点
3 等和
( 高
) 线定理
1．等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若
(λ,μ∈R)，则
λ+μ=1 ，由△OAB 与△OA'B' 相似，必存在一个常数k,k R
∈
，使得
，则
，又
(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立.
(2)平面内一个基底
及任一向量
，
(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB 上或在平行
于AB 的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和
( 高
) 线
.
①当等和线恰为直线AB 时，k=1；
②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k (0,1)
∈
；
③当直线AB 在O 点和等和线之间时，k (1,+
∈
∞)；
④当等和线过O 点时，k=0；
⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.
【题型1 坐标法解决平面向量线性运算问题】
【例1】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量⃗a=(−1,0)，⃗b=(0,1)，则⃗a+2⃗b的坐标为（ ）
A．(−1,2)
B．(−1,1)
C．(0,1)
D．(1,2)
【答案】A
【解题思路】利用平面向量的坐标运算求得结果.
【解答过程】由⃗a=(−1,0)，⃗b=(0,1)，
则⃗a+2⃗b=(−1,0)+(0,2)=(−1,2).
故选：A.
【变式1-1】（2025·云南曲靖·二模）已知A (−2,1),B (−1,3),C (3,4)，若点D 满足⃗AB =⃗DC，则点D的
坐标为（ ）
A．(2,2)
B．(3,1)
C．(1,3)
D．(5.5)
【答案】A
【解题思路】设点D (x , y)，求出⃗AB ,⃗DC，再列出方程，即可得解.
【解答过程】设点D (x , y)，
则⃗AB =(1,2),⃗DC =(3−x ,4−y)，
又⃗AB =⃗DC，所以{
1=3−x
2= 4−y)⇒{
x =2
y =2)，
所以点D的坐标为(2,2)，
故选：A.
【变式1-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知向量⃗a=(1, x−2)，⃗b=(x ,3)，若⃗a= λ⃗b(λ>0)，则x等于
（ ）
A．−3
B．−1
C．1
D．3
【答案】D
【解题思路】根据向量平行的坐标条件列出关于x的方程，结合λ>0求解即可.
【解答过程】因为⃗a= λ⃗b，所以(1, x−2)= λ(x ,3)，即{
1= λx
x−2=3 λ)，
因为λ>0，解得{
λ = 1
3
x =3)
．
故选：D.
【变式1-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知向量⃗w，⃗v，⃗u在正方形网格中的位置如图所示，将⃗w绕着起
点顺时针方向旋转90
∘后得到向量⃗a，若⃗u=m⃗a−n⃗v，则m+n=（ ）
A．−7
2
B．−1
2
C．3
2
D．5
2
【答案】A
【解题思路】建立如图所示直角坐标系，利用向量的坐标表示求解即可；
【解答过程】
由图可得⃗a=⃗EG，以A为原点，AC为y轴，AE为x轴建立平面直角坐标系，
设每个小正方形的边长为1，
C (0,3), A (0,0), E (3,0),B (3,1), D (3,2),G (5,−2)，
所以⃗a=(2,−2),⃗u=⃗AB =(3,1),⃗v =⃗CD =(3,−1)，
因为⃗u=m⃗a−n⃗v，即(3,1)=m(2,−2)−n(3,−1)⇒(3,1)=(2m−3n,−2m+n)，
所以{
3=2m−3n
1=−2m+n)⇒{
n=−2
m=−3
2)
，
所以m+n=−7
2.
故选：A.
【题型2 坐标法解决平面向量数量积问题】
【例2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量⃗a=(2,4),⃗b=(m,8)，若⃗a⋅⃗b= 40，则|⃗b)=（ ）
A．5
B．2❑√5
C．4 ❑√5
D．10
【答案】C
【解题思路】根据向量的数量积坐标公式计算得出m= 4，最后应用模长公式计算求解.
【解答过程】因为⃗a⋅⃗b=2m+32= 40，所以m= 4，所以|b
→)=
❑√m
2+8
2= 4 ❑√5.
故选：C.
【变式2-1】（2025·重庆·模拟预测）已知⃗a为单位向量，⃗b=(−1,❑√3)，若|2⃗a−⃗b|=2，则⃗a与⃗b的夹角为
（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，利用数量积的运算律求出⃗a⋅⃗b，再利用夹角公式求解.
【解答过程】依题意，|⃗a|=1,|⃗b|=2，由|2⃗a−⃗b|=2，得4⃗a
2+⃗b
2−4⃗a⋅⃗b= 4，解得⃗a⋅⃗b=1，
则cos〈⃗a,⃗b 〉=⃗
a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
= 1
2，而0
∘≤〈⃗a,⃗b 〉≤180
∘，解得〈⃗a,⃗b 〉=60
∘，
所以⃗a与⃗b的夹角为60
∘.
故选：B.
【变式2-2】（2025·四川广安·模拟预测）已知向量a
→
=(1,2)，b
→
=(3,−1)，若向量⃗c满足⃗c·⃗a= 4且⃗c·⃗b=5
，则向量⃗c的坐标为（ ）
A．(2,1)
B．(1,2)
C．(−1,3)
D．(3,−1)
【答案】A
【解题思路】设向量⃗c的坐标为(x , y)，运用向量坐标运算，联立即可求解.
【解答过程】设⃗c =(x , y)，根据题意有：
{⃗
c·⃗a= x +2 y = 4⃗
c·⃗b=3 x−y =5)， 解方程组得： {
x =2
y =1)，
因此⃗c =(2,1).
故选：A.
【变式2-3】（2025·河北秦皇岛·三模）在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD的中点，若⃗
AC ⋅⃗AP = 3
2，则⃗AB⋅⃗BQ =（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．
❑√2
2
D．−
❑√2
2
【答案】B
【解题思路】建系，设AB =2a，标相关点，根据向量的坐标运算求解即可.
【解答过程】如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
设AB =2a，则A (0,0),B (2a,0),C (2a,2a), D (0,2a), P(2a,a),Q (a,2a)，
可得⃗AC =(2a,2a),⃗AP =(2a,a),⃗AB =(2a,0),⃗BQ =(−a,2a)，
因为⃗AC ⋅⃗AP = 4 a
2+2a
2=6a
2= 3
2，可得a
2= 1
4 ，
所以⃗AB⋅⃗BQ =−2a
2=−1
2.
故选：B.
【题型3 坐标法解决向量共线、垂直问题】
【例3】（2025·湖北武汉·三模）在矩形ABCD中，A (−1,0),B (x ,1−x)，若⃗n=(2,−3)，且⃗n//⃗AD，
则x =（ ）
A．−5
B．−1
5
C．1
5
D．5
【答案】C
【解题思路】由已知⃗n⊥⃗AB，再应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值.
【解答过程】由题设知⃗n⊥⃗AB，且⃗AB =( x +1,1−x)，则⃗n⋅⃗AB =2( x +1)−3(1−x)=0，
所以5 x−1=0，即x = 1
5.
故选：C.
【变式3-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量⃗a=(λ−1,1),⃗b=(2, λ)，若(⃗a−⃗b)⊥(⃗a+⃗b)，则λ =
（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【答案】B
【解题思路】根据平面向量的坐标运算先求⃗a−⃗b,⃗a+⃗b，最后利用数量积的坐标运算即可求解.
【解答过程】由题意有⃗a−⃗b=(λ−3,1−λ),⃗a+⃗b=(λ+1,1+ λ)，又因为(⃗a−⃗b)⊥(⃗a+⃗b)，
所以(⃗a−⃗b)⋅(⃗a+⃗b)=(λ−3)(λ+1)+(1−λ)(1+ λ)=−2(λ+1)=0⇒λ =−1，
故选：B.
【变式3-2】（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量⃗AB =(5,1)，⃗BC =(m,9)，⃗CD =(8,5).若A、C、D三点共
线，则m=（ ）
A．5
4
B．−11
C．11
D．−5
4
【答案】C
【解题思路】求出向量⃗AC，由题意可得⃗AC //⃗CD，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于m的等式，
解之即可.
【解答过程】因为向量⃗AB =(5,1)，⃗BC =(m,9)，⃗CD =(8,5)，
所以，⃗AC =⃗AB+⃗BC =(m+5,10)，
因为A、C、D三点共线，则⃗AC //⃗CD，所以，5(m+5)=8×10，解得m=11.
故选：C.
【变式3-3】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量⃗a=(1,2)，⃗b=(2,m)，若(⃗a+⃗b)⊥(⃗a−⃗b)，则实数m=
（ ）
A．−1
B．1
C．−1或1
D．4
【答案】C
【解题思路】根据向量垂直的坐标表示即可求出m的值.
【解答过程】因为a
→
=(1,2),b
→
=(2,m)，
所以a
→
+ b
→
=(3,m+2), a
→
−b
→
=(−1,2−m).
因为(a
→
+ b
→)⊥(a
→
−b
→)，所以(a
→
+ b
→)·(a
→
−b
→)=0
所以−3+(m+2)(2−m)=0.
解得m=±1.
故选：C.
【题型4 利用极化恒等式求值】
【例4】（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形
的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a⋅b= 1
4 (|⃗AD)
2−|⃗BC)
2)，我们称为极
化恒等式. 已知在△ABC中，M是BC中点，AM =3，BC =10，则⃗AB⋅⃗AC =（ ）
A．−16
B．16
C．−8
D．8
【答案】A
【解题思路】可以把三角形补形为平行四边形，⃗AM = 1
2⃗AD,利用已知条件求解即可.
【解答过程】由题设，△ABC可以补形为平行四边形ABDC，
由已知得|⃗AM|=3,)⃗BC)=10, ⃗AB⋅⃗AC = 1
4 (4|⃗AM |
2−)⃗BC |
2) = 1
4 ×(36−100)=−16．
故选：A．
【变式4-1】（2024·四川绵阳·三模）如图，在△ABC中，AF = BF =6, EF =5，则⃗EA ⋅⃗EB =（ ）
A．−11
B．−13
C．−15
D．15
【答案】A
【解题思路】根据极化恒等式，结合已知数据，直接求解即可.
【解答过程】因为⃗a⋅⃗b=(⃗
a+⃗b
2 )
2
−(⃗
a−⃗b
2 )
2
，
故⃗EA ⋅⃗EB = (⃗
EA +⃗EB
2
)
2
−(⃗
EA −⃗EB
2
)
2
=⃗EF
2−⃗BF
2=25−36=−11.
故选：A.
【变式4-2】（24-25 高一下·海南海口·阶段练习）如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，其对称中心O 平
分线段MN，且MN =2BC，点E 为DC 的中点，则⃗EM ⋅⃗EN =（ ）
A．1
B．3
C．−1
D．−3
【答案】D
【解题思路】根据条件转化向量，再结合向量的运算律，即可求解.
【解答过程】由题可知MN =2BC = 4，OM =2，OE =1，
⃗
EM ⋅⃗EN =(⃗EO+⃗OM )⋅(⃗EO+⃗ON ) =(⃗EO+⃗OM )⋅(⃗EO−⃗OM )=⃗EO
2−⃗OM
2=1−4 =−3.
故选：D.
【变式4-3】（24-25 高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：(⃗a+⃗b)
2=⃗a
2+2⃗a⋅⃗b+⃗b
2，
(⃗a−⃗b)
2=⃗a
2−2⃗a⋅⃗b+⃗b
2，两式相减得(⃗a+⃗b)
2−(⃗a−⃗b)
2= 4⃗a⋅⃗b⇒⃗a⋅⃗b= 1
4 [(⃗a+⃗b)
2−(⃗a−⃗b)
2] 我们把这
个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．
试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点．
(1)若AD＝6，BC＝4，求⃗AB⋅⃗AC的值；
(2)若⃗AB⋅⃗AC = 4，⃗F B⋅⃗F C =−1，求⃗E B⋅⃗EC的值．
【答案】(1)32
(2)7
8
【解题思路】（1）根据“极化恒等式”列出式子计算即可
（2）设|⃗A D)=3m,|⃗BC)=2n(m>0,n>0)，根据题目所给条件和“极化恒等式”列出关于m,n 的方程
组，解出m,n ，再根据“极化恒等式”计算出⃗E B⋅⃗EC的值.
【解答过程】（1）⃗AB⋅⃗AC = 1
4 [(⃗AB+⃗AC )
2−(⃗AB−⃗AC )
2]=⃗AD
2−1
4⃗CB
2=36−4 =32；
（2）由题意，|⃗A D)=3m,|⃗BC)=2n(m>0,n>0)，
∵⃗AB⋅⃗AC = 4，由（1）知⃗AD
2−1
4⃗CB
2= 4，即9m
2−n
2= 4 ①，
∵⃗F B⋅⃗F C =−1，同理可得⃗F D
2−1
4⃗CB
2=−1，即m
2−n
2=−1 ②，
由①②解得：m
2= 5
8 ,n
2= 13
8 ，
∴⃗E B⋅⃗EC =⃗E D
2−1
4⃗BC
2= 4 m
2−n
2= 20
8 −13
8 = 7
8.
【题型5 利用极化恒等式求最值（范围）】
【例5】（24-25 高一下·福建泉州·期中）在Rt△ABC中，∠A =90
∘, AB =2, AC =6，D 为BC 的中点，
点P 在△ABC斜边BC 的中线AD 上，则⃗PB·⃗PC的取值范围为（ ）
A．[−10,0)
B．[−6,0)
C．[0,6)
D．[0,10)
【答案】A
【解题思路】先将⃗PB·⃗PC转化成(⃗PD+⃗DB)·(⃗PD+⃗DC)，再结合平方差公式和已知条件即可求解.
【解答过程】由题AD = DB = DC = 1
2 BC =
❑√2
2+6
2
2
= ❑√10，
所以由点P 在△ABC斜边BC 的中线AD 上得PD∈[0,❑√10)，
故⃗PB·⃗PC =(⃗PD+⃗DB)·(⃗PD+⃗DC)=(⃗PD+⃗DB)·(⃗PD−⃗DB)
=⃗PD
2−⃗DB
2=⃗PD
2−10∈[−10,0)，
故选：A.
【变式5-1】（2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，且AB =2，
MC = MD =CD =1．若点N 在线段CD（端点除外）上运动，则⃗NA ⋅⃗NB的取值范围是（ ）
A．[−1
4 ,0)
B．[0，3
4)
C．[
1
4 ,1)
D．[−3
4 ,0)
【答案】A
【解题思路】连接MN，求出|⃗NM |的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答.
【解答过程】连接MN，如图，点N 在线段CD（端点除外）上运动，
因为MC = MD =CD =1，即△MCD是正三角形，于是
❑√3
2 ≤|⃗NM |<1，而M 为AB 的中点，且
|⃗MA |=1，
所以⃗NA ⋅⃗NB =(⃗NM +⃗MA )(⃗NM −⃗MA )=⃗NM
2−⃗MA
2=[−1
4 ,0).
故选：A.
【变式5-2】（24-25 高一下·江苏南通·期中）正三角形ABC的边长为3，点D在边AB上，且⃗BD =2⃗DA，
三角形ABC的外接圆的一条弦MN过点D，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，⃗PM ⋅⃗PN的
取值范围是（ ）
A．[−1,5]
B．[−1,7]
C．[0,2]
D．[1,5]
【答案】D
【解题思路】设O为△ABC外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理，可得MN =2❑√2，再由极化恒等式
推出⃗PM ⋅⃗PN =⃗PD
2−1
4⃗NM
2，于是问题转化为求|⃗PD|的取值范围，然后结合三角函数知识与余弦定
理，即可得解．
【解答过程】解：设O为△ABC外接圆的圆心，
因为⃗BD =2⃗DA，所以OD = 1
3 AC =1，
当弦MN的长度最短时，MN ⊥OD，
在△ABC中，由正弦定理知，外接圆半径R = 1
2 ⋅
AB
sinC = 1
2 ⋅3
❑√3
2
= ❑√3
，即OM = ❑√3，
所以MN =2 MD =2
❑√O M
2−O D
2=2
❑√(❑√3)
2−1
2=2❑√2，
因为(⃗PM +⃗PN )
2=(⃗PM −⃗PN )
2+ 4⃗PM ⋅⃗PN，即(2⃗PD)
2=⃗NM
2+ 4⃗PM ⋅⃗PN，
所以⃗PM ⋅⃗PN =⃗PD
2−1
4⃗NM
2=⃗PD
2−1
4 ⋅(2❑√2)
2=⃗PD
2−2，
因为点P为线段BC上的动点，
所以当点P与点Q重合(DQ⊥BC)时，|⃗PD|min=|DQ)=|BD)sin60° =2×
❑√3
2 = ❑√3；
当点P与点C重合时，|⃗PD|max=|CD)，
在△BCD中，由余弦定理知，
|CD|
2=)BC |
2+|BD|
2−2|BC)⋅|BD)cos∠ABC =9+ 4−2×3×2× 1
2 =7，
所以|⃗PD|max=|CD)= ❑√7，
综上，|⃗PD)∈[ ❑√3,❑√7]，
所以⃗PM ⋅⃗PN =⃗PD
2−2∈[1,5]．
故选：D．
【变式5-3】（24-25 高一下·河北邯郸·阶段练习）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，
解答问题.
1.极化恒等式：⃗a⋅⃗b= 1
4 [(⃗a+⃗b)
2−(⃗a−⃗b)
2)，公式推导：
(a
→
+ b
→)
2
= a
→
2+2a
→
· b
→
+ b
→
2
(a
→
−b
→)
2
= a
→
2−2a·
→
b
→
+ b
→
2)
⇒a·
→
b
→
= 1
4[(a
→
+ b
→)
2
−(a
→
−b
→)
2)；
2.平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点，则⃗AB⋅⃗AD = 1
4 [|AC)
2−|BD)
2)；
3.三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则⃗AB⋅⃗AC =|AD)
2−|BD)
2.推导过程：由⃗
AB⋅⃗AC =[
1
2 (⃗AB+⃗AC))
2
−[
1
2 (⃗AB−⃗AC))
2
=⃗AD
2−(
1
2⃗CB)
2
=|⃗AD)
2−|⃗DB)
2
.
(1)如图，在边长为2 的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且MN =2BC，点E为DC的中
点，求⃗EM ⋅⃗EN的值；
(2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八
卦图的平面图如图2 所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直
径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为2❑√2+2，|AB)=|MN )= 4.若点P是正八边形ABCDEFGH
边上的一点，求⃗PM ⋅⃗PN的取值范围；
(3)已知△ABC中，AB = 4，AC =2，且| λ⃗AB+(2−2 λ)⃗AC ∣(λ∈R)的最小值为2❑√3，若P为边AB上
任意一点，求⃗PB⋅⃗PC的最小值.
【答案】(1)−3
(2)[8+8 ❑√2,12+8 ❑√2)
(3)−9
4
【解题思路】（1）由极化恒等式即可求解；
（2）连接PO，根据三角形模式可得⃗PM ⋅⃗PN =⃗PO
2−⃗OM
2，即可求解；
（3）由题意可得△ABE是等边三角形，所以BC =2❑√3，再根据向量极化恒等式即可求解.
【解答过程】（1）MN =2BC = 4 ,OM =2,OE =1.
由极化恒等式可得：⃗EM ⋅⃗EN =⃗EO
2−⃗OM
2=1−4 =−3.
（2）如图，连接PO.
因为⃗PM =⃗PO+⃗OM，⃗PN =⃗PO+⃗ON =⃗PO−⃗OM，
所以⃗PM ⋅⃗PN =(⃗PO+⃗OM )⋅(⃗PO−⃗OM )=⃗PO
2−⃗OM
2.
因为正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为2❑√2+2，|⃗AB)= 4，
所以2❑√2+2≤|⃗PO)≤❑√16+8 ❑√2.
因为|MN )= 4，所以|⃗OM )=2，所以8+8 ❑√2≤⃗PO
2−⃗OM
2≤12+8 ❑√2，
即⃗PN ⋅⃗PN的取值范围是[8+8 ❑√2,12+8 ❑√2).
（3）令⃗AD = λ⃗AB+(2−2 λ)⃗AC = λ⃗AB+(1−λ)⃗AE（其中⃗AE =2⃗AC），
则D ,B , E三点共线（如图），
从而∣λ⃗AB+(2−2 λ)⃗AC ∣≥2❑√3的几何意义表示点A到直线BE的距离为2❑√3，
这说明△ABE是等边三角形，BC为边AE上的高，故BC =2❑√3.
取BC的中点M，则由向量极化恒等式可得⃗PB⋅⃗PC =|⃗PM )
2−1
4|⃗BC)
2=|⃗PM )
2−3≥d
2−3=−9
4 ，
其中d为点M到边AB的距离.
即当点P在垂足H（非端点）处时，⃗PB⋅⃗PC达到最小值−9
4 .
【题型6 等和线解决系数和问题】
【例6】（24-25 高一下·浙江宁波·期中）如图，在△ABC中，已知⃗BD = 1
2⃗DC，⃗AE =2⃗EC，P 是线段
AD与BE的交点，若⃗AP =m⃗AB+n⃗AC，则m+n的值为（ ）
A．3
7
B．6
7
C．1
D．9
7
【答案】B
【解题思路】设⃗AP = λ⃗AD且0< λ<1，应用向量加减、数乘的几何意义得⃗AP = 2 λ
3⃗AB+ λ
3⃗AC
= 2 λ
3⃗AB+ λ
2⃗AE，结合向量共线的推论得2 λ
3 + λ
2 =1求参数，即可得.
【解答过程】设⃗AP = λ⃗AD且0< λ<1，则⃗AP = λ(⃗AB+⃗BD)= λ(⃗AB+ 1
3⃗BC )= 2 λ
3⃗AB+ λ
3⃗AC
=m⃗AB+n⃗AC，
又⃗AE = 2
3⃗AC，则⃗AP = 2 λ
3⃗AB+ λ
2⃗AE，
由B , P , E共线，则2 λ
3 + λ
2 =1，可得λ= 6
7 ，
所以m+n= 2 λ
3 + λ
3 = 6
7 .
故选：B.
【变式6-1】（24-25 高一下·山东青岛·阶段练习）如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段
AD上的动点，若⃗BE = x⃗BA + 1
2 y⃗BC，则x + y的值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．8
【答案】A
【解题思路】由题意可得⃗BC =2⃗BD，从而可得⃗BE = x⃗BA + y⃗BD，再由A , E , D三点共线，即可得答案.
【解答过程】因为点D是线段BC的中点，则⃗BC =2⃗BD，
则⃗BE = x⃗BA + 1
2 y⃗BC = x⃗BA + y⃗BD，
因为A , E , D三点共线，
所以x + y =1(x>0, y >0).
故选：A.
【变式6-2】（24-25 高一下·山东济南·阶段练习）如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD
内任意一点(含边界)，且⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AC，则λ+ μ的取值范围为（ ）
A．[1,3)
B．[1,2)
C．[2,3)
D．[1,4)
【答案】A
【解题思路】分析可得当P 在线段BC 上运动时，B、P、C 三点共线，此时λ+ μ有最小值，分别延迟AB、
AC 至B
' ,C
'，使C C
' =2 AC ,B B
' =2 AB，连接B
'C
'，根据三角形相似，分析可得当P 位于D 点时，λ+ μ
有最大值，即可得答案.
【解答过程】当点P 在线段BC 上运动时，此时B、P、C 三点共线，
因为⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AC，所以λ+ μ=1，此时为λ+ μ的最小值；
分别延迟AB、AC 至B
' ,C
'，使C C
' =2 AC ,B B
' =2 AB，连接B
'C
'，如图所示，
因为C C
' =2 AC ,B B
' =2 AB，∠A =∠A
所以△ABC与△A B
'C
'相似，且相比为1
3，
因为△BCD与△ABC的面积之比为2，且BC = BC，
所以△BCD与△ABC的高之比为2:1，
即△ABC与△A B
'C
'高之比为1
3，
所以D ,B
' ,C
'三点共线，
当P 位于D 点时，⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AC = λ
3⃗A B
' + μ
3⃗A C
'，
此时λ
3 + μ
3 =1，即λ+ μ=3，此时为λ+ μ的最大值，
所以当点P在△BCD内（含边界）运动时，λ+ μ的取值范围为[1,3)
故选：A.
【变式6-3】（24-25 高一下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足⃗AM =3⃗MB，
N是AC上的点且满足⃗AN =⃗NC，CM与BN交于P点，且⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AC，则λ+ μ=（ ）
A．1
2
B．2
3
C．3
4
D．4
5
【答案】D
【解题思路】设⃗BP = x⃗BN ,⃗CP = y⃗CM , x∈R , y ∈R，分别得到⃗AP =(1−x)⃗AB+ 1
2 x⃗AC和⃗
AP =(1−y)⃗AC + 3
4 y⃗AB，联立方程组，求得⃗AP = 3
5⃗AB+ 1
5⃗AC，进而求得λ , μ的值，即可求解.
【解答过程】设⃗BP = x⃗BN ,⃗CP = y⃗CM , x∈R , y ∈R，
由⃗AP =⃗AB+⃗BP =⃗AB+ x⃗BN =⃗AB+ 1
2 x(⃗BC +⃗BA )=⃗AB+ 1
2 x(⃗AC −⃗AB−⃗AB) =(1−x)⃗AB+ 1
2 x⃗AC
，
又由⃗AP =⃗AC +⃗CP =⃗AC + y⃗CM =⃗AC + y(⃗AM −⃗AC )=(1−y)⃗AC + 3
4 y⃗AB，
所以{
1−x = 3
4 y
1
2 x =1−y)
，解得x = 2
5 , y = 4
5 ，可得⃗AP = 3
5⃗AB+ 1
5⃗AC，
因为⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AC，所以λ = 3
5 , μ= 1
5，所以λ+ μ= 3
5 + 1
5 = 4
5 .
故选：D.
【题型7 等和线解决其他系数问题】
【例7】（2025 高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BD与CE交于点F
．若⃗AF = x⃗AD + y⃗AB(x , y ∈R)，则x−y =（ ）
A．−1
3
B．0
C．1
3
D．1
【答案】C
【解题思路】由DE = 1
2 BC得DF = 1
2 BF，进而BF = 2
3 BD，最后利用平面向量基本定理即可求解.
【解答过程】由四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，知DE∥BC，且DE = 1
2 BC，
所以DF = 1
2 BF，则BF = 2
3 BD．
因为⃗AF =⃗AB+⃗BF =⃗AB+ 2
3⃗BD =⃗AB+ 2
3 (⃗AD−⃗AB)= 2
3⃗AD+ 1
3⃗AB，
所以x = 2
3，y = 1
3，所以x−y = 1
3．
故选：C．
【变式7-1】（24-25 高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的
中点，若⃗AF = λ⃗AB−μ⃗AD，则λ+ μ=（ ）
A．−5
4
B．−1
4
C．1
4
D．5
4
【答案】C
【解题思路】根据平面向量基本定理结合题意将⃗AF用⃗AB ,⃗AD表示，从而可求出λ , μ，进而可求得答案.
【解答过程】因为在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，
所以⃗AF =⃗AE +⃗EF = 1
2⃗AB+ 1
2⃗EC
= 1
2⃗AB+ 1
2 (⃗EB+⃗BC )
= 1
2⃗AB+ 1
2 × 1
2⃗AB+ 1
2⃗AD
= 3
4⃗AB+ 1
2⃗AD，
因为⃗AF = λ⃗AB−μ⃗AD，所以λ = 3
4 , μ=−1
2，
所以λ+ μ= 3
4 +(−1
2)= 1
4 .
故选：C.
【变式7-2】（2025·河南许昌·三模）在△ABC中，点D 在BC 上，且满足|BD)= 1
4|BC)，点E 为AD 上任
意一点，若实数x，y 满足⃗BE = x⃗BA + y⃗BC，则1
x + 2
y 的最小值为（ ）
A．2❑√2
B．4 ❑√3
C．4+2❑√3
D．9+ 4 ❑√2
【答案】D
【解题思路】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点A , E , D共线得x + 4 y =1，且
x>0, y >0，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案.
【解答过程】⃗BE = x⃗BA + y⃗BC = x⃗BA + 4 y⃗BD，
由A , E , D三点共线可得x + 4 y =1，且x>0, y >0，
所以1
x + 2
y =(
1
x + 2
y)(x + 4 y)=9+ 4 y
x + 2 x
y ≥9+2❑√
4 y
x × 2 x
y =9+ 4 ❑√2，
当且仅当4 y
x = 2 x
y 即x = 2❑√2−1
7
, y = 4−❑√2
14
时等号成立.
故选：D.
【变式7-3】（24-25 高一下·安徽宿州·期中）在△ABC中，点D满足⃗BD = 3
4⃗BC，点E在射线AD（不含点
A）上移动，若⃗AE = λ⃗AB+ μ⃗AC ,则( μ+2)
2+ λ
2的取值范围是（ ）
A．[ 4 ,+∞)
B．(4 ,+ ∞)
C．(1,+∞)
D．[1,+∞)
【答案】B
【解题思路】设⃗AE =k⃗AD ,k >0，利用向量的线性运算用k表示λ, μ，再代入求出范围即得.
【解答过程】由点E在射线AD（不含点A）上，设⃗AE =k⃗AD ,k >0，又⃗BD = 3
4⃗BC，
则⃗AE =k(⃗AB+⃗BD)=k [⃗AB+ 3
4 (⃗AC −⃗AB)]= k
4⃗AB+ 3k
4⃗AC，于是{
λ = k
4
μ= 3k
4 )
，
因此t =( μ+2)
2+ λ
2=( 3k
4 +2)
2
+ 1
16 k
2= 5
8 k
2+3k + 4>4，
所以( μ+2)
2+ λ
2的取值范围是(4 ,+ ∞).
故选：B.
一、单选题
1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量⃗a=(2,−1),⃗b=(x ,2)，若⃗a⊥⃗b，则|⃗a−⃗b)的值为（ ）
A．10
B．3 ❑√5
C．3 ❑√2
D．❑√10
【答案】D
【解题思路】根据向量垂直的坐标关系求出x =1，再结合向量的坐标运算和模长公式求解.
【解答过程】由⃗a⊥⃗b，可得2 x−2=0，解得x =1，
∴⃗b=(1,2)，
∴⃗a−⃗b=(1,−3)，则|⃗a−⃗b)=
❑√1
2+(−3)
2= ❑√10.
故选：D.
2．（24-25 高三上·上海奉贤·期中）在△ABC中，BC =10，M为BC中点，AM = 4，则⃗AB⋅⃗AC =（ ）
A．−9
B．−16
C．9
D．16
【答案】A
【解题思路】由题意作图，根据图象，利用平面向量的线性运算，结合数量积的运算律，可得答案.
【解答过程】由题意可作图如下：
则⃗AB =⃗AM +⃗MB，⃗AC =⃗AM +⃗MC，由M为BC的中点，则⃗MB =−⃗MC，
⃗
AB⋅⃗AC =(⃗AM +⃗MB)⋅(⃗AM +⃗MC)=(⃗AM −⃗MC)⋅(⃗AM +⃗MC)
=|⃗AM )
2−|⃗MC)
2= 4
2−5
2=−9.
故选：A.
3．（2025·全国·模拟预测）已知向量⃗a=(2,0)，⃗a−⃗b=(3,−❑√3)，则cos⟨⃗a−2⃗b,⃗a)=（ ）
A．−
❑√3
5
B．
❑√7
5
C．2❑√7
7
D．
❑√7
7
【答案】C
【解题思路】根据已知向量⃗a=(2,0)，⃗a−⃗b=(3,−❑√3)，利用向量减法求出⃗b和⃗a−2⃗b，再通过点积计算求
出(⃗a−2⃗b)⋅⃗a，通过模长计算求出|⃗a−2⃗b)和|⃗a)，利用向量夹角的余弦公式cos⟨⃗a−2⃗b,⃗a)= (⃗a−2⃗b)⋅⃗a
|⃗a−2⃗b)⋅|⃗a)
求解.
【解答过程】∵⃗a=(2,0),⃗a−⃗b=(3,−❑√3)，
∴⃗b=⃗a−(⃗a−⃗b)=(2−3,0−(−❑√3))=(−1,❑√3).
∴2⃗b=(−2,2❑√3).
∴⃗a−2⃗b=(2,0)−(−2,2❑√3)=(4 ,−2❑√3).
∴(⃗a−2⃗b)⋅⃗a=(4 ,−2❑√3)⋅(2,0)= 4×2+(−2❑√3)×0=8.
∴|⃗a)=
❑√2
2+0
2=2,|⃗a−2⃗b)=
❑√4
2+(−2❑√3)
2= ❑√28=2❑√7.
∴cos⟨⃗a−2⃗b,⃗a)= (⃗a−2⃗b)⋅⃗a
|⃗a−2⃗b)⋅|⃗a)
=
8
2❑√7⋅2 = 2❑√7
7
.
故选：C.
4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，F为边CD上靠近点D
的三等分点，G为EF的中点，记⃗AG = λ⃗AB+ μ⃗AD，则λ+ μ=（ ）
A．17
12
B．13
12
C．7
12
D．5
12
【答案】A
【解题思路】根据向量线性运算可得AG
→
= 2
3 AB
→
+ 3
4 AD
→
，计算即可求解.
【解答过程】由题意可得AF
→
= 1
3 AB
→
+ AD
→
，AE
→
= AB
→
+ 1
2 AD
→
，
因为G为EF的中点，
所以AG
→
= 1
2 AF
→
+ 1
2 AE
→
= 1
2 AD
→
+ 1
6 AB
→
+ 1
4 AD
→
+ 1
2 AB
→
= 2
3 AB
→
+ 3
4 AD
→
，
则λ= 2
3 , μ= 3
4 ，所以λ+ μ= 2
3 + 3
4 = 17
12.
故选：A.
5．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量⃗a=(1, 2),⃗b=(2, 3)，则下列结论不正确的是（ ）
A．(⃗b−⃗a)⋅⃗a=3
B．(⃗a+⃗b)⊥(21⃗a−13⃗b)
C．|2⃗b−⃗a)=2❑√6
D．⃗b在⃗a方向上的投影向量为(
8
5 , 16
5 )
【答案】C
【解题思路】根据向量减法的坐标运算求出⃗b−⃗a，再根据向量的数量积运算判断A；根据向量加减的坐标
运算求出⃗a+⃗b,21⃗a−13⃗b，再根据数量积是否为0 判断B；根据向量模长的计算公式判断C；根据投影向
量的计算公式判断D.
【解答过程】对于A，因为⃗a=(1, 2),⃗b=(2, 3)，所以⃗b−⃗a=(1,1)，所以(⃗b−⃗a)⋅⃗a=1×1+1×2=3，故
A 正确；
对于B，因为⃗a=(1, 2),⃗b=(2, 3)，所以⃗a+⃗b=(3,5)，21⃗a−13⃗b=(−5,3)，
所以(⃗a+⃗b)⋅(21⃗a−13⃗b)=3×(−5)+5×3=0，故B 正确；
对于C，因为⃗a=(1, 2),⃗b=(2, 3)，所以2⃗b−⃗a=(3,4)，所以|2⃗b−⃗a)=
❑√3
2+ 4
2=5，故C 错误；
对于D，因为⃗a=(1, 2),⃗b=(2, 3)，所以|⃗a)=
❑√1
2+2
2= ❑√5，⃗a⋅⃗b=1×2+2×3=8，⃗
b在⃗a方向上的投影向量为⃗a⋅⃗b
|⃗a)
2 ·⃗a= 8
5 ·(1,2)=(
8
5 , 16
5 )，故D 正确.
故选：C.
6．（2025·河南·二模）在△ABC中，D 是AC 边的中点，且点M 满足⃗BD =3⃗BM，若⃗AM = λ⃗AB+ μ⃗AC
，则λ+ μ=（ ）
A．1
2
B．2
3
C．3
4
D．5
6
【答案】D
【解题思路】由平面向量的基本定理结合图形计算即可.
【解答过程】因为⃗AM =⃗AB+⃗BM =⃗AB+ 1
3⃗BD①，⃗AM =⃗AD +⃗DM = 1
2⃗AC −2
3⃗BD②，
由①×2+②，得3⃗AM =2⃗AB+ 1
2⃗AC，所以⃗AM = 2
3⃗AB+ 1
6⃗AC，
即λ = 2
3，μ= 1
6 ，所以λ+ μ= 5
6 .
故选：D.
7．（24-25 高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的
“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：⃑a⋅⃑b= 1
4 (|⃑AD)
2−|⃑BC)
2)，我们称为极化恒
等式.在△ABC中，M是BC中点，AM =3，BC =10，则⃑AB⋅⃑AC =（ ）
A．32
B．-32
C．16
D．-16
【答案】D
【解题思路】由题设有| AM
→
|=3，|⃗BC |=10代入极化恒等式求⃗AB⋅⃗AC即可.
【解答过程】由题设，|⃗AM |=3，|⃗BC |=10，⃗
AB⋅⃗AC = 1
4 ×(4|⃗AM |
2−|⃗BC |
2)= 1
4 ×(36−100)=−16.
故选：D.
8．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中
点，连接DE并延长到点F，使得DE = 1
3 EF，则⃗AF ⋅⃗BC的值为（ ）
A．3
4
B．1
8
C．−5
8
D．11
8
【答案】A
【解题思路】通过建立直角坐标系，根据题意求出向量⃗AF ，⃗BC的坐标，利用数量积的坐标运算求⃗
AF ⋅⃗BC的值即可.
【解答过程】如图，以BC所在直线为x轴，E为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，
由题意可得E (0,0)，B(−1
2 ,0)，C(
1
2 ,0)，A(0,
❑√3
2 )，
则D(−1
4 ,
❑√3
4 ),⃗DE =(
1
4 ,−
❑√3
4 )，⃗BC =(1,0)
设F (x , y)，由DE = 1
3 EF得，⃗EF =3⃗DE，
所以(x , y)=3(
1
4 ,−
❑√3
4 )=(
3
4 ,−3 ❑√3
4 )
所以F(
3
4 ,−3 ❑√3
4 )，所以⃗AF =(
3
4 ,−5 ❑√3
4 )，⃗BC =(1,0)
所以⃗AF ⋅⃗BC = 3
4 ×1+(−5 ❑√3
4 )×0= 3
4 .
故选：A.
二、多选题
9．（25-26 高三上·福建泉州·阶段练习）设向量a
→
=(7 ,−1)，b
→
=(2,−1)，下列结论正确的是（ ）
A．|⃗a)=50
B．(⃗a−3⃗b)⊥⃗b
C．⃗a与⃗b夹角的余弦值为3 ❑√10
10
D．⃗a在⃗b方向上的投影向量的坐标为(6,−3)
【答案】BCD
【解题思路】利用平面向量模长公式、两向量垂直条件、两向量夹角计算公式、投影向量计算公式逐项分
析.
【解答过程】对于A，∵a
→
=(7 ,−1)，则|⃗a)=
❑√7
2+(−1)
2=5 ❑√2，A 错误；
对于B，因a
→
−3 b
→
=(7,−1)−3(2,−1)=(7,−1)−(6,−3)=(1,2)，
则(⃗a−3⃗b)⋅⃗b=1×2+2×(−1)=0，∴(⃗a−3⃗b)⊥⃗b，B 正确；
对于C，因|⃗a)=
❑√7
2+(−1)
2=5 ❑√2，|⃗b)=
❑√2
2+(−1)
2= ❑√5，
则⃗a与⃗b夹角的余弦值为cos⟨⃗a,⃗b)=⃗a⋅⃗b
|⃗a)⋅|⃗b)
= 7×2+1×1
5 ❑√2×❑√5 = 3 ❑√10
10
，C 正确；
对于D，(
a
→
⋅b
→
|b
→)
2 )
⋅b
→
= 7×2+1×1
(❑√5)
2
⋅(2,−1)=(6,−3) ，D 正确.
故选：BCD.
10．（24-25 高一下·浙江·期中）已知△ABC的内角A =π
3 ，AB =5，AC =3，O为△ABC所在平面上一
点，设⃗AO =m⃗AB+n⃗AC，则下列说法正确的是（ ）
A．若⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0，则m= 2
3
B．若⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0，则m+n= 2
3
C．若|⃗OA)=|⃗OB)=|⃗OC)，则m+3n= 4
5
D．若|⃗OA)=|⃗OB)=|⃗OC)，则m+2n= 2
5
【答案】BC
【解题思路】对A，B，对⃗AO =m⃗AB+n⃗AC变形可得(m+n−1)⃗OA =m⃗OB+n⃗OC，结合已知条件即可
求解；对C，D，结合已知条件，首先利用数量积公式求出⃗AO⋅⃗AB和⃗AO⋅⃗AC的值，再利用⃗
AO =m⃗AB+n⃗AC得到关于m和n的两个关系式，进而即可求解；
【解答过程】对于A，B，因为⃗AO =m⃗AB+n⃗AC，则−⃗OA =m(⃗OB−⃗OA)+n(⃗OC −⃗OA)，
所以(m+n−1)⃗OA =m⃗OB+n⃗OC，
若⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0，则(1−m−n)(⃗OB+⃗OC)=m⃗OB+n⃗OC，
由题易知点O不在BC上，即OB
→
,OC
→
不共线，
∴{
1−m−n=m
1−m−n=n)，解得m=n= 1
3，故A 错误，B 正确；
对于C，D，若|⃗OA)=|⃗OB)=|⃗OC)，则O是△ABC的外心，
故⃗AO⋅⃗AB =|⃗AO)⋅|⃗AB)⋅cos⟨⃗AO ,⃗AB)=|⃗AB)
2
2
= 25
2
，
同理，可得⃗AO⋅⃗AC =|⃗AC)
2
2
= 9
2
，
由⃗AO =m⃗AB+n⃗AC，知⃗AO⋅⃗AB =m⃗AB
2+n⃗AB⋅⃗AC =25m+ 15
2 n，
∴25m+ 15
2 n= 25
2 ，即10m+3n=5，
又⃗AO⋅⃗AC =m⃗AB⋅⃗AC +n⃗AC
2= 15
2 m+9n，可得5m+6n=3，
联立{
10m+3n=5
5m+6n=3 )，解得m= 7
15，n= 1
9，
所以m+3n= 7
15 +3× 1
9 = 4
5 ，m+2n= 7
15 +2× 1
9 = 31
45，故C 正确，D 错误.
故选：BC.
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知矩形ABCD中，AB =10，BC =8，⃗BM = λ⃗BC，⃗DN = μ⃗DC，其
中0≤λ，μ≤1，|⃗MN )=5，则（ ）
A．λ+ μ是定值
B．若μ= 3
5，则⃗AN = 5
8⃗AD+ 3
5⃗AM
C．⃗AM ⋅⃗AN >90
D．|⃗AM +⃗AN )
2≤521
【答案】BCD
【解题思路】举例可说明λ+ μ不是定值，当μ= 3
5时，由|⃗MN )=5可确定λ的值，再利用向量的线性运算可
求⃗AN，设线段MN的中点P，则⃗AM ⋅⃗AN =⃗AP
2−⃗PM
2，再利用基本不等式可确定C，由
|⃗AM +⃗AN )
2= 4|⃗AP|
2即可确定D.
【解答过程】当CM =5时，N与C重合，λ+ μ= 3
8 +1= 11
8 ，当CN =5时，，M与C重合，
1+ 1
2 = 3
2，故A 错误；
当μ= 3
5时，|⃗CN )= 4，而|⃗MN )=5，故|⃗CM )=3，
则⃗AN =⃗AD +⃗DN =⃗AD + 3
5⃗AB = 5
8⃗AD + 3
8⃗AD + 3
5⃗AB = 5
8⃗AD + 3
5(
5
8⃗AD +⃗AB)
= 5
8⃗AD + 3
5(
5
8⃗BC +⃗AB)= 5
8⃗AD + 3
5 (⃗B M +⃗AB)= 5
8⃗AD + 3
5⃗AM，故B正确；
取线段MN的中点P，因为|⃗CP)= 1
2|⃗MN ) 5
2，故点P在以C为圆心、5
2为半径的圆上,与BC , DC分别交于
H 、I，且在矩形ABCD内（含边上位置），
∵|⃗AP)+|⃗PC)≥|⃗AC)，∴|⃗AP)≥|⃗AC)−|⃗PC)=2❑√41−5
2，
当点P在H处时，|⃗AP)取得最大值❑√
100+(8−5
2)
2
=
❑√521
2
，⃗
AM ⋅⃗AN =(⃗AP+⃗PM )⋅(⃗AP−⃗PM )=⃗AP
2−⃗PM
2≥(2❑√41−5
2)
2
−25
4 =164−10 ❑√41>90，故C正确；
|⃗AM +⃗AN )
2=|2⃗AP)
2= 4|⃗AP|
2≤4|⃗AH )
2= 4× 521
4 =521，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
12．（25-26 高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知平面向量⃗a=( x ,1)，⃗b=(1−x ,2 x)，若⃗a⊥(⃗a+⃗b)
，则|⃗a|=
．
【答案】
❑√10
3
【解题思路】根据给定条件，利用向量坐标运算求出x，再利用坐标求出向量的模.
【解答过程】由向量⃗a=( x ,1)，⃗b=(1−x ,2 x)，得⃗a+⃗b=(1,1+2 x)，
由⃗a⊥(⃗a+⃗b)，得⃗a⋅(⃗a+⃗b)= x +1+2 x =3 x +1=0，解得x =−1
3，
所以|⃗a|=
❑√x
2+1=
❑√10
3
.
故答案为：
❑√10
3
.
13．（24-25 高三上·江苏常州·阶段练习）在△ABC中，AD为中线，AD =3,BC =2，则⃗AB⋅⃗AC等于
.
【答案】8
【解题思路】根据题意结合数量积的运算律即可得到答案.
【解答过程】因为AD为中线，BC =2，则CD =1，
可得A B
→
⋅A C
→
=(AD
→
−DC
→)·(AD
→
+ DC
→)= AD
→
2−DC
→
2=|AD
→)
2
−|DC
→)
2
=9−1=8.
故答案为：8.
14．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD =2 AB，AB⊥AD，E 是CD的中
点，若⃗AC = λ⃗BD + μ⃗AE，则λ+ μ=
.
【答案】1
【解题思路】首先用AD
→
, DC
→
将向量BD
→
, AE
→
表述出来，然后化简原等式，从而可求出λ , μ的值，从而得
到答案.
【解答过程】AC
→
= λ BD
→
+ μ AE
→
= λ(−1
2 DC
→
+ AD
→)+ μ(AD
→
+ 1
2 DC
→)=(
1
2 μ−1
2 λ)DC
→
+(λ+ μ) AD
→
，
而AC
→
= AD
→
+ DC
→
，所以{
1
2 μ−1
2 λ=1
μ+ λ=1 )
，解得{
μ= 3
2
λ =−1
2)
.
所以λ+ μ=1.
故答案为：1.
四、解答题
15．（25-26 高二上·广西贵港·开学考试）已知非零向量⃗a=(x ,0)，⃗b=(1, x)，且|⃗a−⃗b)=1．
(1)求x 的值；
(2)求向量⃗a与⃗b的夹角；
(3)求向量⃗a在⃗b方向上的投影向量的模．
【答案】(1)1
(2)π
4
(3)
❑√2
2
【解题思路】（1）根据向量的坐标运算以及模的计算公式，即可求得答案.
（2）根据向量的夹角公式求解即可.
（3）求出向量⃗a在⃗b方向上的投影向量，即可求得答案.
【解答过程】（1）已知非零向量⃗a=(x ,0)，⃗b=(1, x)，故⃗a−⃗b=(x −1,−x)，
而|⃗a−⃗b)=1，故❑√(x−1)
2+(−x)
2=1，解得x =1或x =0，
由于⃗a=(x ,0)为非零向量，故x≠0，故x =1；
（2）结合（1）可知⃗a=(1,0)，⃗b=(1,1)，则⃗a⋅⃗b=(1,0)⋅(1,1)=1，
故cos⟨⃗a,⃗b ⟩=⃗a⋅⃗b
|⃗a)|⃗b)
=
1
1×❑√2 =
❑√2
2 ，
故向量⃗a与⃗b的夹角为π
4 ；
（3）向量⃗a在⃗b方向上的投影向量为⃗a⋅⃗b
|⃗b)
⋅⃗b
|⃗b)
= 1
2⃗b，|b
→)= ❑√2，
故向量⃗a在⃗b方向上的投影向量的模为|
1
2⃗b)=
❑√2
2 .
16．（24-25 高一下·湖北武汉·期末）已知向量⃗a=(1, x−1)，⃗b=(2,3).
(1)若b⊥(a+b)，求x 的值；
(2)若向量⃗c =(1,2)，⃗b//(⃗a+⃗c)，求⃗a与⃗b的夹角的余弦值.
【答案】(1)−4
(2)5 ❑√26
26
【解题思路】（1）先求⃗a+⃗b，再由关系⃗b⊥(⃗a+⃗b)结合向量垂直的坐标表示列方程可求x，
（2）先求⃗a+⃗c，再由条件结合向量平行的坐标表示列方程求x，根据向量夹角公式求结论.
【解答过程】（1）因为⃗a=(1, x−1)，⃗b=(2,3)，
所以⃗a+⃗b=(3, x +2)，
因为⃗b⊥(⃗a+⃗b)，⃗b=(2,3)，⃗a+⃗b=(3, x +2)，
所以2×3+3(x +2)=0，
所以x =−4，
所以x 的值为−4，
（2）因为⃗a=(1, x−1)，⃗c =(1,2)，
所以⃗a+⃗c =(2, x +1)，
因为⃗b//(⃗a+⃗c)，⃗b=(2,3)，⃗a+⃗c =(2, x +1)，
所以2(x +1)=2×3，
所以x =2，
所以⃗a=(1,1)，又⃗b=(2,3)，
所以⃗a⋅⃗b=1×2+1×3=5，|⃗a)= ❑√2，|⃗b)= ❑√4+9= ❑√13，
所以cos⟨⃗a,⃗b)=⃗a⋅⃗b
|⃗a)|⃗b)
=
5
❑√2×❑√13 = 5 ❑√26
26
，
所以⃗a与⃗b的夹角的余弦值为5 ❑√26
26
.
17．（24-25 高一下·浙江杭州·期中）在△ABC中，∠BAC =90° , AB =2, AC =6，D 为AC 边上的中点，
E 为BC 边上一点，且⃗BE = λ⃗BC(0< λ<1).
(1)当λ= 1
2时，若⃗AE = x⃗BD + y⃗AC，求x + y的值；
(2)当AE⊥BD时，求λ的值.
【答案】(1)1
4
(2) 2
11
【解题思路】（1）由题意建立平面直角坐标系，写出坐标和向量，再通过题目给的条件列式即可；
（2）先设出E点坐标，利用AE⊥BD和⃗BE = λ⃗BC条件列式并联立即可求解.
【解答过程】（1）由题意得，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则A (0,0)，
∵AB =2, AC =6，∴B (0,2)、C (6,0)，又D 为AC 边上的中点，∴D (3,0)，
当λ= 1
2时，E 为BC 边上的中点，∴E (3,1)，即⃗AE =(3,1)、⃗BD =(3,−2)、⃗AC =(6,0)，
又⃗AE = x⃗BD + y⃗AC，∴(3,1)= x (3,−2)+ y (6,0)，即{
3 x +6 y =3
−2 x =1 )，解得{
x =−1
2
y = 3
4 )
，
∴x + y =−1
2 + 3
4 = 1
4 .
（2）设E (x , y)，则⃗AE =(x , y)，又AE⊥BD，∴⃗AE⋅⃗BD =0，∴3 x−2 y =0，
∵⃗BE =(x , y −2)、⃗BC =(6,−2)，又⃗BE = λ⃗BC，∴(x , y −2)= λ(6,−2)，即{
x =6 λ
y −2=−2 λ)，解得
{
x =6 λ
y =2−2 λ)，
∴3 x−2 y =3×6 λ−2×(2−2 λ)=0，解得λ= 2
11.
18．（24-25 高一下·江苏盐城·期中）在直角梯形ABCD 中，AB//CD，∠DAB =90°，
AB =2 AD =2 DC = 4，点F 是BC 边上的中点.
(1)若点E 满足⃗DE =2⃗EC，且⃗EF = λ⃗AB+ μ⃗AD，求6 λ+ μ的值；
(2)若点P 是线段AF 上的动点（含端点），求⃗AP⋅⃗DP的取值范围.
【答案】(1)2；
(2)[−1
10 ,8].
【解题思路】（1）根据图形用⃗AB ,⃗AD表示出⃗EF，即可得参数值；
（2）令⃗AP = ν⃗AF且0≤ν ≤1，进而得⃗AP = 3 ν
4⃗AB+ ν
2⃗AD，⃗DP = 3 ν
4⃗AB+( ν
2 −1)⃗AD，再应用向量数
量级的运算律求得⃗AP⋅⃗DP=10(v −1
10 )
2
−1
10，即可得范围.
【解答过程】（1）由⃗
EF =⃗EC +⃗CF = 1
3⃗DC + 1
2⃗CB = 1
6⃗AB+ 1
2 (⃗CD +⃗DA +⃗AB)= 1
6⃗AB+ 1
2 ( 1
2⃗AB−⃗AD) = 5
12⃗AB−1
2⃗AD，
又⃗EF = λ⃗AB+ μ⃗AD，即λ = 5
12 , μ=−1
2，故6 λ+ μ=2；
（2）如下图，令⃗AP = ν⃗AF = ν(⃗AB+⃗BF )= ν(⃗AB+ 1
2⃗BC )且0≤ν ≤1，⃗
AP = ν(⃗AB+ 1
2⃗BA + 1
2⃗AD + 1
2⃗DC )= 3 ν
4⃗AB+ ν
2⃗AD，⃗
DP =⃗DA +⃗AP = ν( 3
4⃗AB+ 1
2⃗AD)−⃗AD = 3 ν
4⃗AB+( ν
2 −1)⃗AD，
所以⃗AP⋅⃗DP= ( 3 ν
4⃗AB+ ν
2⃗AD)⋅[ 3 ν
4⃗AB+( ν
2 −1)⃗AD ]=
9 ν
2
16⃗AB
2+ 3 ν
4 (ν −1)⃗AB⋅⃗AD+ ν
2 ( ν
2 −1)⃗AD
2= 9 ν
2+ ν(ν −2)=10(v −1
10 )
2
−1
10，
所以⃗AP⋅⃗DP∈[−1
10 ,8].
19．（24-25 高一下·新疆伊犁·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题．
材料1．代数模式极化恒等式：⃗a⋅⃗b= 1
4 [(⃗a+⃗b)
2−(⃗a−⃗b)
2)，
公式推导：(⃗a+⃗b)
2=⃗a
2+2⃗a⋅⃗b+⃗b
2
(⃗a−⃗b)
2=⃗a
2−2⃗a⋅⃗b+⃗b
2)⃗a⋅⃗b= 1
4 [(⃗a+⃗b)
2−(⃗a−⃗b)
2)；
材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形ABCD中，O 是对角线交点，则⃗
AB⋅⃗AD = 1
4[|AC
→)
2
−|⃗BD)
2)；
材料3．三角形模式：如图b，在△ABC中，设D 为BC的中点，则⃗AB⋅⃗AC =|⃗AD)
2−|⃗BD)
2．
推导过程：由⃗AB⋅⃗AC =[
1
2 (⃗AB+⃗AC))
2
−[
1
2 (⃗AB−⃗AC))
2
=⃗AD
2−(
1
2⃗CB)
2
=|⃗AD)
2−|⃗BD)
2
．
(1)已知△ABC中，M 为AB中点，|AB)=8，|MC)=3，求⃗CA ⋅⃗CB的值；
(2)如图1，在边长为2 的正方形ABCD中，其对称中心O 平分线段MN，且MN =2BC，点E 为DC的中
点，求⃗EM ⋅⃗EN的值；
(3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太
极八卦图的平面图如图3 所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O 是正八边形的中心，MN是圆O 的一
条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为2❑√2+2，|AB)=|MN )= 4．若点P 是正八边形
ABCDEFGH边上的一点，求⃗PM ⋅⃗PN的取值范围．
【答案】(1)−7
(2)−3
(3)[8+8 ❑√2,12+8 ❑√2)
【解题思路】（1）由极化恒等式即可求解；
（2）由极化恒等式即可求解；
（3）连接PO，根据三角形模式可得⃗PM ⋅⃗PN =⃗PO
2−⃗OM
2，即可求解.
【解答过程】（1）如图，由M是AB的中点，|AB)=8,|MC)=3，
由极化恒等式可得⃗CA ⋅⃗CB =|⃗CM )
2−|⃗AM )
2=9−16=−7.
（2）如图，连接EO，由MN =2BC = 4，OM =2,OE =1，
由极化恒等式可得⃗EM ⋅⃗EN =|⃗EO)
2−|⃗OM )
2=1−4 =−3.
（3）如图，连接PO，
因为⃗PM =⃗PO+⃗OM，⃗PN =⃗PO+⃗ON =⃗PO−⃗OM，
所以⃗PM ⋅⃗PN =(⃗PO+⃗OM )⋅(⃗PO−⃗OM )=⃗PO
2−⃗OM
2，
因为正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为2❑√2+2，|⃗AB)= 4，
所以2❑√2+2≤|⃗PO)≤
❑√2
2+(2❑√2+2)
2= ❑√16+8 ❑√2，
又|MN )= 4，则|⃗OM )=2，所以8+8 ❑√2≤⃗PO
2−⃗OM
2≤12+8 ❑√2，
即⃗PM ⋅⃗PN的取值范围为[8+8 ❑√2,12+8 ❑√2).
