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重难点培优01 坐标法与极化恒等式、矩形恒等式在平面向
量中的应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 坐标法（★★★★★）....................................................................................................................3
题型二 极化恒等式（★★★★）................................................................................................................5
题型三 矩形恒等式（★★★）....................................................................................................................6
03 实战检测・分层突破验成效..........................................................................................................7
检测Ⅰ组 重难知识巩固................................................................................................................................7
检测Ⅱ组 创新能力提升................................................................................................................................9
1、建系的常见技巧
（1）前言
坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度
的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的.
（2）技巧
涉及到含有垂直的图形，如长方形、正方形、直角三角形、
①
等边三角形、直角梯形、菱形的对角线等
等；
虽然没有垂直，但有特殊角，如
②
30°、45°、60°、120°、135°等等.
C
B
x
y
(
a
2 ,
3
2 a)
(a, 0)
A
θ
C
B
x
y
(bcosθ，bsinθ)
(a, 0)
A
x
y
D (0,b)
C(a,a)
B(a, 0)
A
x
y
D
(0，asinθ)
C(a-acosθ，asinθ)
B(a, 0)
A
2、极化恒等式
设a，b 是平面内的两个向量，则有
证明：
，①
，②
将两式相减可得
，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．
①几何解释1（平行四边形模型）以
，
为一组邻边构造平行四边形
，
，则
，由
，得
．
即从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的
“
．
”
②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M 为对角线的交点，则由
变形为
，得
，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让秒杀向量成为另一种可能；我们从
“
”
极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与
几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
3、矩形恒等式
如图，在矩形
中，若对角线
和
交于点
，
为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关
系：①
；②
.
证明：
连接
①
，根据
，
可得
；
根据极化恒等式
②
，可得
.
题型
一
坐标法
1．如图，在直角梯形
中，
，
，
，
为
的中点，若
，则
的值（ ）
A．
B．
C．2
D．
2．古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的
头部有阳眼，表示万物都在互相转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含着现
代哲学中的矛盾对立统一规律．如图是由八卦模型图抽象出来的正八边形
，其中心为O，若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
3．（2025·江苏南京·二模）在四边形
中，
，
，
，E 是线段
中点，
是线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知在矩形
中，
，
，
是边
上的动点，记
，当
取最
小值时，
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．在△ABC 中，BC＝2，
，D 为BC 中点，在△ABC 所在平面内有一动点P 满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，在平面四边形
中，
，点
是线段
上的一点，且
，点
是线段
上的一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·河南·月考）在等腰
中，
，
，以点
为圆心作半径为的圆，
点
为此圆上的动点，若动点
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．根据勾股定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两
直角边上作出的正方形面积之和，现在对直角三角形
（其中
，
）按上述操作
作图后，得如图所示的图形，若
，则
.
9．如图所示，梯形
中，
，点
为
的中点，
，
，若向
量
在向量
上的投影向量的模为
，设
，
分别为线段
，
上的动点，且
，
，则
的取值范围是 .
题型二 极化恒等式
【技巧通法·提分快招】
1、适用范围
极化恒等式适用于共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化.例如在三角形中求两边向量的数
量积，可利用极化恒等式进行转化求解.
不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题
2、使用方法
在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下：
（1）取第三边的中点：连接向量的起点与中点.比如在
中，若求
.
，取
中点
，连接
.
（2）利用公式转化：将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差，即
.
（3）求相关长度：利用平面几何方法或用正、余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积.
1．（23-24 高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形
的边长为4，若动点
在以
为直径的半圆
上（正方形
内部，含边界），则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为
，半径为1 的圆O 的圆心为正六边形的中心，若点M
在正六边形的边上运动，动点A，B 在圆O 上运动且关于圆心O 对称，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知正
内接于半径为2 的圆
，
为线段
上一动点，延长
，交圆
于点
，则
的
取值范围为 ．
4．（2025 高一·全国·专题练习）如图，在边长为1 的正方形
中，
是以
为圆心，
为半径的圆
弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则
的取值范围是 ．
5．2024 年12 月4 日，我国春节正式被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．贴窗花
“
”
是春节的常见习俗，如图
是一种窗花，可将其视为如图
的正八边形
①
②
，已知
是其边上任
意一点，
，则
的最大值为 ．
题型三 矩形恒等式
【技巧通法·提分快招】
（1）矩形恒等式，适用于以矩形为背景的问题.如果题目本身给出了矩形当然好，如果没给出矩形，但是
给出了两条线段(两个向量垂直)，那么我们就可以以这个直角为矩形的一个内角，构造矩形.一旦构造出矩
形，就可以运用矩形恒等式解决问题了.
（2）矩形恒等式的第一个结论，往往适用于求向量的数量积.这两个向量的数量积不容易求，就可以转化
为另外两个向量的数量积.这里体现了数学中的转化(化归)思想，具有深刻的意义.
（3）矩形恒等式的第二个结论，往往运用于与向量(线段)长度有关的问题.如果两个向量的长度都不确
定，另外两个向量中一个长度确定，那么这种转化一定会给我们带来极大的方便.
模长平方和：|PA|² + |PC|² = |PB|² + |PD|²，适用于求解向量长度相关的最值或范围问题.结合三角不等式或轨
迹分析，例如在圆上求线段长度时，通过矩形恒等式转化为对角线关系，快速得出范围.
1．在直角三角形ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则
A. 2 B.4 C.5 D.10
2．在三角形
中,
,
，点P 满足
,则
的最大值为( )
A.11 B.16 C.18 D.25
3．在矩形
中，
，
，
为矩形
所在平面上一点，满足
，
，则
__________.
4．在四边形
中，
，
，则
的最小值为 .
检测Ⅰ组 重难知识
固
巩
1．已知平面四边形
，
，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．（多选题）如图，在直角梯形
中，
，
，E 为AB 的中点，M，N 分别为线段DE
的两个三等分点，点P 为线段BD 上的任意一点，若
，则
的值不可能是（ ）
A．
B．3
C．7
D．9
3．（2024·湖北·模拟预测）四边形
是边长为4 的正方形，点
是正方形内的一点，且满足
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·北京海淀·月考）已知正方形
的边长为2，以B 为圆心的圆与直线
相切，若点
P 是圆B 上的动点，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．4
D．8
5．在直角梯形
中，
，
，
，点
为梯形
四条边上的
一个动点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高三下·湖北武汉·月考）点
是边长为1 的正六边形
边上的动点，则
的最大值
为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
7．如图，在四边形
中，已知
，
，
，点
在边
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．在平面四边形
中，
，
，
.若点
为线段
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为
的等边
，动点
在以
为直径的半圆上.若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知点
为矩形
所在平面上一点,若
,则
为
11．已知向量
，
，满足
，
，
，且
，则
的取值范围是
__________.
检测Ⅱ组
能力提
创新
升
1．已知正六边形
的边长为4，圆
的圆心为该正六边形的中心，圆
的半径为2，圆
的直径
，点
在正六边形的边上运动，则
的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2．在平面直角坐标系中，原点
，已知
，
，
是线段AB 上的动点（含端点），且
为
的中点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知非零向量
与
满足
，且
，点
是
的边AB 上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，已知正方形
的边长为4，若动点P 在以
为直径的半圆上（正方形
内部，含边
界），则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选题）窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的
艺术门类，图1 是一个正八边形窗花，图2 是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH
的边长为4，P 是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
在
方向上的投影向量为
C．
的最大值为
D．若函数
，则函数
的最小值为
6．已知平面向量
分别满足
与
的夹角是
，则
的最大值
为 .
