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⾼三冲刺笔记-平⾯向量（六）
考点归纳：向量范围问题（⼆）极化恒等式
📍
题型训练：向量数量积范围与极化恒等式
🌶
🌶
🌶
⼀
…
极化恒等戏
:
1
.
内容
:
a
'
. 5
' : 4 I (
a
'
+
5
'
)
2
- (
a -5
] ]
D.
A
→
b
a→+5
c
'
.5
A
→
,
B
LB
5
c
台
a
α
. 模式
: ) 平⾏四边形模式
,
AB
. AD ' : 4 I IAEP
- IBDRJ
( α ) 三⻆形模式
T
AB
.
Ac-
|
Ap 'P -
1 BDP
= IAPP
- 4 IBP ↑
(
D 为BC 中点了
c
解
:
AB
. AT
:
AM
=
-
书1P
=
9
-
4 × 100
:
- 16
3
10
A
.
解
:
δ
. b
: + I
10
-
6]
=
1
B
解
:
B
设
E 下中点为M
, 连接CM
.
则
CM: D
,
DE
, DF
= I DMF
- IEMP
=
| DM |
P -
4 ≥| 1 Cpr - ↑
-4
. D
E
0
M
“⼗
5
第三边
,
两边送
θ
c i
A
🌶
🌶
🌶
, 皆
1
T
A
解: 取O:
Ʃ ,
0
D=☆,
0
B= 5 .
由θ e
=
1
, 8 = 2 可知.
Q β 在世上投影
Λ
D
”
θ
!
→
少B
发度分别为
1
. 2
, 取OE
= EF
=
1 .
∴
A , B两点分别在
L . 以上运动。且A | min
=
1
a
→
b
,
)
由@ : 3 . 可得θ
. 5 : OA
- 0B
=
1 ODP
- ☆IAB
2
= 41 θ+5
|
F
- Ʃ| ApP =
3
了
e
→活
“
F
. |+ D 12
=
12 +
1 ABF
≥13
.即( G +
5
≥源
AB
" P
, 与M 重合
”
"
2
0
M
P
如图
:
P阴. (PB
+PE
)
= 2pj ,PA = 2 IPMP - ZIAP = 2PMPƩ
B
了
c
∠
⼋
≥-
2 - [PM
" - ⽃Ak 了
c
解
: 设DC
= Q
,
DF
=
b
.
BA
. CA
= IAP
- IBPP =
9
b =
-
a
'=4
.
1
BF
'
, CT
= IFDP
-
1 BD
1
R
=
b
-
Q':
-
1
α
解得
b =Ʃ
,
a÷☆
联⽴
”
b
a
∴BE
. CE
=
1 EDp
- /BPP = 452
-
a =
,
c
33
以
<
G
解
: 设Mn
. 中点为G
.
BD 中点为H
.
CNM
,
CN = ICE |β
- +| MmM
⑥
→求miu
」
:
C
ε
1 <≤I CHHIHE
:I
+
N:
2
@
H
1
,
:
CN,
CN≤iZ + 4
B
)
'
-i
π =
4
( B +
4
L
~
600
1
M
源
”
⼀
2
”
n
"
鉴器
GH
=
"
↑+ 出i
= qi
π
:
0
:
4
🌶
🌶
🌶
B
Fp 为EF 中点
“
解
: AP
, BP
:
A+ BP
-
( AP- BP)
∴(
2EP}
- ( ABR
:
⽂
207
6
4
千
个
⼋
" EP
= 3I.
⼜: CP:
3 PD
, AE : EB
, AB : pE
: AE
= 2 DP
5
3iz
即LFAE 中
, DP 为中位线AF= 2 AD
=
10
,
AF = DAB
= 4
,
千
θ
FE
= 2PE =6
及
AP
'
, AB
=AT
. AI
=
AFF + AE
2
- EF
'
=
1 ∞+ 16
- 72
8
E
⼼取中点
“ 同⻆换何量
”
α
2
=
22
β
A
解
M
5
7
PA
, pB
= PM
↑-
出|HBP ( 当P 与M 重合时有Mlmin
》
Λ
千
5
α
PA. PM≥
0
-
4 | ABP
=
- 4
B
「
S
∅
P
c
A
解
:
P+ P π|=
2 |
P =
8 ,
|
双1 : 4
,
Q
⑥
「
3
PM
. PN
→
→==
| PRP .
4 IMHP ≤|PRP
- 4
d ,
- dil:
16
-
1
=
15
1
第三边≤两边送
。
D
解
D B
IPA 1
P
+| PB |
P
=
( PA + PB )
2
-
α PA
- PB
0
aP
:
4PP
-
2.
1PDP - 4APJ
←
c
A
=
4 PDP
- 2PDT
2 +±
(AB
☆
2
=
2 PDIt
Ʃ , 4
P (1P
= 10 (
PpP⽽EF PP.
」
之
解
:
AB
-
AE:
( AMP -
$ IBEF:
AB .E
= IAB 11A [ , CSA :- I, IAB ,IAE) =
1
,
A
⼀
⼜
:
IBP = IABF+ IAIP-
2 IABT,
I AE1 , COSA ≥
3 IAB1. 1 AE )
= 3
1230
∠
即
( AMI
=
AB-
A [+
Y ( BE) P
=
- I + 4
= 出
,
IAMF ⽂
B
众
,
c
P
07
S
⼋
AP
- AB
- 16
6
.
A
B
10
;
B
>
解
:
| AP
- tAB
)
≥3
恒成⽴表示点
P 到直线
AB距离的最⼩值为3 取AB 中点0
。
Pomm :
PB
'
PA
, PB : IPDP
-
*| ARP
=
( PPP
- 25 ≥
9
- 25
=
- 16
.
当
PA :
RB 时
"
=
“ 成⽴
1
此时
| PA
+ PB |= 21 P》)
= 6
》
A
解:
PA
.
( 2PB
+ P←
)
.
Pmr
= PA
.
2 pp
⑥
c
E
θ
B
⑥
0
。
G
}
r
:
2PApHPt
:
3
PA
, PE
= 3 [ PM
"
- 4 Aε"
]
≥-
A
LABG中
AG
2
=
2 =+
( 5)
F
-
2
- 2
. 5
.
0560 = 4 + #
- Ʃ= F
8
⼦
B
G
⾔告
”
c
㉗
⼀T
3
α
解
:
BC
= AB2TAC2
-
2 AB - AC . COSRO)=19
. 即
BC : VTG
'
: A13 ,AEI =IADR
- Y( BD
1
' =(AB 1.
IAY) , CaS
<
BAC
.IAK
派
'
: SDABC
: 2 SDADC
.
则| AB| .
| Ac 1
,
Sin ∠BAC :
2 Ʃ IADI
. ICE!
.
: CE
1 =
3
河.
在Rt
←DEC 中
,
IDE :CBI
-
CE2
=
14
π,
" IB
. E= EDP -
4 IB ↑':
->
少法
4 I ( P π+PB
)
=
- (
P τ-P
)
》
感
—(
B
⼼邓
⼼
B→
L
。
头
[ 4
⼜=
-
BE2
J + BC"
P
Q
=
Q
"
P
+ 3
Bε=
≥
2 对
, BG
2
<
= BIPIIBG/ ≥VBSABCD
此时QBC
→
…
∠
∠
pa ≥
h
”
= 4污
㉓
原i :
- GH
-
C -
HE
[
)
1
(
- EE ]
. (
- Fε )
α
Λ
0
:
HE
. EH
+
EF
→0
FG→
:
EF
.
FE→
+
→
→
IF
· FG
1
=LEF
. FE
= 2 -EF .F
# = 2-
E [ -4HF→
P
}
= 2. EP - ÷|HFP
=
2-
·
1 =3
进
解
:
2 A1
= 5
IA
1
= 5
ABAE
:
AP
- +
| BxF
;
= 5
-
⽃|
B ←P≥25
-
年[ 3 -1 ]
2
“ 45
⼀
1 “
千
