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专题13 向量线性运算及三大定理与四心归类
目录
题型一：线性运算：等分点型.............................................................................................................................................1
题型二：线性运算：四边形等分点型.................................................................................................................................4
题型三：线性运算：基底非同一起点.................................................................................................................................7
题型四：三大定理：奔驰定理...........................................................................................................................................11
题型五：三大定理：极化恒等式.......................................................................................................................................16
题型六：三大定理：等和线基础.......................................................................................................................................20
题型七：等和线三角换元型...............................................................................................................................................23
题型八：等和线系数不是1 构造型...................................................................................................................................26
题型九：等和线均值型.......................................................................................................................................................28
题型十：等和线二次型.......................................................................................................................................................31
题型十一：等和线系数差型...............................................................................................................................................34
题型十二：四心向量：外心...............................................................................................................................................36
题型十三：四心向量：内心...............................................................................................................................................39
题型十四：四心向量：垂心...............................................................................................................................................41
题型十五：四心向量：重心...............................................................................................................................................44
题型一：线性运算：等分点型
1．（23-24·河北唐山·阶段练习）如图，
中，
为
边的中点，
为
的中点，则
（ ）
A．
B．
线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点
、
、
，且满足
(
)，在直线外
任取一点
，设
，
，可得
.
重要结论：若直线上三点
、
、
，
为直线外任一点，
则
.
证明：
，则
，
则
.
1
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C．
D．
【答案】A
【分析】利用向量的基本定理与混合运算，结合图形即可得解.
【详解】在
中，
为
边的中点，
为
的中点，
则
.故选：A.
2．（23-24 四川乐山·阶段练习）如图，已知点
是
的重心，过点
作直线分别与
，
两边交
于
，
两点，设
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．3
【答案】C
【分析】利用三角形重心性质，得
，再由平面向量基本定理设
，即
，对照系数，得
，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得
的最小值.
【详解】
如图，延长
交
于点
，因点
是
的重心，
则
，①
因
三点共线，则
，使
，
因
，
，代入得，
，②
由①，②联立，可得，
，消去即得，
，
则
，当且仅当
时等号成立，
即
时，
取得最小值，为
.故选：C.
3．（23-24·陕西渭南·阶段练习）如图，在
中，已知
，P 为
上一点，且满足
，则实数m 的值为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三点共线可得
，且
，结合题意可得
，根据平面向
量基本定理列式求解即可.
【详解】因为
三点共线，则
，且
，
又因为
，即
，则
，
且
，则
，解得
.故选：A.
4．（23-24 天津·阶段练习）如图，在
中，
，
，
为
上一点，且
，若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意，可得
，又
三点共线，可得
，则
，利用
向量的线性运算可得
，进而表示出
，计算即可.
【详解】在
中，因为
，所以
，
，
所以
，即
，
因为
，所以
，因为
三点共线，所以
，解得
，
所以
，而
，
所以
，又
，
，
，
3
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则
.故选：C.
5．（23-24 甘肃临夏·阶段练习）如图，在
中，点O 是BC 的中点，
，分别连接
MO、NO 并延长，与边AB 的延长线分别交于P，Q 两点，若
，则
（ ）
A．2
B．1
C．－2
D．－1
【答案】B
【分析】利用向量共线的推论与线性关系，求解系数再结合向量减法即可求参.
【详解】因为
三点共线，所以
，
又因为
是
中点，所以
，因为
，所以
，
所以
，则
所以
，因为
三点共线，所以
，
又因为
是
中点，所以
，因为
，所以
，
所以
，则
所以
，所以
，
所以
.故选：B.
题型二：线性运算：四边形等分点型
1．（23-24·江苏苏州·阶段练习）在平行四边形
中，
，
分别在边
，
上，
，
，
与
相交于点
，记
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
四边形基底线性运算，可以用基底推导，也可以通过特殊化构造坐标系设点计算
4
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【分析】法1：设
，根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得
，进而可得结果；
法2：建系，设
，结合向量的坐标运算分析求解；法3：做辅助线，根据几何知识分析可
知
，进而可得结果.
【详解】法1：因为
，设
，则
，
因为
，
，
三点共线，则
，解得
，即
，所以
；
法2：坐标法（特殊化平行四边形建系）不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系，
设
，
，则
，
所以直线
，直线
，
联立方程
，解得
，可得
，
，
，
设
，则
，解得
，
所以
；
法3：如图，延长
，
，交于点
，
因为
为
中点，所以
，
又
，则
，可得
，
可知
，所以
；故选：C.
3．（23-24 山西·阶段练习）如图，在正方形
中，
,
和
相交于点G，且F 为
上一
点（不包括端点），若
，则
的最小值为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．15
【答案】B
【分析】先确定
的位置，接着由
进行转化，利用共线定理得
，再利用基本不
等式“1”的妙用即可求解.
【详解】由题可设
，
则由题意得
，
因为
、
、
三点共线，故
，所以
，所以
，
又
、
、
三点共线，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，故
的最小值为
.故选：B.
3．（23-24 宁夏银川·）如图所示的矩形
中，
，
满足
，
，
为
的中点，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理将
用
表示出出来，从而可求得
的值
【详解】因为
为
的中点，
，
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
．
故选：A
6
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4．（23-24 陕西咸阳）如图所示，在正方形
中，
为
的中点，
为
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平面向量基本定理结合题意将
用
表示，从而可求出
，进而可求得答案.
【详解】因为在正方形
中，
为
的中点，
为
的中点，
所以
，
因为
，所以
，所以
.故选：C
5．（23-24 新疆乌鲁木齐·模拟）如图，在平行四边形
中，
，
，
与
交于
点
.设
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
、
三点共线，可得
、
，利用平面向量线性
运算的应用将
表示
，由此可得方程组求得
，进而得到
的值.
【详解】连接
，如图，
因为
三点共线，设
，则
，所以
；
因为
三点共线，设
，则
，所以
，
7
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则
，解得
，所以
，
则
，所以
.故选：D
题型三：线性运算：基底非同一起点
1．（23-24·四川成都·）在正六边形ABCDEF 中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可.
向量共线定理和向量基本定理
①向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量
与非零向量
共线的充要条件是有且只有一个实数
，使得
.
变形形式：已知直线上三点
、
、
，
为直线外任一点，有且只有一个实数
，使得：
.
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“
”，否则
可能不存在，也
可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两
向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直
线不重合.
②平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：
若
、
是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数
、
，使
.
特别提醒：不共线的向量
、
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量
都可被这个平面的一组基底
、
线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
8
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【详解】
，所以
，
所以
，所以
，
故选：C.
2．（23-24 浙江·阶段练习）已知六边形ABCDEF 为正六边形，且
，
，以下不正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正六边形的特征求出
,
，再由向量加法的三角形法则以
及向量的减法即可求解.
【详解】如图，设
因为六边形ABCDEF 为正六边形，所以
，且
.
又
是等腰三角形，所以
，从而可有
，
则
，所以
,同理有
.
所以
，所以选项A 不符合题意；
，所以选项B 不符合题意；
，所以选项C 符合题意；
，所以选项D 不符合题意.故选：C
3．（23-24 重庆巴南·阶段练习）如图，矩形
中，点
是线段
上靠近
的三等分点，点
是线段
的中点，则
（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】解法一：由平面向量的加、减、数乘运算，以及平面向量基本定理，可表示
，
解法二：以
为原点，
分别为
轴的正方向建系，由
，结合坐标运算，求
得
，可表示
．
【详解】解法一：依题意
①，
②，
③，
由②③式解得
，
，代入①式得
．
解法二：以
为原点，
分别为
轴的正方向建立平面直角坐标系，
设
，则
，
由
，有
，有
，解得
，得
．故选：A．
4．（23-24 高三河南·阶段练习）已知
为等边三角形，分别以CA，CB 为边作正六边形，如图所示，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】选取
为基底，表示出
，结合平行向量基本定理设
，即可求
解.
【详解】选取
为基底，
10
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，
，
，
设
，
，
，即
.故选：A
5．（22-23 甘肃天水·阶段练习）如图，四边形
是平行四边形，点
分别为
的中点，若以
向量
为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先
表示出
，联立
，反解出
即可
【详解】点
分别为
的中点，
，
，
，
，
，故选：C
题型四：三大定理：奔驰定理
11
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1．（23-24 甘肃）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它
的具体内容是：已知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
.若
为
的垂心，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
和
得
，从而可以得出
为
内一点，
，则
.
重要结论：
，
，
.
结论1：对于
内的任意一点
， 若
、
、
的面积分别为
、
、
，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于
平面内的任意一点
，若点
在
的外部，并且在
的内部或其对顶角的内部所
在区域时，则有
.
结论3：对于
内的任意一点
， 若
，则
、
、
的面积之比为
.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于
所在平面内不在三角形边上的任一点
，
，则
、
、
的面积分别为
.
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.
各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
12
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，设
，
，得
，
，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求
解.
【详解】
如图，延长
交
于点
，延长
交
于点
，延长
交
于点
.
由
为
的垂心，
，且
，
得
，所以
，
又
，则
，同理可得
，所以
，
设
，
，则
，
，
所以
，即
，
，所以
，
所以
.故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用“奔驰定理”得到
，从而利用对顶角相等
得到
，由此得解.
2．（23-24 河北）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O 为
内的一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以
称为“奔驰定理”．已知O 为
的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三边，先求出角B 的余弦值,再由内心可得到
，进而由“奔驰定理”得到
，在对向量进行线性运算即可.
【详解】因为
，
，
，所以
，因为O 为
的内心，设
，由题意
，则
，
同理可得
所以根据“奔驰定理”有
，所以
，即
，
所以
，
．故选：A．
3．（2024 上海·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美
的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知
是
内一点，
的面积分别为
，且
．以下
命题错误的是（ ）
13
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A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
，
为
的外心，则
D．若
为
的垂心，
，则
【答案】C
【分析】取
的中点D，连接
，结合奔驰定理可得到
，进而即可判断A；设内切圆
半径为，从而可用表示出
，再结合奔驰定理即可判断B；设
的外接圆半径为
，由圆心
角和圆周角的关系可得
，从而可用
表示出
，进而即可
判断C；延长
交
于点D，延长
交
于点F，延长
交
于点E，根据题意结合奔驰定理可
得到
，
，从而可设
，则
，所以
， 进而即可求
，从而即可判断D．
【详解】对于A：取
的中点D，连接
，
由
，则
，所以
，
所以A，M，D 三点共线，且
，
设E，F 分别为AB，AC 的中点，同理可得
，
，所以
为
的重心，故A 正确；
对于B：由
为
的内心，则可设内切圆半径为，
则有
，所以
，即
，故B 正确；
对于C：由
为
的外心，则可设
的外接圆半径为
，
又
，
则有
，
所以
，
，
，所以
，故C 错误；
14
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对于D：如图，延长
交
于点D，延长
交
于点F，延长
交
于点E，
由
为
的垂心，
，则
，
又
，则
，
，设
，则
，
所以
，即
，
所以
，所以
，故D 正确．故选：C．
【点睛】关键点睛：解答D 选项的关键是通过做辅助线（延长
交
于点D，延长
交
于点F，
延长
交
于点E，），根据题意，结合奔驰定理得到
，
，从而可设
，
则
，由
，得
，进而即可求
．
4．（2023 高三河南南阳·阶段练习）奔驰定理：已知
是ΔABC内的一点，
，
，
的面积
分别为
，
，
，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”
若
是锐角ΔABC内的一点，
，
，
是ΔABC的三个内角，且点
满足
，
则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用已知条件得到
为垂心，再根据四边形内角为
及对顶角相等，得到
，再根
据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到
，进而求出
的
值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】如图，因为
，所以
，同理
，
，所以
为ΔABC的垂心。因为四边形
的对角互补，所以
，
15
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．同理，
，
，
．
，
．
又
.
．由奔驰定理得
.故选C．
【点睛】本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变
形运用，属于难题.
5．（2022·安徽·三模）平面上有
及其内一点O，构成如图所示图形，若将
，
，
的面积分别记作
，
，
，则有关系式
．因图形和奔驰车的
很相似，
常把上述结论称为“奔驰定理”．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若满足
，则O 为
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【分析】根据平面向量基本定理可得
，
，延长
交
于
，延长
交
于
，根据面
积比推出
，结合角平分线定理推出
为
的平分线，同理推出
是
的平分线，
根据内心的定义可得答案.
【详解】由
得
，由
得
，根据平面向量基本定理可得
，
，所以
，
，
延长
交
于
，延长
交
于
，
16
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则
，又
，所以
，所以
为
的平分线，
同理可得
是
的平分线，所以
为
的内心.故选：B
题型五：三大定理：极化恒等式
1.（2023·全国·统考高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】B
【分析】方法一：以
为基底向量表示
，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求
，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以
为基底向量，可知
，
则
，
所以
；
方法二：如图，以
为坐标原点建立平面直角坐标系，则
，可得
，
所以
；
方法三：由题意可得：
，
在
中，由余弦定理可得
，
设a，b 是平面内的两个向量，则有
①几何解释1（平行四边形模型）以
，
为一组邻边构造平行四边形
，
，则
，由
，得
．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的
”．
②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M 为对角线的交点，则由
变形为
，得
，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
17
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所以
.
方法四：极化恒等式设CD 中点为O 点，由极化恒等式可得：
故选：B.
2.（江苏·高考真题）如图，在
中，
是
的中点，
是
上的两个三等分点，
，
，则
的值是 .
【答案】
方法一
【详解】因为
，
，
因此
，
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量
积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向
量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
方法二：极化恒等式
因为
是
上的两个三等分点,所以
联立解得:
所以
3.如图,在
中,已知
,点
分別在边
上,
18
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且
,若
为
的中点,则
的值为________
解：取
的中点
,连接
,则
,
在
中,
,
4.（23-24 高三·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对
角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，
，我们称为极化恒等式. 已
知在
中，
是
中点，
，
，则
（ ）
A．
B．16
C．
D．8
【答案】A
【分析】可以把三角形补形为平行四边形，
,利用已知条件求解即可.
【详解】由题设，
可以补形为平行四边形
，
由已知得
．
故选：A．
5.（21-22·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角
线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：
，我们称为极化恒等式.在△
中，
是
中点，
，
，则
（ ）
19
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A．32
B．-32
C．16
D．-16
【答案】D
【分析】由题设有
，
代入极化恒等式求
即可.
【详解】由题设，
，
，
.
故选：D
题型六：三大定理：等和线基础
1.（2023·江西吉安·高三统考阶段练习）如图，半径为
的扇形
的圆心角为120°，点C 在弧
上，
且
，若
，则
________.
【答案】
；
【解析】建立直角坐标系．如图所示，
，
．
，
，即
，
．
，
，
，
即
，
．又
，
，
，
，
，
，
．
形如
，求
值或者范围，其中可以理解对应系数如
，称
之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
20
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，解得
．
．故答案为：
2.（2023 春·浙江温州·校考开学考试）两个单位向量
且
，
点在弧
上动，若
，则
的取值范围是___________________
【答案】[1，2]
【解析】建立如图所示的坐标系，
则
即
，设
，则
，
，
，
，
，
，即
，
所以
的取值范围是
.故答案为：
3.正六边形
中，令
，
，
是△
内含边界的动点（如图），
，则
的最大值是（ ）
A．1
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】
由
可得
，然后再利用三点共线，数形结合可以求出
的最大值．
【详解】
解：
，
．令
，则有
．
21
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又
，
，
，
三点共线．
．当
达到最大为
时，
，
点
到线段
的最短距离为
，即
恰好达到最小为
．
．故选：
．
4.已知
是
的外心，
，则
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意
，以
为
轴建立直角坐标系，如图，不妨设
，则
在圆O 上优弧
AB 上，设
，则
，显然
，即
，
，由于
，所以
，
，所
以
，故选B
点睛：本题考查用坐标法解决平面向量的线性表示问题，由已知判断出
，因此我们 以
为坐标轴建立空间直角坐标系，可以很快速地把平面向量用坐标表示出来，要注意地是解题过
程的设参要注意其取值范围，否则易出错．
5.已知在
中，
，
，
，P 为BC 上任意一点（含B，C），以P 为圆心，1 为半
径作圆，Q 为圆上任意一点，设
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
如图:设
或
的延长线交
于D,过Q 作
//BC 交AC 或AC 的延长线于
,过圆上离BC 最远点作切
线与AB 的延长线交于
,与AC 的延长线交于
,过A 作
,垂足为
,然后根据向量知识将
的
22
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最大值转化为
的最大值来求,
【详解】如图:
设
或
的延长线交
于D,过Q 作
//BC 交AC 或AC
的延长线于
,过圆上离BC 最远点作切线与AB 的延长线交于
,与AC 的延长线交于
,
过A 作
,垂足为
,交BC 于K，此时圆P 的圆心为
,BC=5,
,
,其中
,又
,所以
,当Q 在BC 的下方时,
;
当Q 在BC 上时,
,当Q 在BC 的上方时,
,
根据平面几何知识,可知当Q 为
、 D 为K 时，
最大，所以x+y 取最大，
所以：x+y 的最大值为：
．故选：C．
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题.
题型七：等和线三角换元型
1.（2023·全国·高一假期作业）如图，扇形的半径为1，且
，点C 在弧
上运动，若
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】由题意得，
，
，
，
如果点在圆上运动，则可以借助圆的参数方程（或者三角换元），用向量的坐标运算求
解
23
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由
，等式两边同时平方，得
，所以
，令
，则
，
则
，其中
，因为
，
所以
，所以
，即
的最大值为
.
故选：B．
2.（2023 春·湖北湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）如图，扇形的半径为1，且
，点C 在
弧
上运动，若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【解析】由题意得，
，
，所以
，
由
，等式两边同时平方，
得
，
所以
，
令
，则
，
则
，其中
，
因为
，所以
，
所以
，即
的最小值为1.
故选：C
3.（2023 春·重庆万州·万州外国语学校天子湖校区校考阶段练习）如图，在半径为的圆
中，点
为圆
上的定点，且
，点
为圆上的一个动点，若
，则
的取值范围
是________．
【答案】
【解析】如图所示，以
为原点，以
为
轴建立平面直角坐标系，因为圆的半径为，且
，
可得
，设点
，其中
，因为
，可得
24
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，
所以
，可得
，
因为
，可得
，
即
的取值范围是
.故答案为：
.
4.
4.在直角梯形.
中，
，
分别为
的中点，以
为圆心，
为半径的圆交
于
，点
在
上运动（如图）.若
，其中
，则
的
最大值是________.
【答案】
【分析】建立直角坐标系，设
，根据
，表示出
，
结合三角函数相关知识即可求得最大值.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：
，
分别为
的中点，
，
以
为圆心，
为半径的圆交
于
，点
在
上运动，设
，
，
即
，
，所以
，两式相加：
，
25
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即
，要取得最大值
，即当
时，
故答案为：
【点睛】
此题考查平面向量线性运算，处理平面几何相关问题，涉及三角换元，转化为求解三角函数的最值问题.
5.已知正三角形
的边长为2，D 是边
的中点，动点P 满足
，且
，其中
，则
的最大值为___________．
【答案】
##2.5
【分析】
构建以
为原点，
为x、y 轴的直角坐标系，确定相关点坐标并设
且
(
)，
由向量线性关系的坐标表示列方程得到
关于
的三角函数式，应用正弦型函数性质求最大值.
【详解】
由题设，
在以
为圆心，1 为半径的圆上或圆内，
构建以
为原点，
为x、y 轴的直角坐标系，如下图示：
所以
，
，
，令
且
(
)，
所以
，
，
，
又
，即
，
所以
，而
，
则
，
故当
时，
有最大值
.故答案为：
【点睛】
关键点点睛：构建直角坐标系并设
且
(
)，应用平面向量线性关系的坐标表示求得
关于参数的函数式求最值.
题型八：等和线系数不是1 构造型
26
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1.如图，边长为2 的等边三角形的外接圆为圆
，
为圆
上任一点，若
，则
的最
大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】A
【分析】
等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.
【详解】
作BC 的平行线与圆相交于点P，与直线AB 相交于点E，与直线AC 相交于点F，
设
，则
，∵BC//EF，∴设
，则
∴
，
∴
∴
故选：A.
2.（23-24·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知点
是
的重心，过点
作直线分别与
，
两边交于
，
两点，设
，
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．4
C．3
D．
【答案】C
【分析】借助平面向量线性运算与三点共线定理及基本不等式计算即可得.
【详解】由点
是
的重心，
，
，
形如
，求
值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构
造三角函数辅助角形式求最值
27
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故
，由
、
、
三点共线，故
，
则
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立.故选：C.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知
是
内一点，且
，点
在
内（不含边
界），若
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
是
内一点，且
所以O 为
的重心
在
内（不含边界），且当M 与O 重合时，
最小，此时
所以
，即
当M 与C 重合时，
最大，此时
所以
，即
因为
在
内且不含边界所以取开区间，即
所以选B
4.（20-21·福建·阶段练习）已知平行四边形
中，点E，F 分别在边
上，连接
交
于点
M，且满足
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
，得到
，再由E，F，M 三点共线求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
．因为E，F，M 三点共线，所以
．故选：B
题型九：等和线均值型
28
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1.（2023 春·四川眉山校考阶段练习）已知点G 是
的重心，过点G 作直线分别与
两边相交于
点M，N 两点（点M，N 与点B，C 不重合），设
，
，则
的最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据三角形重心及加法、数乘运算得到
，由向量共线的推论得
，再应
用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】由题设
，
又
共线，如下图，则
，即
，故
，
而
，则
，
所以
，
仅当
，即
时等号成立，所以目标式最小值为4.故答案为：4
2.（2023 春·重庆·校联考阶段练习）在
中，点D 满足
，过点D 的直线交线段AB 于点
M、交线段AC 的延长线于点N，记
，
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】先求出
，再根据平面向量共线定理可得
，再根据
结合基本不等式即可得解.
【详解】因为过点D 的直线交线段AB 于点M、交线段AC 的延长线于点N，记
，
，
所以
，且
，
，由
，
利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围
基本不等式：≤；
(1) 基本不等式成立的条件：a >0
，
b >0
；
(2) (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝
b .
(3) 基本不等式的变形：
①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值；
29
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得
，
又
三点共线，所以
，故
，
当且仅当
，即
时，取等号，所以
的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：求出
，再根据平面向量共线定理可得
，是解决本题的关键.
3.（2023 春·山东菏泽统考模拟）在
中，点
是线段
上的点，且满足
，过点
的直线
分别交直线
于点
，且
，
，其中
且
，若
的最小值为
.
【答案】
【分析】先利用向量的线性运算得到
关于
与
的表达式，再根据
三点共线可得
，
从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】依题意，作出图形如下，
因为
，
，
，则
，
所以
，
因为
三点共线，所以
，因为
，
，
所以
，
30
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当且仅当
，即
时取等号，所以
的最小值为
.
故答案为：
.
4.（2023·全国·高三专题练习）已知A、B、P 是直线上三个相异的点，平面内的点
，若正实数x、y
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据平面向量共线定理可得
，再根据
结合基本不等式即可得解.
【详解】因为A、B、P 是直线上三个相异的点，
且
，即
，且x、y 为正实数，所以
，
所以
，当且仅当
，即
时，取等号，所以
的最小值为
.故答案为：
.
5.（23-24 高三·天津武清·阶段练习）在
中，
，E 是线段
上的动点（与端点不重合），
设
，则
的最小值是（ ）
A．10
B．4
C．7
D．13
【答案】D
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得
，
，则
，化简后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为
，所以
，因为
，所以
，
因为
三点共线，所以
，
，
，当且仅当
，即
时取等.
故选：D.
31
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题型十：等和线二次型
1.（23-24·陕西西安·阶段练习）点
是
所在平面内一点，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】易知O 为
的重心，由题意，根据重心的性质可得
，结合基本不等式计算即可
求解.
【详解】由题意知，
，则O 为
的重心，由
知，
三点共线，
三点共线，
三点共线，
如图，D 为BC 的中点，且
，
由
，得
，又
，
所以
，即
，
因为D 为BC 的中点，所以
，所以
，解得
，所以
，
由
，得
，即
，
当且仅当
时等号成立，所以
的最小值为
.故选：D
2.（2019 秋·江苏苏州·校考阶段练习）如图，在正方形
中，
为
的中点，
是以
为圆心，
为半径的圆弧上的任意一点，设
，则
的最小值为 ．
形如
，求关于
二次型值或者范围，有如下思维：
（1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题；
（2）得到关于
的不等式中没有
，所以取
，建立
之间的关系；
（3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式；
（4）根据二次函数的最值及的范围求出最值.
32
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【答案】
【分析】以
为坐标原点建立平面直角坐标系，设
，可得
点轨迹，从而可设
，
；利用向量的坐标运算可构造方程求得
，将所求式子整理为
；令
，
；利用导数可求得当
时，
取得最小值，利用同角三角函数平方关系可构造方程求得
，代入可求得最小值.
【详解】以
为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系
设
，则
，
，
，
，
，
由题意可得，
点轨迹方程为：
设
，
由
得：
，解得：
设
，
当
时，
；当
时，
当
时，
取最小值
33
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由
得：
即当
，
时，
取最小
值
即
的最小值为
本题正确结果：
3.（2024 高三·全国·专题练习）已知
的边
的中点为
，点
在
所在平面内，且
，若
，则
（ ）
A．5
B．10
C．20
D．30
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性运算可将
转化为
，则得到
的值，进而即
可求解．
【详解】因为
，边
的中点为
，所以
，
即
，所以
，所以
，
所以
，即
，因为
，所以
，
，故
.
故选：D．
4.（2022·全国·高三专题练习）已知
为双曲线
上不同三点，且满足
（
为
坐标原点），直线
的斜率记为
，则
的最小值为
A．8
B．4
C．2
D．1
【答案】B
【详解】由
有点
为线段
的中点,设
,则
,所以
,故
,由于点A,B,P 在双曲线上,所以
,代入上式中,有
,所以
,故最小值为
4.选B.
5.（2023·全国·高三专题练习）如图，在
中，
为边
上不同于
，
的任意一点，点
满足
.若
，则
的最小值为 .
【答案】
/0.4
【分析】根据题意，得
，因为
，
，
三点共线，所以
，将
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化为
的函数求最小值即可.
【详解】根据题意，得
.因为
，
，
三点共线，设
，
则
，所以
，所以
，所以有
，即
，
所以
，
所以当
时，
取得最小值
.故答案为：
题型十一：等和线系数差型
1.（四川资阳·统考一模）如图，在直角梯形
中，
，
∥
，
，
，图
中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为
，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若
，
其中
，则
的最大值为
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【详解】解：以
点为坐标原点，
方向为
轴，
轴正方向建立直角坐标系，如图所示，设点
的坐标为
，由意可知：
，
据此可得：
，则：
，目标函数：
，
其中 为直线系
的截距，当直线与圆相切时，目标函数取得最大值
.
本题选择B 选项.
形如
，求
值或者范围，有如下思维：
1. 如果动点P 在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。
2. 可以借助等和线，找到
=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值
35
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2.（安徽合肥·统考一模）已知向量
、
、
满足
,若对于每一个确定的
的最大值和最小值分别为
、
，则对于任意的
，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先把向量
、
、
放入平面直角坐标系，代入数量积中得到
，看作
是一个圆心为
，半径为
的圆，接着利用点到圆上点的距离最值的知识点进行求解，即可
得到答案
【详解】解：不妨设
，
，
，
则
；
，
，
因此
，
故选：C.
3.在
中，点
满足
.若存在点
，使得
，且
，则
的取值范围是___．
【答案】（﹣2，0）
【分析】
由
，得
，结合条件
，得到m＝﹣3λ
1
﹣，n
＝3λ
1
﹣，利用mn＞0．可求出实数λ 的取值范围，由此可计算出m
n
﹣的取值范围．
【详解】
由
，可得
，所以，
，
则m＝﹣3λ
1
﹣，n＝3λ
1
﹣，
由于mn＞0，则（﹣3λ
1
﹣）（3λ
1
﹣）＞0，即（3λ+1）（3λ
1
﹣）＜0，解得
，
λ
∵＞0，所以，
，
m
n
﹣＝（﹣3λ
1
﹣）﹣（3λ
1
﹣）＝﹣6λ∈（﹣2，0），
故答案为（﹣2，0）
4.（22-23 高三·河北唐山·阶段练习）如图，在
中，
是线段
上的一点，且
，过点
的
直线分别交直线
，
于点
，
，若
，
，则
的最小值是
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三点共线以及平面向量基本定理推出
，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】因为
三点共线，所以可设
，则
，
又
，所以
，
又
，
，所以
，
所以
，所以
，消去得
，所以
，
因为
，
，得
，得
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.故选：A
题型十二：四心向量：外心
1.（2023 春·江苏无锡·锡东高中校考阶段练习）在
中，
，
，
，角
是锐角，
为
的外心，若
，其中
，则点
的轨迹所对应图形的面积是
．
【答案】
四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为外心，则
；
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【分析】利用三角形的面积公式求得
，利用余弦定理求得
，结合正弦定理求得
，根据
，其中
，得到点
的轨迹定义的图形时边长为
的菱形，进而求得面积值.
【详解】因为
，且
，解得
，
又因为
为锐角，所以
，
由余弦定理得
，所以
，
又由
，可得
，
根据题意知
，其中
，
即点
的轨迹对应的图形时边长为
的菱形，所以
，
所以这个菱形的面积
.
故答案为：
.
2.（2023 春·广东佛山·南海中学校考阶段练习）如图，O 为
的外心，
，
，
为钝
角，
是边
的中点，则
.
【答案】10
【分析】运用向量加法法则可得
，再结合三角形外心性质、平面向量数量积定义及运算
求解即可.
【详解】取
的中点
，连接
，取
的中点
，连接
，如图所示，
因为
为
的外心，则
，
所以
，
因为
为
的外心，则
，
38
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所以
，
又
是边
的中点，根据平行四边形法则有：
，
所以
.
故答案为：10.
3.（2023 春·吉林长春·东北师大附中校考阶段练习）已知点O 是△ABC 的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC 为
钝角，M 是边BC 的中点，则
．
【答案】5
【分析】运用向量加法法则可得
，再结合三角形外心性质、平面向量数量积定义及运算
求解即可.
【详解】如图所示，
取AB 的中点E，连接OE，
因为
为△ABC 的外心，则
，
所以
，
同理：
，
所以
.
故答案为：5.
4.（2023 春·江西宜春·江西省清江中学校考阶段练习）设
为
的外心a，b，c 分别为角A，B，C 的对
边，若
，
，则
．
【答案】8
【分析】由三角形的外心的向量性质计算即可.
【详解】
如图所示，因为
为
的外心，取AB 中点E，则OE⊥AB，
则
，
同理
，
所以
．
39
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故答案为：8
5.（2023 春·辽宁·葫芦岛第一高级中学校联考阶段练习）已知
为
的外心，
，
，分别为内角
，
，
的对边，且
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由数量积的定义可得
，
，即可得到
，再
转化为
的二次函数，结合
的取值范围，求出函数的值域，即可得解.
【详解】由平面向量数量积的定义可知，
，
同理可得，
，
，
，
，即
，令
，
，因为函数
在
上单调递
减，在
上单调递增，
所以
，又
，
，所以
，
．故答案为：
．
题型十三：四心向量：内心
1.（2022 春·甘肃兰州·兰州市第二中学校考模拟）在面上有
及内一点
满足关系式：
即称为经典的“奔驰定理”，若
的三边为
，
，，现有
，则
为
的 心.
【答案】内
【分析】利用平面向量的线性运算得到
，再利用三角形内心的性质求解即可．
【详解】
，
，
，
，
，
分别是
，
方向上的
单位向量，
向量
平分
，即
平分
，同理
平分
，
为
的内心，故答案为：内
2.（2023 浙江·模拟预测）已知
中，
，
是
的内心，
是
内部
（不含边界）的动点，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为内心，则
；
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【答案】A
【分析】以
为坐标原点，
所在的直线为
轴，
所在的直线为
轴建立平面直角坐标系，通过向量
线性关系
，得出目标函数，根据三角形及其内心得出可行域，由线性规划即可
得出最值.
【详解】如图所示：
以
为坐标原点，
所在的直线为
轴，
所在的直线为
轴建立平面直角坐标系，
则易得:
，
，
，
，
设点
，则由
得
，
所以
则
，又由题意得点
在以
为顶点的三角形内部（不包含
边界），
由图易得当目标函数
与直线
重合时，
取得最大值1，
当目标函数
经过点
时，
取得最小值
，又因为点
的可行域不包含边界，
所以
的取值范围为
，即
的取值范围为
，故选：A
3.（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O 是平面上的一个定点，A､B､C 是平面上不共线的三点，动点P
满足
，则点P 的轨迹一定经过
的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
【答案】C
【分析】根据
是以
为始点，向量
与
为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知
点轨迹，据此可求解.
【详解】因为
为
方向上的单位向量，
为
方向上的单位向量，
则
的方向与
的角平分线一致，
由
，可得
，即
，
所以点P 的轨迹为
的角平分线所在直线，故点P 的轨迹一定经过
的内心.故选：C.
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4.（2023·全国·专题练习）已知
所在的平面上的动点
满足
，则直线
一定
经过
的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
【答案】C
【分析】由题意可得
，平行四边形法则知
表示的向量在
三角形角
的平分线上，从而即可得答案.
【详解】解：因为
，
根据平行四边形法则知
表示的向量在三角形角
的平分线上，
而向量
与
共线，
点的轨迹过
的内心.故选：
．
5.（2023 春·全国·专题练习）已知
，
是其内心，内角
所对的边分别
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合平面向量线性运算以及正弦定理等知识求得正确答案.
【详解】延长
，分别交
于
.内心是三角形三个内角的角平分线的交点.
在三角形
和三角形
中，由正弦定理得：
，
由于
，所以
，
，
同理可得
，
，
.
所以
，
则
.
故选：C
题型十四：四心向量：垂心
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1.（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知
是
内的一点，若
、
、
的面积分
别记为
、
、
，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这
个定理对应的图形与“奔驰”轿车的
很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知
是
的
垂心，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由O 是垂心，可得
，结合
可得
，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解.
【详解】∵
是
的垂心，延长
交
与点
，
∴
，同理可得
，∴
：
，又
，∴
，
又
，∴
，
不妨设
，其中
，
∵
，∴
，解得
或
，
当
时，此时
，则
都是钝角，则
，矛盾.
故
，则
，∴
是锐角，
，
于是
，解得
.故选：A.
四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为垂心，则
.
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2.（2023 春·浙江绍兴·校考阶段练习）奔驰定理：已知点O 是
内的一点，若
的面
积分别记为
，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是
的垂心，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】延长
交
于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得
，再利用
和
可得
，不妨设
，利用
可求出
的值，从而可求出
的值.
【详解】延长
交
于点P，
是
的垂心，
，
．
同理可得
，
．
又
，
．
又
，
．不妨设
，其中
．
，
，解得
．
当
时，此时
，则A，B，C 都是钝角，不合题意，舍掉．
故
，则
，故C 为锐角，∴
，解得
，故选：B．
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用
垂心的性质得
，再结合已知条件得
，设
，再利用两角和的正切公式可得
，从而可求得结果，考查计算能力和转化
思想，属于较难题.
3.（2020·全国·高三专题练习）设
是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点， 动点P 满足
，
，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
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【答案】D
【详解】试题分析：
,
,
,
,
则动点
的轨迹一定通过
的垂心．故C 正确．
4.（2023·江苏·专题练习）已知点
为
所在平面内的动点，且满足
，则点
的轨迹一
定通过
的（ ）
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
【答案】A
【分析】根据条件
得到
，即
，从而判断出点
的轨迹经过
的垂
心.
【详解】因为
，所以
，
即
，所以
，
所以点
的轨迹经过
的垂心.
故选：A.
5.（2020 春·天津和平·耀华中学校考阶段练习）已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且
，则O 一定为△ABC 的（ ）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
【答案】C
【解析】利用向量的等式关系
，转化成
，利用向量加减法
运算化简得到
，即证
，再同理证得
，即得
是
的垂心．
【详解】由
得：
，
即
，故
，
故
，
，
又
，
，
，即
，
同理
，即
，所以
是
的垂心．故选：C.
题型十五：四心向量：重心
1.（2023·全国·专题练习）在
中，
，
，且
，
，则
点
的轨迹一定通过
的（ ）
四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为重心，则
；
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A．重心
B．内心
C．外心
D．垂心
【答案】A
【分析】过C 作
，交AB 于H，取AB 中点D，连接CD，所以
，根据向量
的线性运算法则，化简可得
，根据三角形的性质，分析即可得答案.
【详解】过C 作
，交AB 于H，取AB 中点D，连接CD，如图所示：
根据三角函数定义可得
，因为
，
所以
，即
，即点P 的轨迹在中线CD 上，而三角形三边中线的交点为
该三角形的重心，所以点
的轨迹一定通过
的重心.故选：A
2.（2023·全国·高三专题练习）已知
的三个内角分别为
为平面内任意一点，动点
满足
则动点P 的轨迹一定经过
的（ ）
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心
【答案】A
【分析】利用正弦定理及向量的线性运算可判断.
【详解】在
中，令线段
的中点为
，由正弦定理
，
得
，由
，得
即
，而
，
则
，于是得
与
同向共线，而它们有公共起点，即动点
的轨迹是射线
除点
A 外),又重心在线段
上，
动点
的轨迹一定经过
的重心．故选：A.
3.（2021 春·重庆渝中重庆复旦中学校考阶段练习）设
是
内任意一点，
表示
的面积，
，
，
，定义
.若
是
的重心，
，则
（ ）
A．点
与点
重合
B．点
在
内
C．点
在
内
D．点
在
内
【答案】D
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【分析】分析理解题中所给定义的含义，将
值转化为三角形高的比值，找出特殊的
值并比较大小即可
得出答案.
【详解】如图，过点
作
,由三角形重心性质知
,同理
,
由题中定义易得
，
由
知
在直线
上，
又因为
，取
中点
,取
中点
,连接
,则
是
中位线，
由题中所给定义可知，点
在直线
上，
综上，如图，点
在
内
故选:D
4.（2022·全国·高三专题练习）设
的内角
的对边分别为
，点
为
的重心且满足向
量
，若
，则实数
A．3
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】因为
，化简即可得出答案.
【详解】
，
，
如图，连接
，延长
交
于
， 由于
为重心，故
为
中点，
，
，
由于
为重心，由重心的性质，
，
，因为
，
，
，
，
，
，
．故选:C．
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