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专题13 向量线性运算及三大定理与四心归类
目录
题型一：线性运算：等分点型.............................................................................................................................................1
题型二：线性运算：四边形等分点型.................................................................................................................................3
题型三：线性运算：基底非同一起点.................................................................................................................................4
题型四：三大定理：奔驰定理.............................................................................................................................................6
题型五：三大定理：极化恒等式.........................................................................................................................................8
题型六：三大定理：等和线基础.........................................................................................................................................9
题型七：等和线三角换元型...............................................................................................................................................10
题型八：等和线系数不是1 构造型...................................................................................................................................11
题型九：等和线均值型.......................................................................................................................................................12
题型十：等和线二次型.......................................................................................................................................................12
题型十一：等和线系数差型...............................................................................................................................................13
题型十二：四心向量：外心...............................................................................................................................................14
题型十三：四心向量：内心...............................................................................................................................................15
题型十四：四心向量：垂心...............................................................................................................................................15
题型十五：四心向量：重心...............................................................................................................................................16
题型一：线性运算：等分点型
1．（23-24·河北唐山·阶段练习）如图，
中，
为
边的中点，
为
的中点，则
（ ）
A．
B．
线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线上三点
、
、
，且满足
(
)，在直线外
任取一点
，设
，
，可得
.
重要结论：若直线上三点
、
、
，
为直线外任一点，
则
.
证明：
，则
，
则
.
1
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C．
D．
2．（23-24 四川乐山·阶段练习）如图，已知点
是
的重心，过点
作直线分别与
，
两边交
于
，
两点，设
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．3
3．（23-24·陕西渭南·阶段练习）如图，在
中，已知
，P 为
上一点，且满足
，则实数m 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 天津·阶段练习）如图，在
中，
，
，
为
上一点，且
，若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 甘肃临夏·阶段练习）如图，在
中，点O 是BC 的中点，
，分别连接
MO、NO 并延长，与边AB 的延长线分别交于P，Q 两点，若
，则
（ ）
A．2
B．1
C．－2
D．－1
2
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题型二：线性运算：四边形等分点型
1．（23-24·江苏苏州·阶段练习）在平行四边形
中，
，
分别在边
，
上，
，
，
与
相交于点
，记
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 山西·阶段练习）如图，在正方形
中，
,
和
相交于点G，且F 为
上一
点（不包括端点），若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．15
3．（23-24 宁夏银川·）如图所示的矩形
中，
，
满足
，
，
为
的中点，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
4．（23-24 陕西咸阳）如图所示，在正方形
中，
为
的中点，
为
的中点，若
，则
（ ）
四边形基底线性运算，可以用基底推导，也可以通过特殊化构造坐标系设点计算
3
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A．
B．
C．
D．
5．（23-24 新疆乌鲁木齐·模拟）如图，在平行四边形
中，
，
，
与
交于
点
.设
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型三：线性运算：基底非同一起点
1．（23-24·四川成都·）在正六边形ABCDEF 中，
，则
（ ）
向量共线定理和向量基本定理
①向量共线定理(两个向量之间的关系)：向量
与非零向量
共线的充要条件是有且只有一个实数
，使得
.
变形形式：已知直线上三点
、
、
，
为直线外任一点，有且只有一个实数
，使得：
.
特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意“
”，否则
可能不存在，也
可能有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两
向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直
线不重合.
②平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：
若
、
是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量
，有且只有一对实数
、
，使
.
特别提醒：不共线的向量
、
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
基底的不唯一性：只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量
都可被这个平面的一组基底
、
线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.
4
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A．
B．
C．
D．1
2．（23-24 浙江·阶段练习）已知六边形ABCDEF 为正六边形，且
，
，以下不正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 重庆巴南·阶段练习）如图，矩形
中，点
是线段
上靠近
的三等分点，点
是线段
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三河南·阶段练习）已知
为等边三角形，分别以CA，CB 为边作正六边形，如图所示，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 甘肃天水·阶段练习）如图，四边形
是平行四边形，点
分别为
的中点，若以
5
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向量
为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型四：三大定理：奔驰定理
1．（23-24 甘肃）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它
的具体内容是：已知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，且
为
内一点，
，则
.
重要结论：
，
，
.
结论1：对于
内的任意一点
， 若
、
、
的面积分别为
、
、
，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于
平面内的任意一点
，若点
在
的外部，并且在
的内部或其对顶角的内部所
在区域时，则有
.
结论3：对于
内的任意一点
， 若
，则
、
、
的面积之比为
.
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于
所在平面内不在三角形边上的任一点
，
，则
、
、
的面积分别为
.
即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.
各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.
6
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.若
为
的垂心，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 河北）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O 为
内的一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
．因其几何表示酷似奔驰的标志，所以
称为“奔驰定理”．已知O 为
的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024 上海·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美
的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知
是
内一点，
的面积分别为
，且
．以下
命题错误的是（ ）
A．若
，则
为
的重心
B．若
为
的内心，则
C．若
，
为
的外心，则
D．若
为
的垂心，
，则
4．（2023 高三河南南阳·阶段练习）奔驰定理：已知
是ΔABC内的一点，
，
，
的面积
分别为
，
，
，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”
若
是锐角ΔABC内的一点，
，
，
是ΔABC的三个内角，且点
满足
，
则必有（ ）
A．
7
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B．
C．
D．
5．（2022·安徽·三模）平面上有
及其内一点O，构成如图所示图形，若将
，
，
的面积分别记作
，
，
，则有关系式
．因图形和奔驰车的
很相似，
常把上述结论称为“奔驰定理”．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若满足
，则O 为
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
题型五：三大定理：极化恒等式
1.（2023·全国·统考高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
2.（江苏·高考真题）如图，在
中，
是
的中点，
是
上的两个三等分点，
，
，则
的值是 .
3.如图,在
中,已知
,点
分別在边
上,
且
,若
为
的中点,则
的值为________
设a，b 是平面内的两个向量，则有
①几何解释1（平行四边形模型）以
，
为一组邻边构造平行四边形
，
，则
，由
，得
．
即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的
”．
②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M 为对角线的交点，则由
变形为
，得
，
该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
8
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4.（23-24 高三·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对
角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，
，我们称为极化恒等式. 已
知在
中，
是
中点，
，
，则
（ ）
A．
B．16
C．
D．8
5.（21-22·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角
线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：
，我们称为极化恒等式.在△
中，
是
中点，
，
，则
（ ）
A．32
B．-32
C．16
D．-16
题型六：三大定理：等和线基础
1.（2023·江西吉安·高三统考阶段练习）如图，半径为
的扇形
的圆心角为120°，点C 在弧
上，
且
，若
，则
________.
2.（2023 春·浙江温州·校考开学考试）两个单位向量
且
，
点在弧
上动，若
，则
的取值范围是___________________
3.正六边形
中，令
，
，
是△
内含边界的动点（如图），
，则
的最大值是（ ）
形如
，求
值或者范围，其中可以理解对应系数如
，称
之为“和”系数为1.这种类型，可以直接利用“基底线”平移，做比值即可求得
9
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A．1
B．3
C．4
D．5
4.已知
是
的外心，
，则
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
5.已知在
中，
，
，
，P 为BC 上任意一点（含B，C），以P 为圆心，1 为半
径作圆，Q 为圆上任意一点，设
，则
的最大值为
A．
B．
C．
D．
题型七：等和线三角换元型
1.（2023·全国·高一假期作业）如图，扇形的半径为1，且
，点C 在弧
上运动，若
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2.（2023 春·湖北湖北省红安县第一中学校联考阶段练习）如图，扇形的半径为1，且
，点C 在
弧
上运动，若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
3.（2023 春·重庆万州·万州外国语学校天子湖校区校考阶段练习）如图，在半径为的圆
中，点
为圆
上的定点，且
，点
为圆上的一个动点，若
，则
的取值范围
是________．
如果点在圆上运动，则可以借助圆的参数方程（或者三角换元），用向量的坐标运算求
解
10
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4.在直角梯形.
中，
，
分别为
的中点，以
为圆心，
为半径的圆交
于
，点
在
上运动（如图）.若
，其中
，则
的
最大值是________.
5.已知正三角形
的边长为2，D 是边
的中点，动点P 满足
，且
，其中
，则
的最大值为___________．
题型八：等和线系数不是1 构造型
1.如图，边长为2 的等边三角形的外接圆为圆
，
为圆
上任一点，若
，则
的最
大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
2.（23-24·安徽芜湖·阶段练习）如图，已知点
是
的重心，过点
作直线分别与
，
两边交于
，
两点，设
，
，则
的最小值为（ ）
形如
，求
值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构
造三角函数辅助角形式求最值
11
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A．9
B．4
C．3
D．
3.（2023·全国·高三专题练习）已知
是
内一点，且
，点
在
内（不含边
界），若
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
4.（20-21·福建·阶段练习）已知平行四边形
中，点E，F 分别在边
上，连接
交
于点
M，且满足
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
题型九：等和线均值型
1.（2023 春·四川眉山校考阶段练习）已知点G 是
的重心，过点G 作直线分别与
两边相交于
点M，N 两点（点M，N 与点B，C 不重合），设
，
，则
的最小值为 ．
2.（2023 春·重庆·校联考阶段练习）在
中，点D 满足
，过点D 的直线交线段AB 于点
M、交线段AC 的延长线于点N，记
，
，则
的最小值为 .
3.（2023 春·山东菏泽统考模拟）在
中，点
是线段
上的点，且满足
，过点
的直线
分别交直线
于点
，且
，
，其中
且
，若
的最小值为
.
利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围
基本不等式：≤；
(1) 基本不等式成立的条件：a >0
，
b >0
；
(2) (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝
b .
(3) 基本不等式的变形：
①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值；
12
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4.（2023·全国·高三专题练习）已知A、B、P 是直线上三个相异的点，平面内的点
，若正实数x、y
满足
，则
的最小值为 .
5.（23-24 高三·天津武清·阶段练习）在
中，
，E 是线段
上的动点（与端点不重合），
设
，则
的最小值是（ ）
A．10
B．4
C．7
D．13
题型十：等和线二次型
1.（23-24·陕西西安·阶段练习）点
是
所在平面内一点，若
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
2.（2019 秋·江苏苏州·校考阶段练习）如图，在正方形
中，
为
的中点，
是以
为圆心，
为半径的圆弧上的任意一点，设
，则
的最小值为 ．
3.（2024 高三·全国·专题练习）已知
的边
的中点为
，点
在
所在平面内，且
，若
，则
（ ）
A．5
B．10
C．20
D．30
4.（2022·全国·高三专题练习）已知
为双曲线
上不同三点，且满足
（
为
坐标原点），直线
的斜率记为
，则
的最小值为
A．8
B．4
C．2
D．1
5.（2023·全国·高三专题练习）如图，在
中，
为边
上不同于
，
的任意一点，点
满足
.若
，则
的最小值为 .
形如
，求关于
二次型值或者范围，有如下思维：
（1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题；
（2）得到关于
的不等式中没有
，所以取
，建立
之间的关系；
（3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式；
（4）根据二次函数的最值及的范围求出最值.
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题型十一：等和线系数差型
1.（四川资阳·统考一模）如图，在直角梯形
中，
，
∥
，
，
，图
中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为
，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若
，
其中
，则
的最大值为
A．
B．
C．2
D．
2.（安徽合肥·统考一模）已知向量
、
、
满足
,若对于每一个确定的
的最大值和最小值分别为
、
，则对于任意的
，
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.在
中，点
满足
.若存在点
，使得
，且
，则
的取值范围是___．
4.（22-23 高三·河北唐山·阶段练习）如图，在
中，
是线段
上的一点，且
，过点
的
直线分别交直线
，
于点
，
，若
，
，则
的最小值是
（ ）
形如
，求
值或者范围，有如下思维：
1. 如果动点P 在圆上运动，可以通过圆的参数方程转化为辅助角求解。
2. 可以借助等和线，找到
=定值，然后代入消元求解单元变量范围或最值
14
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A．
B．
C．
D．
题型十二：四心向量：外心
1.（2023 春·江苏无锡·锡东高中校考阶段练习）在
中，
，
，
，角
是锐角，
为
的外心，若
，其中
，则点
的轨迹所对应图形的面积是
．
2.（2023 春·广东佛山·南海中学校考阶段练习）如图，O 为
的外心，
，
，
为钝
角，
是边
的中点，则
.
3.（2023 春·吉林长春·东北师大附中校考阶段练习）已知点O 是△ABC 的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC 为
钝角，M 是边BC 的中点，则
．
4.（2023 春·江西宜春·江西省清江中学校考阶段练习）设
为
的外心a，b，c 分别为角A，B，C 的对
边，若
，
，则
．
5.（2023 春·辽宁·葫芦岛第一高级中学校联考阶段练习）已知
为
的外心，
，
，分别为内角
，
，
的对边，且
，则
的取值范围是 .
题型十三：四心向量：内心
1.（2022 春·甘肃兰州·兰州市第二中学校考模拟）在面上有
及内一点
满足关系式：
即称为经典的“奔驰定理”，若
的三边为
，
，，现有
，则
为
的 心.
2.（2023 浙江·模拟预测）已知
中，
，
是
的内心，
是
内部
（不含边界）的动点，若
，则
的取值范围是（ ）
四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为外心，则
；
四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为内心，则
；
15
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A．
B．
C．
D．
3.（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O 是平面上的一个定点，A､B､C 是平面上不共线的三点，动点P
满足
，则点P 的轨迹一定经过
的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
4.（2023·全国·专题练习）已知
所在的平面上的动点
满足
，则直线
一定
经过
的（ ）
A．重心
B．外心
C．内心
D．垂心
5.（2023 春·全国·专题练习）已知
，
是其内心，内角
所对的边分别
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十四：四心向量：垂心
1.（2023·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知
是
内的一点，若
、
、
的面积分
别记为
、
、
，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这
个定理对应的图形与“奔驰”轿车的
很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知
是
的
垂心，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
2.（2023 春·浙江绍兴·校考阶段练习）奔驰定理：已知点O 是
内的一点，若
的面
积分别记为
，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为垂心，则
.
16
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因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是
的垂心，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2020·全国·高三专题练习）设
是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点， 动点P 满足
，
，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
4.（2023·江苏·专题练习）已知点
为
所在平面内的动点，且满足
，则点
的轨迹一
定通过
的（ ）
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
5.（2020 春·天津和平·耀华中学校考阶段练习）已知点O 为△ABC 所在平面内一点，且
，则O 一定为△ABC 的（ ）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
题型十五：四心向量：重心
1.（2023·全国·专题练习）在
中，
，
，且
，
，则
点
的轨迹一定通过
的（ ）
A．重心
B．内心
C．外心
D．垂心
2.（2023·全国·高三专题练习）已知
的三个内角分别为
为平面内任意一点，动点
满足
则动点P 的轨迹一定经过
的（ ）
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心
3.（2021 春·重庆渝中重庆复旦中学校考阶段练习）设
是
内任意一点，
表示
的面积，
四心的向量统一形式：设
是
内一点且
；
若
为重心，则
；
17
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，
，
，定义
.若
是
的重心，
，则
（ ）
A．点
与点
重合
B．点
在
内
C．点
在
内
D．点
在
内
4.（2022·全国·高三专题练习）设
的内角
的对边分别为
，点
为
的重心且满足向
量
，若
，则实数
A．3
B．2
C．
D．
18
