重难点16 坐标法与极化恒等式、等和（高）线定理在平面向量中的
应用
【全国通用】
【题型1 坐标法解决平面向量线性运算问题】.....................................................................................................4
【题型2 坐标法解决平面向量数量积问题】.........................................................................................................5
【题型3 坐标法解决向量共线、垂直问题】.........................................................................................................5
【题型4 利用极化恒等式求值】..............................................................................................................................5
【题型5 利用极化恒等式求最值（范围）】.........................................................................................................7
【题型6 等和线解决系数和问题】..........................................................................................................................8
【题型7 等和线解决其他系数问题】......................................................................................................................9
1、坐标法、极化恒等式与等和（高）线定理
坐标法是解决平面向量问题的重要方法，坐标运算能将问题从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达
成解题的目标.对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统
一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的.
极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型
和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
等和（高）线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值
（范围）中有着重要作用.
知识点
1 坐标法解决平面向量问题
1．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和
（差）
的坐标表示
由于向量⃗a=(
)，⃗b=(
)等价于⃗a=
，⃗b=
，所以⃗a+⃗b=(
)+(
)=
，即⃗a+⃗b=(
).同理可得⃗a-⃗b=(
).
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由⃗a=(x,y)，可得⃗a=
，则λ⃗a=
=
，即λ⃗a=(λx,λy).
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量⃗a=(
)，⃗b=(
)等价于⃗a=
，⃗b=
，所以⃗a·⃗b=(
)·(
)=
.又
=1，
=1，
=
=0，所以⃗a·⃗b=
.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若⃗a=(x,y)，则
或
.
其含义是：向量⃗a的长度(模)等于向量⃗a的横、纵坐标平方和的算术平方根.
3．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设⃗a=(
)，⃗b=(
)，其中⃗b≠0.向量⃗a，⃗b (⃗b≠0)共线的充要条件是
.
②三点共线的坐标表示
若A(
)，B(
)，C(
)三点共线，则有
，从而
，
即
.
(2)夹角的坐标表示
设⃗a，⃗b都是非零向量，⃗a=(
)，⃗b=(
)，是⃗a与⃗b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得
.
(3)垂直的坐标表示
设⃗a=(
)，⃗b=(
)，则
.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
4．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐
标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
知识点
2 极化恒等式
1．极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设
，则
，
，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：
————极化恒等式
平行四边形模式：
.
2．几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的
．
(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线
长”平方差的
，即
(如图).
(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即
(M 为BC 的中点)(如图).
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.
知识点
3 等和
( 高
) 线定理
1．等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若
(λ,μ∈R)，则
λ+μ=1 ，由△OAB 与△OA'B' 相似，必存在一个常数k,k R
∈
，使得
，则
，又
(x,y∈R)，∴x+y=kλ+kμ= k；反之也成立.
(2)平面内一个基底
及任一向量
，
(λ,μ∈R)，若点P'在直线AB 上或在平行
于AB 的直线上，则λ+μ=k(定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和
( 高
) 线
.
①当等和线恰为直线AB 时，k=1；
②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k (0,1)
∈
；
③当直线AB 在O 点和等和线之间时，k (1,+
∈
∞)；
④当等和线过O 点时，k=0；
⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k1，k2互为相反数；
⑥定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.
【题型1 坐标法解决平面向量线性运算问题】
【例1】（2025·天津红桥·模拟预测）若向量⃗a=(−1,0)，⃗b=(0,1)，则⃗a+2⃗b
的坐标为（ ）
A．(−1,2)
B．(−1,1)
C．(0,1)
D．(1,2)
【变式1-1】（2025·云南曲靖·二模）已知A (−2,1),B (−1,3),C (3,4)，若点D 满足⃗AB =⃗DC，则点D的
坐标为（ ）
A．(2,2)
B．(3,1)
C．(1,3)
D．(5.5)
【变式1-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知向量⃗a=(1, x−2)，⃗b=(x ,3)，若⃗a= λ⃗b(λ>0)，则x等于
（ ）
A．−3
B．−1
C．1
D．3
【变式1-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知向量⃗w，⃗v，⃗u在正方形网格中的位置如图所示，将⃗w绕着起
点顺时针方向旋转90
∘后得到向量⃗a，若⃗u=m⃗a−n⃗v，则m+n=（ ）
A．−7
2
B．−1
2
C．3
2
D．5
2
【题型2 坐标法解决平面向量数量积问题】
【例2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量⃗a=(2,4),⃗b=(m,8)，若⃗a⋅⃗b= 40，则|⃗b)=
（ ）
A．5
B．2❑√5
C．4 ❑√5
D．10
【变式2-1】（2025·重庆·模拟预测）已知⃗a为单位向量，⃗b=(−1,❑√3)，若|2⃗a−⃗b|=2
，则⃗a与⃗b
的夹角为
（ ）
A．30°
B．60°
C．120°
D．150°
【变式2-2】（2025·四川广安·模拟预测）已知向量a
→
=(1,2)，b
→
=(3,−1)，若向量⃗c满足⃗c·⃗a= 4且⃗c·⃗b=5
，则向量⃗c的坐标为（ ）
A．(2,1)
B．(1,2)
C．(−1,3)
D．(3,−1)
【变式2-3】（2025·河北秦皇岛·三模）在正方形ABCD中，P，Q分别为BC，CD的中点，若⃗
AC ⋅⃗AP = 3
2
，则⃗AB⋅⃗BQ =（ ）
A．1
2
B．−1
2
C．
❑√2
2
D．−
❑√2
2
【题型3 坐标法解决向量共线、垂直问题】
【例3】（2025·湖北武汉·三模）在矩形ABCD中，A (−1,0),B (x ,1−x)，若⃗n=(2,−3)，且⃗n//⃗AD，
则x =（ ）
A．−5
B．−1
5
C．1
5
D．5
【变式3-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量⃗a=(λ−1,1),⃗b=(2, λ)，若(⃗a−⃗b)⊥(⃗a+⃗b)，则λ =
（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【变式3-2】（2025·辽宁辽阳·一模）已知向量⃗AB =(5,1)，⃗BC =(m,9)，⃗CD =(8,5).若A、C、D三点共
线，则m=（ ）
A．5
4
B．−11
C．11
D．−5
4
【变式3-3】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量⃗a=(1,2)，⃗b=(2,m)，若(⃗a+⃗b)⊥(⃗a−⃗b)，则实数m=
（ ）
A．−1
B．1
C．−1或1
D．4
【题型4 利用极化恒等式求值】
【例4】（24-25 高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形
的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a⋅b= 1
4 (|⃗AD)
2−|⃗BC)
2)，我们称为极
化恒等式. 已知在△ABC中，M是BC中点，AM =3，BC =10，则⃗AB⋅⃗AC =（ ）
A．−16
B．16
C．−8
D．8
【变式4-1】（2024·四川绵阳·三模）如图，在△ABC中，AF = BF =6, EF =5，则⃗EA ⋅⃗EB =（ ）
A．−11
B．−13
C．−15
D．15
【变式4-2】（24-25 高一下·海南海口·阶段练习）如图，在边长为2 的正方形ABCD 中，其对称中心O 平
分线段MN，且MN =2BC，点E 为DC 的中点，则⃗EM ⋅⃗EN =（ ）
A．1
B．3
C．−1
D．−3
【变式4-3】（24-25 高一下·江苏苏州·期中）阅读一下一段文字：(⃗a+⃗b)
2=⃗a
2+2⃗a⋅⃗b+⃗b
2，
(⃗a−⃗b)
2=⃗a
2−2⃗a⋅⃗b+⃗b
2，两式相减得(⃗a+⃗b)
2−(⃗a−⃗b)
2= 4⃗a⋅⃗b⇒⃗a⋅⃗b= 1
4 [(⃗a+⃗b)
2−(⃗a−⃗b)
2] 我们把这
个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．
试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E，F 是AD 上的两个三等分点．
(1)若AD＝6，BC＝4，求⃗AB⋅⃗AC的值；
(2)若⃗AB⋅⃗AC = 4，⃗F B⋅⃗F C =−1，求⃗E B⋅⃗EC的值．
【题型5 利用极化恒等式求最值（范围）】
【例5】（24-25 高一下·福建泉州·期中）在Rt△ABC中，∠A =90
∘, AB =2, AC =6，D 为BC 的中点，
点P 在△ABC斜边BC 的中线AD 上，则⃗PB·⃗PC的取值范围为（ ）
A．[−10,0)
B．[−6,0)
C．[0,6)
D．[0,10)
【变式5-1】（2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，且AB =2，
MC = MD =CD =1．若点N 在线段CD（端点除外）上运动，则⃗NA ⋅⃗NB的取值范围是（ ）
A．[−1
4 ,0)
B．[0，3
4)
C．[
1
4 ,1)
D．[−3
4 ,0)
【变式5-2】（24-25 高一下·江苏南通·期中）正三角形ABC的边长为3，点D在边AB上，且⃗BD =2⃗DA，
三角形ABC的外接圆的一条弦MN过点D，点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，⃗PM ⋅⃗PN的
取值范围是（ ）
A．[−1,5]
B．[−1,7]
C．[0,2]
D．[1,5]
【变式5-3】（24-25 高一下·河北邯郸·阶段练习）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，
解答问题.
1.极化恒等式：⃗a⋅⃗b= 1
4 [(⃗a+⃗b)
2−(⃗a−⃗b)
2)，公式推导：
(a
→
+ b
→)
2
= a
→
2+2a
→
· b
→
+ b
→
2
(a
→
−b
→)
2
= a
→
2−2a·
→
b
→
+ b
→
2)
⇒a·
→
b
→
= 1
4[(a
→
+ b
→)
2
−(a
→
−b
→)
2)；
2.平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点，则⃗AB⋅⃗AD = 1
4 [|AC)
2−|BD)
2)；
3.三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则⃗AB⋅⃗AC =|AD)
2−|BD)
2.推导过程：由⃗
AB⋅⃗AC =[
1
2 (⃗AB+⃗AC))
2
−[
1
2 (⃗AB−⃗AC))
2
=⃗AD
2−(
1
2⃗CB)
2
=|⃗AD)
2−|⃗DB)
2.
(1)如图，在边长为2 的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且MN =2BC，点E为DC的中
点，求⃗EM ⋅⃗EN的值；
(2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八
卦图的平面图如图2 所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，MN是圆O的一条直
径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为2❑√2+2，|AB)=|MN )= 4.若点P是正八边形ABCDEFGH
边上的一点，求⃗PM ⋅⃗PN的取值范围；
(3)已知△ABC中，AB = 4，AC =2，且| λ⃗AB+(2−2 λ)⃗AC ∣(λ∈R)的最小值为2❑√3，若P为边AB上
任意一点，求⃗PB⋅⃗PC的最小值.
【题型6 等和线解决系数和问题】
【例6】（24-25 高一下·浙江宁波·期中）如图，在△ABC中，已知⃗BD = 1
2⃗DC，⃗AE =2⃗EC，P 是线段
AD与BE的交点，若⃗AP =m⃗AB+n⃗AC，则m+n的值为（ ）
A．3
7
B．6
7
C．1
D．9
7
【变式6-1】（24-25 高一下·山东青岛·阶段练习）如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段
AD上的动点，若⃗BE = x⃗BA + 1
2 y⃗BC，则x + y的值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．8
【变式6-2】（24-25 高一下·山东济南·阶段练习）如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD
内任意一点(含边界)，且⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AC，则λ+ μ的取值范围为（ ）
A．[1,3)
B．[1,2)
C．[2,3)
D．[1,4)
【变式6-3】（24-25 高一下·四川成都·期中）如图，在△ABC中，点M是AB上的点且满足⃗AM =3⃗MB，
N是AC上的点且满足⃗AN =⃗NC，CM与BN交于P点，且⃗AP = λ⃗AB+ μ⃗AC，则λ+ μ=（ ）
A．1
2
B．2
3
C．3
4
D．4
5
【题型7 等和线解决其他系数问题】
【例7】（2025 高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BD与CE交于点F
．若⃗AF = x⃗AD + y⃗AB(x , y ∈R)，则x−y =（ ）
A．−1
3
B．0
C．1
3
D．1
【变式7-1】（24-25 高一下·陕西咸阳·期末）如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的
中点，若⃗AF = λ⃗AB−μ⃗AD，则λ+ μ=（ ）
A．−5
4
B．−1
4
C．1
4
D．5
4
【变式7-2】（2025·河南许昌·三模）在△ABC中，点D 在BC 上，且满足|BD)= 1
4|BC)，点E 为AD 上任
意一点，若实数x，y 满足⃗BE = x⃗BA + y⃗BC，则1
x + 2
y
的最小值为（ ）
A．2❑√2
B．4 ❑√3
C．4+2❑√3
D．9+ 4 ❑√2
【变式7-3】（24-25 高一下·安徽宿州·期中）在△ABC中，点D满足⃗BD = 3
4⃗BC，点E在射线AD（不含点
A）上移动，若⃗AE = λ⃗AB+ μ⃗AC ,
则( μ+2)
2+ λ
2的取值范围是（ ）
A．[ 4 ,+∞)
B．(4 ,+ ∞)
C．(1,+∞)
D．[1,+∞)
一、单选题
1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量⃗a=(2,−1),⃗b=(x ,2)，若⃗a⊥⃗b，则|⃗a−⃗b)的值为（ ）
A．10
B．3 ❑√5
C．3 ❑√2
D．❑√10
2．（24-25 高三上·上海奉贤·期中）在△ABC中，BC =10，M为BC中点，AM = 4，则⃗AB⋅⃗AC =（ ）
A．−9
B．−16
C．9
D．16
3．（2025·全国·模拟预测）已知向量⃗a=(2,0)，⃗a−⃗b=(3,−❑√3)，则cos⟨⃗a−2⃗b,⃗a)=（ ）
A．−
❑√3
5
B．
❑√7
5
C．2❑√7
7
D．
❑√7
7
4．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，F为边CD上靠近点D
的三等分点，G为EF的中点，记⃗AG = λ⃗AB+ μ⃗AD，则λ+ μ=（ ）
A．17
12
B．13
12
C．7
12
D．5
12
5．（2025·河北衡水·模拟预测）已知向量⃗a=(1, 2),⃗b=(2, 3)，则下列结论不正确的是（ ）
A．(⃗b−⃗a)⋅⃗a=3
B．(⃗a+⃗b)⊥(21⃗a−13⃗b)
C．|2⃗b−⃗a)=2❑√6
D．⃗b在⃗a方向上的投影向量为(
8
5 , 16
5 )
6．（2025·河南·二模）在△ABC中，D 是AC 边的中点，且点M 满足⃗BD =3⃗BM，若⃗AM = λ⃗AB+ μ⃗AC
，则λ+ μ=（ ）
A．1
2
B．2
3
C．3
4
D．5
6
7．（24-25 高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的
“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：⃑a⋅⃑b= 1
4 (|⃑AD)
2−|⃑BC)
2)，我们称为极化恒
等式.在△ABC中，M是BC中点，AM =3，BC =10，则⃑AB⋅⃑AC =（ ）
A．32
B．-32
C．16
D．-16
8．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中
点，连接DE并延长到点F，使得DE = 1
3 EF，则⃗AF ⋅⃗BC的值为（ ）
A．3
4
B．1
8
C．−5
8
D．11
8
二、多选题
9．（25-26 高三上·福建泉州·阶段练习）设向量a
→
=(7 ,−1)，b
→
=(2,−1)，下列结论正确的是（ ）
A．|⃗a)=50
B．(⃗a−3⃗b)⊥⃗b
C．⃗a与⃗b夹角的余弦值为3 ❑√10
10
D．⃗a在⃗b方向上的投影向量的坐标为(6,−3)
10．（24-25 高一下·浙江·期中）已知△ABC的内角A =π
3
，AB =5，AC =3，O为△ABC所在平面上一
点，设⃗AO =m⃗AB+n⃗AC，则下列说法正确的是（ ）
A．若⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0，则m= 2
3
B．若⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗0，则m+n= 2
3
C．若|⃗OA)=|⃗OB)=|⃗OC)，则m+3n= 4
5
D．若|⃗OA)=|⃗OB)=|⃗OC)，则m+2n= 2
5
11．（2025·江西新余·模拟预测）已知矩形ABCD中，AB =10，BC =8，⃗BM = λ⃗BC，⃗DN = μ⃗DC，其
中0≤λ，μ≤1，|⃗MN )=5，则（ ）
A．λ+ μ是定值
B．若μ= 3
5
，则⃗AN = 5
8⃗AD + 3
5⃗AM
C．⃗AM ⋅⃗AN >90
D．|⃗AM +⃗AN )
2≤521
三、填空题
12．（25-26 高三上·内蒙古呼和浩特·开学考试）已知平面向量⃗a=( x ,1)，⃗b=(1−x ,2 x)，若⃗a⊥(⃗a+⃗b)
，则|⃗a|=
．
13．（24-25 高三上·江苏常州·阶段练习）在△ABC中，AD为中线，AD =3,BC =2，则⃗AB⋅⃗AC等于
.
14．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD =2 AB，AB⊥AD，E 是CD的中
点，若⃗AC = λ⃗BD + μ⃗AE，则λ+ μ=
.
四、解答题
15．（25-26 高二上·广西贵港·开学考试）已知非零向量⃗a=(x ,0)，⃗b=(1, x)，且|⃗a−⃗b)=1
．
(1)求x 的值；
(2)求向量⃗a与⃗b的夹角；
(3)求向量⃗a在⃗b方向上的投影向量的模．
16．（24-25 高一下·湖北武汉·期末）已知向量⃗a=(1, x−1)，⃗b=(2,3).
(1)若b⊥(a+b)，求x 的值；
(2)若向量⃗c =(1,2)，⃗b//(⃗a+⃗c)，求⃗a与⃗b
的夹角的余弦值.
17．（24-25 高一下·浙江杭州·期中）在△ABC中，∠BAC =90° , AB =2, AC =6，D 为AC 边上的中点，
E 为BC 边上一点，且⃗BE = λ⃗BC(0< λ<1).
(1)当λ = 1
2
时，若⃗AE = x⃗BD + y⃗AC，求x + y的值；
(2)当AE⊥BD时，求λ的值.
18．（24-25 高一下·江苏盐城·期中）在直角梯形ABCD 中，AB //CD，∠DAB =90°，
AB =2 AD =2 DC = 4，点F 是BC 边上的中点.
(1)若点E 满足⃗DE =2⃗EC，且⃗EF = λ⃗AB+ μ⃗AD，求6 λ+ μ的值；
(2)若点P 是线段AF 上的动点（含端点），求⃗AP⋅⃗DP的取值范围.
19．（24-25 高一下·新疆伊犁·期中）极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题．
材料1．代数模式极化恒等式：⃗a⋅⃗b= 1
4 [(⃗a+⃗b)
2−(⃗a−⃗b)
2)，
公式推导：(⃗a+⃗b)
2=⃗a
2+2⃗a⋅⃗b+⃗b
2
(⃗a−⃗b)
2=⃗a
2−2⃗a⋅⃗b+⃗b
2)⃗a⋅⃗b= 1
4 [(⃗a+⃗b)
2−(⃗a−⃗b)
2)；
材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形ABCD中，O 是对角线交点，则⃗
AB⋅⃗AD = 1
4[|AC
→)
2
−|⃗BD)
2)；
材料3．三角形模式：如图b，在△ABC中，设D 为BC的中点，则⃗AB⋅⃗AC =|⃗AD)
2−|⃗BD)
2．
推导过程：由⃗AB⋅⃗AC =[
1
2 (⃗AB+⃗AC))
2
−[
1
2 (⃗AB−⃗AC))
2
=⃗AD
2−(
1
2⃗CB)
2
=|⃗AD)
2−|⃗BD)
2．
(1)已知△ABC中，M 为AB中点，|AB)=8，|MC)=3，求⃗CA ⋅⃗CB的值；
(2)如图1，在边长为2 的正方形ABCD中，其对称中心O 平分线段MN，且MN =2BC，点E 为DC的中
点，求⃗EM ⋅⃗EN的值；
(3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太
极八卦图的平面图如图3 所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O 是正八边形的中心，MN是圆O 的一
条直径，且正八边形ABCDEFGH内切圆的半径为2❑√2+2，|AB)=|MN )= 4．若点P 是正八边形
ABCDEFGH边上的一点，求⃗PM ⋅⃗PN的取值范围．
