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数列：数列插项问题、数列新定义问题专项训练
考点目录
数列插项问题
数列新定义问题
考点一 数列插项问题
1
例3．（25-26 高二上·浙江嘉兴·期末）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：数列
为等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
；
(3)在数列
的任意相邻两项
与
（
）之间，插入k 个相同的数
，组成一个新的数列
，
记数列
的前n 项和为
，求
．
例4．（25-26 高三上·天津滨海·月考）已知数列
是各项均为正数的等比数列，其前
项和为
，
，且
，
，
成等差数列.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
；
(3)若对每个正整数
，在
与
之间插入
个 2，得到一个新的数列
. 设
是数列
的
前
项和，试求满足
的所有正整数
的值.
2
变式1．（25-26 高三上·江苏扬州·月考）已知正项数列
中，
为数列
的前n 项和，满足
，设
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前n 项和
；
(3)令
，在
和
之间插入k 个数构成一个新数列
：
，其中插入的所有
数依次构成数列
，通项公式
，求数列的
前30 项和
．
变式2．（25-26 高三上·天津和平·月考）已知数列
为等差数列，数列
为等比数列，且
，
，
，
.
(1)求
；
(2)已知
，求数列
的前
项和
；
(3)数列
的前
项和为
，对于数列
，
，在
和
之间插入数列
的前
项
，组成一
个新的数列
：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，求
.
3
4
变式3．（25-26 高二上·江苏苏州·月考）已知等比数列
的前
项和为
，且
，
(1)求数列
的通项公式；
(2)在
与
之间插入
个数组成一个公差为
的等差数列
①求数列
的通项公式；
②在数列
中是否存在不同的3 项
，
，
（其中
，
，
成等差数列）成等比数列？若存在，求出这
样的3 项；若不存在请说明理由.
变式4．（24-25 高三上·湖北武汉·开学考试）定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新
的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列
经过第一次“和扩充”后得到数列
；第二次“和扩充”后得到数列
.设数列
经过
次“和扩充”后得到的数列的项数
为
，所有项的和为
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求正整数
的最小值；
(3)是否存在数列
，使得数列
为等比数列？请说明理由.
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例1．（25-26 高三上·北京顺义·期末）已知数列
，定义数列
的伴随数列为
，其中
.记
，
，其中，
表示集合
中最大的数，
表示集合
中最小的数.
(1)已知数列
，求
和
；
(2)若
，
，
，求
的最小值；
(3)若
，
，求
的最大值.
例2．（2026·河北邢台·一模）已知数列
中至少含有5 项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，
构成
的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列
的完美子列.
(1)求数列2，3，4，5，6，7 的所有完美子列；
(2)将数列1，2，3，…，
，
，
，…，
的所有完美子列的个数记为
求数列
的通项公
式；
(3)证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列.
考点二 数列新定义问题
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例3．（25-26 高三上·北京房山·期末）已知集合
，数列
：
，
：
，
其中
，且当
时，
，
，当
时，
．
(1)若
，求
的值；
(2)当
时，若
为奇数，分别判断
与
是奇数还是偶数，并说明理由；
(3)若数列
中有
项为奇数，求
的最大值．
例4．（25-26 高二上·天津·期末）已知
为正整数且
，
为非零实数，数列
满足
，且
是
公差为1 的等差数列，
是公差为
的等差数列，
是公差为
的等差数列，以此类推.
(1)当
，
时，求
；
(2)求
的最小值（用含
的代数式表示）；
(3)记
除以
的整数部分为，余数为，求
的通项公式（用含
的代数式表示）.
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变式1．（25-26 高三上·北京朝阳·期末）设
为正整数且
，若由实数数对组成的序列
满足对任意
，均有
，则称
为一个
序列．若对一个
序列
，存在有序实数组
（其中
）使得
，则称
为一个
序列．
(1)已知序列
，判断序列
是否为
序列？序列
是否为
序列？说明理由；
(2)当
时，判断是否存在
序列
不是
序列？若存在，请举出一个符合要求
的
序列；若不存在，说明理由；
(3)若任意
序列
均是
序列，求
的所有可能取值．
变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义：当三个正数能够成为三角形的三条边长时，我们称其为三角数组，例
如3，5，7 是三角数组，3，5，9 不是三角数组．设
为数列
的前
项和，已知
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)从数列
中任意取出不同的三项
，证明：
为三角数组的充要条件是
为三角数组；
(3)从数列
的前
项
中任意取出不同的三项，证明：这三项为三角数组的概率
．参考公式：
．
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变式3．（25-26 高三上·北京西城·期末）已知
项数列
的各项均为正整数．若存在
，使得
满足以
下两个条件：①对任意
；②对任意奇数
．则称数列
具有性质
．
(1)判断下面两个数列是否具有性质
；（结论不要求证明）
数列A：1，2，3，1，2，3，2，1；
数列B：1，2，3，1，2，3，1，2，3，2，1．
(2)已知数列
具有性质
，且
，判断
中是否存在5 项，其值均为2？若存在，给出一个满足要求
的数列
；若不存在，说明理由；
(3)若数列
具有性质
，证明：
．
变式4．（25-26 高三上·北京海淀·期末）对有穷数列
，用
表示数列
中所有的项构成的
集合.定义变换
，
将数列
变换成数列
.
对有穷数列
，令数列
.
若
，则称
为
阶完美数列.
(1)写出所有的2 阶完美数列；
(2)若数列
为3 阶完美数列，求集合
的元素个数；
(3)是否存在16 阶完美数列？如果存在，求出所有的16 阶完美数列；如果不存在，说明理由.
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