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数列：数列插项问题、数列新定义问题专项训练
考点目录
数列插项问题
数列新定义问题
考点一 数列插项问题
例1．（25-26 高三上·北京顺义·期末）已知数列
，定义数列
的伴随数列为
，其中
.记
，
，其中，
表示集合
中最大的数，
表示集合
中最小的数.
(1)已知数列
，求
和
；
(2)若
，
，
，求
的最小值；
(3)若
，
，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)2
(3)2025
【详解】（1）由题意知，
，又
，
所以
.
故
.
（2）因为当
，
，
，
所以
，且
，使得
，
所以
，
，
则
.
此时，构造数列
为
满足等号成立.
所以
的最小值为2.
（3）对任意实数，若
，
考点二 数列新定义问题
则数列
的伴随数列
，其中
，
，
所以不妨设数列
中最大值为
，最小值为0.
记
，
，
令
，
，
先设
，则
，
因为
，
，
，
所以
，
构造数列
为
，满足上述式子等号成立.
若
，类似地有
.
构造数列
为
，满足上述式子等号成立.
显然
不成立.
综上，
的最大值为2025.
例2．（2026·河北邢台·一模）已知数列
中至少含有5 项，从该数列中任意取出三项，按从小到大的顺序排列，
构成
的子列，若该子列中的一项等于该子列中其余项的和，则称该子列为数列
的完美子列.
(1)求数列2，3，4，5，6，7 的所有完美子列；
(2)将数列1，2，3，…，
，
，
，…，
的所有完美子列的个数记为
求数列
的通项公
式；
(3)证明：若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列.
【答案】(1)
；
；
；
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【详解】（1）该数列的所有完美子列如下：
；
；
；
.
（2）数列
的完美子列
按首项分类，有如下情况：
若首项为，则完美子列为：
；
；
；
；
，共
个完美子列；
若首项为
，则完美子列为：
；
；
；
；
，共
个完美子列；
若首项为
，则完美子列为：
；
；
；
，共4
个完美子列；
若首项为
，则完美子列为：
；
，共2 个完美子列.
因此，
.
（3）设等比数列
的公比为
，易知
，
①当
时，若
，则
为非零常数列，即
，取出3 项后，
由于
，即其中任意一项都不等于另外两项之和，因此此时不存在完美子列；
若
，则
为
，易知其亦不存在完美子列；
②当
时 ，假设
存在完美子列.
（i）若
，当
时，设
的一个完美子列为
，
则
，且
，
但事实上
，所以上述等式不可能成立，此时
不存在完美子列；
当
时，此时
中项的绝对值随
的增大逐渐增大，同理
不存在完美子列.
（ii）若
，由①知不需要讨论
的子列中的项全为正数或全为负数的子列，
当
的一个完美子列中的项为两正一负时，设该完美子列为
，
其中
，（点拨：当
时，无论
的首项是正是负，
数列
中的项均为一正一负交替出现，所以不需要再讨论首项与0 的大小关系）
此时应有
，则
，（提示：只有正数中的最大数与负数的和才有可能等于另一个正
数）.
若
，则
，
若
，则
，
所以等式
不可能成立；
同理两负一正的情况也不成立。所以
不存在完美子列.
综上，若一个等比数列的公比为整数，则该数列不存在完美子列.
例3．（25-26 高三上·北京房山·期末）已知集合
，数列
：
，
：
，
其中
，且当
时，
，
，当
时，
．
(1)若
，求
的值；
(2)当
时，若
为奇数，分别判断
与
是奇数还是偶数，并说明理由；
(3)若数列
中有
项为奇数，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
为奇数；
为偶数
(3)
的最大值
【详解】（1）已知
是集合
的一个排列，所以
，
由题意，
，所以令
可得，
，因为
，所以
，所以
.
（2）设
的前
项和为
，由递推式
，可得
，又
，定义
，
，所以
，即
，所以
，因
为
为偶数，
为奇数，所以
为奇数，
，若
为偶数，则
为偶数，若
为奇数，则
偶数，所以
为偶数.
（3）
，因为
，若
为奇数，则
与
奇偶性相反，若
为偶数，则
与
奇偶性相同，集合
中有
个奇数，
个偶数，从
为奇数，为使数列
奇数项尽可能多，应优先使用偶数作为
的值，取
为
中所有的
个偶数，则
均为奇数，共
项，此时偶数已用完，
为奇数，则
为偶数，
为奇数，
为偶数，
，可知
为奇数，共
项，因此，奇数项共有
项，所以
的最大
值为
.
例4．（25-26 高二上·天津·期末）已知
为正整数且
，
为非零实数，数列
满足
，且
是
公差为1 的等差数列，
是公差为
的等差数列，
是公差为
的等差数列，以此类推.
(1)当
，
时，求
；
(2)求
的最小值（用含
的代数式表示）；
(3)记
除以
的整数部分为，余数为，求
的通项公式（用含
的代数式表示）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
为公差为1 的等差数列，所以
；
又
为公差为
的等差数列，
所以
，解得
；
（2）因为
为公差为1 的等差数列，所以
；
又
为公差为
的等差数列，所以
；
又
为公差
的等差数列，
所以
；
又
为正整数，所以
，故
的最小值为
；
（3）记
除以
的整数部分为，余数为，则
，
当
时，
是公差为
的等差数列，
而
，
依次类推得
，
累加得
，
即
，即
；
当
时，
，
当
时，
，
所以
，
依题意，当
时，
，
当
时，
，也满足上式，
综上，数列
的通项公式为
.
变式1．（25-26 高三上·北京朝阳·期末）设
为正整数且
，若由实数数对组成的序列
满足对任意
，均有
，则称
为一个
序列．若对一个
序列
，存在有序实数组
（其中
）使得
，则称
为一个
序列．
(1)已知序列
，判断序列
是否为
序列？序列
是否为
序列？说明理由；
(2)当
时，判断是否存在
序列
不是
序列？若存在，请举出一个符合要求
的
序列；若不存在，说明理由；
(3)若任意
序列
均是
序列，求
的所有可能取值．
【答案】(1)序列
为
序列，也是
序列；
(2)存在，
；
(3)
的所有可能取值为大于等于3 的奇数．
【详解】（1）由
可知序列
为
序列．
取
，有
,
，
故
，所以序列
为
序列．
（2）存在
序列
不是
序列．
取
，
则
，
所以此时序列
是
序列．
对任意有序实数组
，
可得
，
，
从而
．
所以序列
不是
序列．
（3）若
为偶数，则
．
取
，
则对于每个整数
均有
，
所以此时数对序列
是
序列．
对任意有序实数组
，
,
.
所以
与
的奇偶性相同．
所以
为奇数，从而
．
所以
．
所以序列
不是
序列．
若
为奇数，则
．
若对于一个
序列
，将其中的数对
更换为
，
或者将
与
对换位置，序列
仍然是
序列．，
所以不妨设对于任意
，均有
，
取
，则
①若对于每个
，均有
，不妨设
，
则有
．
,
,
.
则有
②若存在
，使得
，
则可设
．
记
，
，
当
为偶数时，
,
,
同时
,
.
当
为奇数时，
,
,
同时
,
.
综上可得
．
由已知条件得
及
．
则有
，
不妨设
，
若
，则
；
若
，则
．
综上可知，
的所有可能取值为大于等于3 的奇数．
变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义：当三个正数能够成为三角形的三条边长时，我们称其为三角数组，例
如3，5，7 是三角数组，3，5，9 不是三角数组．设
为数列
的前
项和，已知
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)从数列
中任意取出不同的三项
，证明：
为三角数组的充要条件是
为三角数组；
(3)从数列
的前
项
中任意取出不同的三项，证明：这三项为三角数组的概率
．参考公式：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）解法1：当
时，
，解得
．
当
时，两式相减得
，
整理得
，因为
，所以
，
所以
，从而
，
因此
，
所以，当
时数列
为常数列．
由于
，因此
，即
，且
和
适合上述关系．
因此数列
的通项公式为
．
解法2：当
时，
，解得
．
当
时，两式相减得
，
整理得
，因为
，所以
，
所以
，从而
，累加可得
，
由于
，因此
，即
，且
和
适合上述关系．
因此数列
的通项公式为
．
（2）证明：不妨设
，由（1）知数列
为递增数列，因此
．
充分性：若
为三角数组，则
．因为
、
，所以
，
所以
，
所以
为三角数组．
必要性：若
为三角数组，则
，即
，
所以
，所以
为三角数组．
故
为三角数组的充要条件是
为三角数组．
（3）证法1：由（2）知，从数列
的前
项
中任意取出不同的三项，
这三项为三角数组等价于从前
个正整数中依次取出三个不同的数，
这三个数为三角数组．从
中一次任取三个数
和
，
共有
种可能．
记从
中一次任取三个数为三角数组的可能数为
，则
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
，故
，
由累加法可得：
，
故
．
证法2：由（2）知
为三角数组的充要条件是
为三角数组．
从
中任意取出不同的三个数
，不妨设
，共有
种方法．
对于定值
，
当
，
时，
为三角数组，记满足条件的三角数组的个数为
，
当
为奇数时，
，
故
为偶数时，
，
当
为偶数时，所有满足条件的三角数组的个数为
，
此时
当
为奇数时，所有满足条件的三角数组的个数为
，
所以
．
故对任意
都成立．
证法3：由（2）可知，原命题可转化为：从前
个正整数中任意取出三个不同的数，
则这三个数为三角数组的概率
．
设事件
表示“从前
个正整数中任意取出三个不同的数组成三角数组”，
事件
表示“从前
个正整数中取出的三个不同的数中最大数为
”，
则
，
易知
，从而
，
下面证明：
，
由法2 的分析可得满足
有
个，且
，
故
，又
，
故
，
下面用数学归纳法证明：
，
当
时，
，故
时命题成立；
设
，设
成立，则
成立，
故
时，命题也成立，
故对任意
．
变式3．（25-26 高三上·北京西城·期末）已知
项数列
的各项均为正整数．若存在
，使得
满足以
下两个条件：①对任意
；②对任意奇数
．则称数列
具有性质
．
(1)判断下面两个数列是否具有性质
；（结论不要求证明）
数列A：1，2，3，1，2，3，2，1；
数列B：1，2，3，1，2，3，1，2，3，2，1．
(2)已知数列
具有性质
，且
，判断
中是否存在5 项，其值均为2？若存在，给出一个满足要求
的数列
；若不存在，说明理由；
(3)若数列
具有性质
，证明：
．
【答案】(1)数列 A 不具有性质
；数列 B 具有性质
.
(2)不存在，理由见解析；
(3)证明见解析；
【详解】（1）数列A：1，2，3，1，2，3，2，1； ①对任意
；②对任意奇数
，数列 A 不具有性质
；
数列B：1，2，3，1，2，3，1，2，3，2，1；满足①对任意
；②对任意奇数
，所以数列 B 具有性质
.
数列 A 不具有性质
；数列 B 具有性质
.
（2）不存在；
先证明：若
，则
.
假设
,
由条件①，得
.
若 p 为偶数，即
为奇数，则当
时，假设与条件②矛盾．
当p 为奇数，同理矛盾，
所以假设错误，即
.
由条件①，知
,
若
中有五项均为2，即
这16 项中有5 项均为2,
则项数应满足
，这是不可能的．
所以数列
中不存在5 项均为2.
（3）理由如下：
由①知，前9 项依次为1,2,…,9；最后9 项依次为9,8,7,…,1.
由②知，对任意奇数
,
为1,2,…,9 的一个排列，
所以
，且之间至少有7 个其他项．
令
，由②知：若 i 为奇数，则紧随其后等于k 的项为
之一；若 i 为偶数，则紧随其后等于 k 的项
为
之一．
由
，得第二个出现的
，第三个
（假设存在，下同）,第四个
；
由
，得第二个
，第三个
，第四个
，第五个
；（*）
由
，得第二个
，第三个
，第四个
，第五个
；（#）
若第二个9 为
中最后一个9，则最后一个
，与（*）不符；
若第三个9 为
中最后一个9，则最后一个
，与（#）不符；
若第四个9 为
中最后一个9，根据（*），得
或
或
.
若
，与（#）不符；
若
，由
，得前一个等于8 的项只能是
；由
，得前一个等于7 的项只能是
，这
显然矛盾；
若
，由
，得前一个等于8 的项只能是
；由
，得前一个等于7 的项只能是
，这
显然矛盾．
所以数列
中至少有5 项为9.
故数列
至少有
项，即
.
变式4．（25-26 高三上·北京海淀·期末）对有穷数列
，用
表示数列
中所有的项构成的
集合.定义变换
，
将数列
变换成数列
.
对有穷数列
，令数列
.
若
，则称
为
阶完美数列.
(1)写出所有的2 阶完美数列；
(2)若数列
为3 阶完美数列，求集合
的元素个数；
(3)是否存在16 阶完美数列？如果存在，求出所有的16 阶完美数列；如果不存在，说明理由.
【答案】(1)3，1；3，2；1，3；2，3.
(2)1
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）2 阶完美数列有4 个，分别为
；
；
；
.
（2）设
；
；
.
依题意，
，
不妨设
，则
，即
，
若
，则
，所以
，
由
知
，用
表示
中的最大值，则
，
所以
，由
知
.
若
，则
，所以
，
所以
，
.
构造：当
为
或
时，符合，其他情况不符合，
所以
的元素个数为1.
（3）不存在16 阶完美数列，
假设存在16 阶完美数列
.
设
，
，
用
表示
中的最大值，用
表示
中的最小值，
则
，
其中
，
所以
，其中
为1，2 之一，
设
，则
，
同理，
，其中
为1，2，3 之一，
设
，
，则
，
重复上述过程，则
，
所以
，
因为
，
所以
.
所以
，
不妨设
，
则当
时，
，
，
设
，对
进行类似于
的研究；
则有
，其中
，
同理，
，
其中当
时，
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，
又
，矛盾，
所以假设不成立，
所以不存在16 阶完美数列.
