数列：数列递推问题、数列新定义问题、数列插项问题专项训练
考点目录
数列递推问题
数列新定义问题
数列插项问题
1．（25-26 高三上·广东肇庆·开学考试）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
2
a =
，且
1
1
1
n
n
n
n
a S
a
S
+ =
+
- ，则
2025
S
=
（ ）
A．1012
B．2024
C．2025
2
D．2025
2．（25-26 高三上·河北邢台·开学考试）已知数列
na
的首项
1
1
a = ，且满足
1
2
1
n
n
a
a
n
+ =
+
- ，则
11
a
= （ ）
A．2037
B．2047
C．1014
D．1021
3．（24-25 高二上·湖北孝感·阶段练习）数列
na
满足：
1
1
a = ，
1
2
1
log
n
n
n
a
a
n
+
+
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，则
8a = （ ）
A．2 2
B．3
C．4
D．4 2
4．（25-26 高三上·江西·阶段练习）已知数列
na
满足
1
1
5,
1
1
n
n
a
na
n
a
n n
+
= -
-
+
=
+
，则
na
中的项小于0 的有
（ ）
A．0 项
B．5 项
C．6 项
D．无数项
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
*
1
2n
n
n
a
a
n
n
+ =
+
+
ÎN
，则
na 等于（ ）
A．
1
1
2
1
2
n
n n
-
-
+
-
B．
1
2
1
2
n
n n -
+
-
C．
1
1
2
1
2
n
n n
+
+
+
-
D．
1
1
2
1
2
n
n n
+
-
+
-
考点一
数列递推问题
6．（24-25 高三上·云南大理·开学考试）在数列
na
中，
1
2
a =
，且
2
2
1
1
2
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
n
+
+
-
=
-
+
+ ，则数列
2
1
1
na
ì
ü
ï
ï
í
ý
-
ï
ï
î
þ
的前2025 项和为（ ）
A．2025
2026
B．2025
1013
C．2026
2025
D．2025
1012
7．（24-25 高二下·河南焦作·期末·多选）已知数列
na
中，
1
2
a =
，
2
1
1
2
n
n
n
a
a
a
+ =
+
，则（ ）
A．
na
是递增数列
B．
*
n
$ ÎN ，
1
2
n
n
a
a
+ <
+
C．
*
n
" ÎN ，
1
2
1
log
2
1
n
na
-
+ ³
+
D．数列
1
2
na
ì
ü
í
ý
+
î
þ
的前n 项和为
1
1
1
2
na +
-
8．（24-25 高二下·辽宁·期末·多选）已知数列
na
各项均为正数，其前n 项和
n
S 满足
2
1,2,
n
n
a
S
n
×
=
=
××× ．则下列
结论正确的有（ ）
A．
na
的第2 项小于2
B．
1
2
1
2
2
2
n
n
n
a
a
n
a
-
-
=
³
-
C．
na
为递减数列
D．
na
中存在小于
1
1024 的项．
9．（25-26 高三上·贵州·开学考试·多选）已知数列
na
满足
1
1
2
1
1
,
3
n
n
n
ta
a
a
t a
t
t
+
-
=
=
+
，其中
0
t ¹
，则（ ）
A．
2
a
t
=
B．
1
n
t
ta
ì
ü
í
ý
+
î
þ
为等差数列
C．数列
4
1
n
ta
ì
ü
í
ý
+
î
þ
的前n 项和为
2
n
n
+
D．数列
1
n
ta +
的前99 项和大于18 2
10．（25-26 高三上·云南临沧·开学考试）已知数列
na
满足
1
2
a =
，
1
1
1
2,
n
n
n
a
n
a
n
n
-
+
×
=
-
³
ÎN
，则数列
na
的通项公式为
．
11．（2025·浙江宁波·模拟预测）数列
na
是正项数列，若
2
2
16
a =
，且
2
2
1
1
3
5
2
0
n
n
n
n
a
a a
a
-
-
-
-
=
，
2
n ³
，则
4
6
log a =
．
12．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）数列
na
满足
*
1
1
n
n
n
a
a
n n
+ = -
+
ÎN
，则
na
的前100项和为
．
13．（24-25 高二下·浙江杭州·期末）数列
na
满足
2
1
1
4
2,
8
n
n
n
a
a
a
a
+ =
+
+
= ．
(1)证明数列
na
是单调递增数列；
(2)若
1
2
,
,
p
p
p
a
a
a
+
+ 是
na
中连续的三项，证明：
1
2
,
,
p
p
p
a
a
a
+
+ 不可能成等比数列；
(3)证明：不存在正的常数M，使
na
M
<
对所有的
*
N
nÎ
成立．
14．（25-26 高三上·广东·开学考试）在正项数列
na
中，
1
9
a =
，且
1
1
3
3
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
1
n
n
n
b
a
a +
=
×
，求
nb
的前n 项和
n
S ．
15．（25-26 高二上·甘肃张掖·阶段练习）在正项数列
na
中，
1
1
a = ，且
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
1
n
n
n
b
a
a +
=
×
，求
nb
的前n 项和
n
S .
16．（24-25 高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列
na
满足
1
1
a = ，且
1
3
3
N
n
n
n
a
a
n
+ =
+
Î
．
(1)求
2
3
,
a
a 的值；
(2)求证：数列3
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ 是等差数列，并求出数列
na
的通项公式；
(3)求数列
na
的前n 项和
n
S ．
17．（25-26 高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列
na
中，
1
2
a =
，
1
1
2
3 2n
n
n
a
a
+
+ =
+ ´
，令
2
n
n
n
a
b =
(1)求数列
nb
的通项公式；
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S ．
18．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知各项均为正数的数列
na
满足
1
1
a = ，
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)记
3
n
n
n
a
b =
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
1．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指
逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，
2
1
2
a
a
-
=
，
3
2
3
a
a
-
=
，
4
3
4
a
a
-
=
，
5
4
5
a
a
-
=
，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数
列），现有一个高阶等差数列，其前5 项为2，3，6，11，18，则其第8 项是（ ）
A．38
B．51
C．66
D．83
2．（24-25 高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该
数列的一次“美好成长”.将数列1,4 进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4 ；第二次得到数列1,4,4,16,4；L，设第
n 次“美好成长”后得到的数列为
1
2
1,
,
,
,
,4
k
x x
x
×L
，记
4
1
2
log
1
4
n
k
a
x
x
x
=
×
×
×
×
×
L
，则下列说法错误的是（ ）
A．
2
5
a =
B．
2
1
n
k =
-
C．
1
2
1
n
n
a
a
+ =
+
D．数列
na
的通项公式为
3
1
2
n
na
+
=
3．（24-25 高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意
*
N
nÎ
，都有
1
n
n
a
a
c
+
+
=
（c 为常数），称数列
na
为“等和”数列.
设“等和”数列
na
的首项为
1a ，直线
(
)
2
0
R
kx
y
k
k
-
+
+
=
Î
过定点
1
2
(
,
)
P a a
，则
2025
1
n
n
a
=
=
（ ）
A．2025
B．2562
C．3036
D．3037
4．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数n ，数列
na
的前n 项和
n
S 都是完全平方数，则称数列
na
为“完全平
方数列”.有如下两个命题：①若数列
nb
的前n 项和
2
nT
n
t
=
-
，（t 为正整数），则使得数列
nb
为“完全平方数
列”的t 值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列. 则下列选项中正确的是（ ）
A．①是真命题， ②是真命题；
B．①是真命题， ②是假命题；
C．①是假命题， ②是真命题；
D．①是假命题， ②是假命题.
5．（24-25 高二下·北京顺义·期中）已知函数
1 ,0
1,
1,
1.
x
f x
x
x
x
ì
<
£
ï
= í
ï
-
>
î
，数列
na
满足
1
0
a
m m
=
>
，
1
n
n
a
f a
+ =
.
考点二
数列新定义问题
给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．若
3
5
a =
，则m 有4 个不同的可能取值
B．若
*
5
n
n
a
a
n
+ =
ÎN
，则
2
3
m =
-
C．对于任意
2
m >
，存在正整数T ，使得
*
n T
n
a
a
n
+ =
ÎN
D．对于任意大于2 的正整数T ，存在
1
m > ，使得
*
n T
n
a
a
n
+ =
ÎN
6．（2025·上海·三模）设数列
na
的各项均为非零的整数，其前n 项和为
n
S ．设,i j 为正整数，若j
i
- 为正偶数
时，都有
2
j
i
a
a
³
恒成立，且
2
0
S =
，则
10
S 的最小值为（ ）
A．0
B．22
C．26
D．31
7．（2025·内蒙古包头·模拟预测·多选）将所有正整数按照如下规律形成如下数阵M：
第1 行 1 2 3 …… 7 8 9
第2 行 10 11 12 …… 97 98 99
第3 行 100 101 102 …… 997 998 999
第4 行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
将上述M 数阵中的数进行如下操作，如果该正整数中相邻两位数字（从左到右）出现12，则将该正整数去掉，其
余数保持原有顺序不变，得到一个新数阵Q，记新数阵Q 第n 行正整数的个数为
nb ，则以下说法正确的有（ ）
A．
2
89
b =
B．
1
1
10
2
n
n
n
b
b
b
n
+
-
=
-
³
C．
1
5
2 6
n
n
b
b
+ -
+
是等差数列
D．将数列
3
1
n +
与数列
2n 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列
na
，则
2a 位于数阵M 中的第2 行第
7 个位置（从左向右数）
8．（2025·湖南岳阳·三模·多选）已知有穷数列
na
的通项公式为
na
n
=
，其项数不少于4 项，从
na
中选取
3
m
m
n
£
£
项组成数列
mb
，数列
mb
满足
1,2,
,
2
i
m
" Î
-
L
，
2
2
1
0
i
i
i
i
b
b
b
b
+
+
+
-
-
<
，则（ ）
A．数列
mb
是单调数列
B．当
7
n
m
=
=
时，
7
4
b =
C．当
12
m =
时，
12
1
6
b
b
-
³
D．数列
mb
的个数为2Cm
n
9．（25-26 高三上·辽宁·开学考试·多选）设数列
na
和
nb
的项数均为m，称
1
m
i
i
i
a
b
=
-
为数列
na
和
nb
的距
离．记满足
1
1
1
n
n
n
a
a
a
+
+
= -
的所有数列
na
构成的集合为C．已知数列
n
A
和
n
B
为集合C 中的两个元素，项数均为
m，则下列说法正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7 和数列2，4，6，8 的距离为4
B．若
*
4
N
m
p p
=
Î
，则
1
2
1
2
...
...
m
m
A A
A
B B
B
=
C．若
*
4
N
,
m
p p
=
Î
则
1
m
i
i
A
m
=
£
∣∣
D．若
1
1
2,
3,
A
B
=
=
数列
n
A
和
n
B
的距离不超过2025，则m 的最大值为3470
10．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）若数列
na
的相邻两项或几项之间的关系由函数
f x 确定，则称
f x 为
na
的递归函数；
g x
x
=
为取整函数，它表示不超过x 的最大整数，例如
1.2
1
= ，
1.3
2
-
= - ；设
na
的递归
函数为
2
f x
x
x
= -
+
，
2
1
5
n
n
n
n
a
f a
a
a
+ =
+
+
，且
1
5
3
a =
，
na
的前n 项和记为
n
S ，若
1
1
1
3
1
n
n
i
i
a
T
S
a
=
=
-
+
，则
2024
1
i
i
g T
=
为
．
11．（25-26 高三上·北京顺义·阶段练习）数列
na
为无穷非负整数数列，若对任意
*
k ÎN ，均存在
*
1
2
, ,
,
N
m
i i
i Î
L
，且1
2
m
i
i
i
<
<
<
L
，使
2
m
i
i
i
a
a
a
k
+
+
=
L
，则称数列
na
为“完备数列”.给出下列四个结论：
①若正项等差数列
na
为“完备数列”，则首项一定为1；
②若正项等比数列
na
为“完备数列”，则公比一定为2；
③若
na
满足
2
1
n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
，则对任意
*
1
2
,
N
a a Î
，数列
na
均为“完备数列”；
④若
na
满足
*
2
1
1
2
N
,
1
n
n
n
a
a
a
n
a
a
+
+
=
+
" Î
=
= ，则数列
na
为“完备数列”；
其中正确结论的序号是
.
12．（24-25 高二下·北京丰台·期末）已知数列
na
满足
1
1
(
0),
ln e
1
n
a
n
n
a
m m
a
ka
+
=
>
=
-
+
，给出下列四个结论：
①当
0
k =
时，对任意的
0
m >
，都有
2
1
a
a
<
；
②当
1
2
k =
时，对任意的
0
m >
，都有
2
0
a <
；
③当
1
k = 时，存在
0
m >
，使数列
na
是常数列；
④当
2
k =
时，存在
0
m >
，使数列
na
是递减数列．
其中所有正确结论的序号是
．
13．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）在数列
na
中，
1
1
2
a =
，且
3
3
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
+
+
+
-
= ．
(1)求
na
的通项公式．
(2)证明：
1
2
n
i
i
a
i
=
<
．
(3)若数列
nb
中存在两项
p
b ，
qb
p
q
<
，使得
p
q
b
b
=
，则称
,p q 为数列
nb
的等项数对．证明：
na
的等项数
对唯一．
14．（25-26 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知
na
是
4
m m ³
项正整数数列，令
1 1
2
2
1,2,
,
k
k
k
T
ra
r a
r a
k
m
=
+
+
+
=
L
L
，其中
1,1
kr Î -
.若对任意的
1
2
,
,
,
,
n
m
r
T T
T
L
中均无相同的项，则称数列
na
为“和差单值”数列.
(1)判断8，4，2，1，2，4，8 是否为“和差单值”数列.
(2)已知
1
2
: 2 ,2 ,
,2 m
k
k
k
na
L
，其中
1
2
,
,
,
m
k k
k
L
为两两不同的正整数，问：
na
是否为“和差单值”数列？请说明理
由．
(3)证明：若
na
的最大值不超过
1
2
m - ，则
na
一定不是“和差单值数列”.
15．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若数列
na
满足
2
2
1
n
n
n
S
S
S
+
+
<
×
，则称数列
na
是
“方特数列”.
(1)证明：数列
n 是“方特数列”；
(2)若数列
1
1
1
0
n
a q
a
-
¹
是“方特数列”，求q 的取值范围；
(3)证明：当
0
q >
时，数列
1
n
nq -
是“方特数列”.
16．（24-25 高二下·江苏南京·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若存在常数(
0)
l l >
，使得
1
n
n
a
S
l
+
³
对任意
*
nÎN 都成立，则称数列
na
具有性质
( )
M l ．
(1)若数列
na
的通项公式
2
1
na
n
= -
+ ，求证：数列
na
具有性质
(3)
M
；
(2)设数列
na
的各项均为正数，且
na
具有性质
( )
M l ．
①若数列
na
是公比为q 的等比数列，且
4
l =
，求q 的值：
②求l 的最小值．
17．（25-26 高三上·江苏·阶段练习）将项数
4
n… ，公比
1
q ¹ 的等比数列
na
中的项重新随机排列，得到新数列
nb
.若在数列
nb
中任意抽取连续三项，总有某一项为另外两项的等比中项，则称
nb
为“差续数列”.
(1)当
4
n =
时，写出所有“差续数列”
nb
（用
na
中的项表示）；
(2)若
1
1
2
3
,
b
a b
a
=
=
，证明：当
3
2
n
m m
=
…
时，必定存在“差续数列”
nb
；
(3)若
nb
是“差续数列”，证明：存在正整数k ，使得
1
k
k
b
q
b
+ =
或1
q .
18．（25-26 高三上·北京·开学考试）已知n 为给定的正整数，
3
n ³
．数列
1
2
:
,
,
,
n
A a a
a
×××
，
1
2
:
,
,
,
n
B b b
b
×××
，若对于任
意的1
r
s
n
£
<
£
，
*
,r sÎN ，都有
0
r
s
r
s
a
a
b
b
-
-
<
，则称
,
A B 互为逆序数列．
(1)已知
:2,5,3
A
，分别判断下面数列是否为A 的逆序数列，并说明理由．
①
: 4,2,6
B
；②
:9,3,8
C
．
(2)若
10
n =
，数列A 为等差数列，其前k 项和为
kS ，
1,2,
,10
k =
×××
，
1
2
a =
．数列
1
2
10
:
,
,
,
S S S
S
×××
与数列A 互为逆序
数列，求数列A 的公差d 的取值范围；
(3)对于固定的正整数
3
n ³
，
1,2,3,
,
k
n
" =
×××
，总有
1,2,3,
,
ka
n
Î
×××
，
0,1,2,
,
kb
n
Î
×××
，且数列
,
A B 互为逆序数
列，求
1
n
k
k
k
a
b
=
-
的最大值．
1．（24-25 高二下·山西太原·阶段练习）在3
- 与15 之间插入5 个数，使这7 个数成等差数列，则插入的5 个数之
和为（ ）
A．21
B．24
C．27
D．30
2．（24-25 高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该
数列的一次“美好成长”.将数列1,4 进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4 ；第二次得到数列1,4,4,16,4；L，设第
n 次“美好成长”后得到的数列为
1
2
1,
,
,
,
,4
k
x x
x
×L
，记
4
1
2
log
1
4
n
k
a
x
x
x
=
×
×
×
×
×
L
，则下列说法错误的是（ ）
A．
2
5
a =
B．
2
1
n
k =
-
C．
1
2
1
n
n
a
a
+ =
+
D．数列
na
的通项公式为
3
1
2
n
na
+
=
3．（24-25 高二下·河南南阳·期中）已知
3
1
na
n
=
- ，在数列
na
的每相邻两项
ka 与
1
1,2,
ka
k
+
=
L 之间插入
1
2k- 个
1，使它们和原数列的项构成一个新的数列
nb
，记新数列
nb
的前n 项和为
n
S ，则
100
S
= （ ）
A．150
B．151
C．170
D．171
4．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数
记为
*
n nÎN
.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3 进行构造，第1 次得到数列1，2，
3；第2 次得到数列1，3
2 ，2，5
2 ，3；…依次构造，记第
*
n nÎN
次得到的数列的所有项之和为
nT ，则
8T =
（ ）
A．510
B．514
C．1022
D．1026
考点三
数列插项问题
5．（24-25 高二下·广东佛山·阶段练习·多选）已知等差数列
na
的首项
1
16
a =
，公差
4
d = - ，在
na
中每相邻两项
之间都插入3 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列
nb
，
n
S 是数列
nb
的前n 项和.以下说法正
确的是（ ）
A．
17
nb
n
=
-
B．
29
b 是数列
na
的第8 项
C．当
17
n =
时，
n
S 最大
D．
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是公差为1
- 的等差数列
6．（24-25 高二上·湖南·期末·多选）已知等差数列
na
的首项
1
2
a =
，公差
8
d =
，在
na
中每相邻两项之间都插入
k 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列
nb
，以下说法正确的有（ ）
A．
8
6
na
n
=
-
B．当
3
k =
时，
2
nb
n
=
C．当
3
k =
时，
29
b 是数列
na
中的项
D．若
9b 是数列
na
的项，则k 的值不可能为7
7．（23-24 高三上·山东青岛·期末）某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，
形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2 进行构造，第1 次得到数列1，
3，2；第2 次得到数列1,4,3,5,2；...第n 次得到数列
1
2
3
1,
,
,
,
,
,2
k
x x
x
x
¼
；记
1
2
1
2
n
k
a
x
x
x
= +
+
+
+
+
L
，则
3a =
；
2024
2023
1
a
a
=
-
.
8．（24-25 高二下·安徽淮北·开学考试）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加
快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学
生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派
遣20 名学生，以后每批都比上一批增加5 人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：
把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为
na
，在数列
na
的任意相邻两项
ka 与
1
1,2,
k
k
a +
=
L 之间插入
2k 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列
nb
.按新数列
nb
的各项依次派遣支教学生.记
70
S 为派遣70 批学
生后支教学生的总数，则
71
S 的值为
.
9．（2025·湖南常德·模拟预测）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，
1
2
4
n
n
a
S =
+
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)在
na 与
1
na + 之间插入n 个数，使这
2
n +
个数组成一个公差
n
d 为的等差数列，求数列
1
n
d
ì
ü
í
ý
î
þ
的前2025 项和.
10．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
a =
，
*
1
2
n
n
a
S
n
+ =
+
ÎN
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)保持
na
的各项顺序不变，在
ka 和
1
ka + 之间插入k 个1，使它们与数列
na
的项组成一个新的数列
nb
，记
nb
的前n 项和为
nT ，求
55
T .
11．（24-25 高二下·广东广州·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
2
a =
且
1
2
n
n
a
S
+ =
+
．
(1)求
2a ，及数列
na
的通项公式；
(2)在
na 与
1
na + 之间插入n 个数，使这
2
n +
个数组成一个公差为
n
d 的等差数列，
①设
1
2
3
1
1
1
1
n
n
T
d
d
d
d
=
+
+
+×××+
（
*
nÎN ），求
nT ；
②若
*
n
" ÎN 都有不等式
5
n
n
d
l
£
+ 成立，求l 的取值范围．
12．（24-25 高二下·四川绵阳·期末）已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
2
1
n
n
n
S
a
a
=
+
，数列
nb
为公比
大于0 的等比数列，且
2
3
b
a
=
，
4
27
b
a
=
．
(1)求
,
n
n
a
b ；
(2)若在
na 与
1
na + 之间插入
nb 个1，由此构成一个新的数列
n
d
，求
127
d
的值．
13．（24-25 高二下·天津·期末）已知等差数列
na
满足
2
1
4
5
2
9
a
a
a
a
=
+
=
，
．已知数列
nb
的前n 项和为
n
S ，且满
足
*
2
2
N
n
n
S
b
n
=
-
Î
．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)设
1
1
3
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
c
a
a
b
+
+
-
= -
+
，求
nc
的前2n 项和
2n
T
(3)设
1
n
n
d
b
=
，在
1d 和
2
d 之间插入1 个数
11
x ，使
1d ，
11
x ，
2
d 成等差数列；在
2
d 和
3
d 之间插入2 个数
21
22
x
x
，
，使
2
21
22
3
d
x
x
d
，
，
，
成等差数列；以此类推，在
n
d 和
1
n
d + 之间插入n 个数
1
2
n
n
nn
x
x
x
×××
，
，，
使（
1
2
1
n
n
n
nn
n
d
x
x
x
d +
×××
，
，
，，
，
成等差数列，若
1
11
2
21
22
3
1
n
n
n
nn
P
d
x
d
x
x
d
d
x
x
=
+
+
+
+
+
+¼+
+
+¼+
，求
nP ．
14．（24-25 高二下·山西吕梁·期中）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩
充的次数记为(
)
n nÎN ，n 次扩充后的新数列记为
na
，项数记为
nP ，所有项的和记为
n
S ．扩充规则为每相邻两项
之间插入这两项的和，如：数列
0
{ , , }
a
a b c
=
经过一次扩充后得到数列
1
{ ,
, ,
, }
a
a a
b b b
c c
=
+
+
，
1
1
5,
2
3
2
P
S
a
b
c
=
=
+
+
．已知数列
0
{ 2,1,2}
a
= -
．
(1)求
3
3
,
P S ；
(2)求
,
n
n
P S ；
(3)求数列
3
log
n
n
P
S
的前n 项和
nT ．
