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专题3.1 数列单调性
目录
知识梳理....................................................................................................1
题型一：与等比等差相关的数列单调性................................................3
题型二：通项公式与单调性..................................................................16
题型三：递推公式与单调性..................................................................20
题型四：项的最大、最小值..................................................................30
知识梳理
数列的单调性是指数列的项随着序号
的增加而呈现递增、递减或常数的规律.
1.定义
递增数列：对于任意的
，都有
.
递减数列：对于任意的
，都有
.
常数列：对于任意的
，都有
.
2.判断方法：
做差法：计算
的值.
若
，则数列为递增数列；
若
，则数列为递减数列；
1
若
，则数列为常数列；
做商法：当
（或
）时，计算
的值.
若
（且
），或
（且
），则数列为递增数列；
若
（且
），或
（且
），则数列为递减数列；
若
，则数列为常数列.
函数法
将数列的通项
视为函数
，利用函数的单调性判断数列的单调性.
需注意数列的定义域为正整数集，与连续函数的单调性可能不同.
2
题型一：与等比等差相关的数列单调性
1．对于等比数列
，则“
”是“数列
为单调递增数列”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等比数列的性质，结合充分、必要条件的定义分析判断选项．
【详解】
是等比数列，则
，
，
，等价于
，
当
时，
，数列
为递增数列；
当
时，
，则数列
不一定递增，如
时，
，
不能推出
为单调递增数列，不满足充分性；
若
为单调递增数列，则对于任意
，有
，
令
，则
，
为单调递增数列能推出
，满足必要性，
“
”是“数列
为单调递增数列”的必要不充分条件，故A 正确．
故选：A．
2．设等比数列
前
项和为
，
，则“
”是“数列
是递增数
列”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
3
【分析】分别求出
和
为递增数列的充要条件，判断它们之间的关系，即
得答案.
【详解】
是等比数列，
.
由
，得
，即
，
所以
，所以
，所以
或
，
所以
的充要条件为
或
.
又
，所以数列
为递增数列的充要条件为
，
因为“
或
”是“
”的必要不充分条件，
所以“
”是“
为递增数列的必要不充分条件”.
故选：B.
3．已知等比数列
，满足
，则下面说法正确的是（ ）
A．若
，则数列
是递增数列
B．若
，则数列
是递减数列
C．若
，则数列
是递增数列D．若
，则数列
是递增数列
【答案】D
【分析】先根据题意用
表示出公比，再根据选项讨论当
的取值范围不同时数列的增减
情况即可.
【详解】由等比数列
，则公比
，
对于选项A，若
，则公比
，故
，又
，
数列
是
递减数列，故选项A 错误.
4
对于选项B，若
，则公比
，又
，
数列
是递增数列，
故选项B 错误.
对于选项C，若
，则公比
，故
，又
，
数列
是递减数列，故选项C 错误.
对于选项D，若
，则公比
，故
，又
，
数列
是递增数列，故选项D 正确.
故选：D.
4．（多选）已知数列
的前
项和为
，则（ ）
A．若
为等差数列，且
，则
单调递增
B．若
为等比数列，且
，则
单调递增
C．若
为等差数列，且
，则
单调递增
D．若
为等比数列，且
，则
单调递增
【答案】ABC
【分析】利用等差数列和等比数列的性质及数列单调性的概念直接判断各选项.
【详解】A 选项，若
为等差数列，且
，设公差为
，则
，即
，所以
单调递增；故A 正确；
B 选项，设公比为
，
，则
，
当
时，
，则
，此时
单调递增；
5
当
，
，则
的正负交替，则
不恒成立，不满足条件；
当
时，
，则
的正负交替，则
不恒成立，不满
足条件；
当
，
，则
，此时
单调递增.
综上若
为等比数列，且
，则
单调递增，故B 正确；
C 选项：若
是等差数列，且
，
，则
，
所以
，则当
时，
，即
，所以数列
单调递增，C
选项正确；
D 选项：若
是等比数列，且
，
，则
，则
，所以
数列
为摆动数列，所以当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，又
，
所以数列
不单调，D 选项错误.
故选：ABC
5．（多选）已知公差不为0 的等差数列
的前
项和为
，且
是
与
的等比
中项，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．数列
是递增数列
D．当
时，
的最大值为8
【答案】AD
【分析】根据已知条件求出
，
可判断AB；写出数列的前n 项和公式，可判断
CD.
6
【详解】设等差数列
的公差为
，
依题意可得
，即
，解得
，故A 正确，B 错
误；
则
，
，
，
所以
，又
随
的增大而减小，则数列
是递减数列，故C 错误；
当
时，
，所以
的最大值为8，故D 正确.
故选：AD
6．（多选）已知等差数列
满足
，
，记
为
的前
项和，则下列
说法正确的是（ ）
A．
B．
是递增数列
C．
D．使得
的
的最小值为14
【答案】ACD
【分析】由题意可得
，从而得出等差数列
中前7 项为正，从第8 项起均为
负，结合等差数列的性质和前
项和的公式对选项进行判断即可.
【详解】由
，
，可得
，
设等差数列的公差为
，
，所以
是递减数列，B 选项错误；
因为
，所以
，所以
，A 选项正确；
所以
为正，从第8 项起均为负，
，故选项C 正确；
所以
，
7
所以
的
的最小值为14，故选项D 正确.
故选：ACD.
7．（多选）已知等比数列
，满足
，则下面说法正确的是（ ）
A．若
，则数列
是递减数列
B．若
，则数列
是递减数列
C．若
，则数列
是递增数列
D．若
，则数列
是递增数列
【答案】AD
【分析】先根据题意用
表示出公比，再根据选项讨论当
的取值范围不同时数列的增减
情况即可.
【详解】由等比数列
，则公比
，
对于选项
，若
，则公比
，故
，又
，
数列
是
递减数列，故选项
正确.
对于选项
，若
，则公比
，又
，
数列
是递增数列，
故选项
错误.
对于选项
，若
，则公比
，故
，又
，
数列
是递减数列，故选项
错误.
对于选项
，若
，则公比
，故
，又
，
数列
是递增数列，故选项
正确.
故选：
.
8．（多选）已知等差数列
的公差为d，前n 项和为
，若
，则下列
说法错误的是（ ）
8
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据条件得出
，
可判断等差数列
的增减性判断ABC 选
项；再利用等差数列的前
项和公式和下标和性质判断D.
【详解】由题意可知，
，
，
则
，故等差数列
为递减数列，
故
，
，
，故A 正确，BC 错误；
，故D 错误.
故选：BCD
9．（多选）等比数列
的前
项和
，前
项积记为
，则
（ ）
A．公比为2
B．
C．
D．
有最小值
【答案】ABD
【分析】根据等比数列前
项和公式，结合
求出公比及通项，再逐项求解判
断.
【详解】由等比数列
的前
项和
，得
，
，
对于A，等比数列
的公比
，A 正确；
对于B，由
，得
，即
，解得
，B 正确；
9
对于C，
，则
，C 错误；
对于D，
，
当
或
时，
取得最小值
又函数
单调递增，因此当
或
时，
取得最小值，D 正确.
故选：ABD
10．（多选）已知数列
是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A．数列
是等比数列
B．若
，则数列
是递减数列
C．若
，则
D．数列
是等比数列
【答案】AB
【分析】设出公比后，结合等比数列通项公式与定义计算可得A；分
、
，结合
数列单调性讨论即可得B；由等比数列性质计算即可得C；举出反例可得D.
【详解】设数列
公比为
，则
，
对A：
，故数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，故A 正确；
对B：若
，则
，
若
，则
，解得
，
则
，此时数列
是递减数列；
若
，则
，解得
，
则
，此时数列
是递减数列；
10
故数列
是递减数列，故B 正确；
对C：
，则
，故
（负值舍去），
故
，故C 错误；
对D：若
，则
，
此时数列
不是等比数列，故D 错误.
故选：AB.
11．（多选）设等比数列
的公比为
，前
项积为
，并且满足条件
，
.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的最大项为
【答案】ACD
【分析】对于A，分
，
讨论可得
；对于B、C，借助
，得
为
递减数列，即
，结合
，得
；对于D，由BC 知当
时，
，当
时，
，即可得
的最大项.
【详解】对于A，由等比数列性质可得
，
若
，因为
，所以
，不满足
，
若
，因为
，所以
，不满足
，
所以
，故A 正确；
对于B、C，因为
，
为递减数列，所以
，
11
又
，所以
，故B 错误、C 正确；
对于D，由B，C 可得当
时，
，当
时，
，
所以
的最大值为
，故D 正确．
故选：ACD.
12．（多选）已知数列
不是常数列，其前
项和为
，则下列选项正确的是（ ）
A．若数列
为等差数列，
恒成立，则
为递增数列
B．若数列
为等差数列，
，则
的最大值在
或
时取得
C．若数列
为等比数列，则
恒成立
D．若数列
为等比数列，则数列
也为等比数列
【答案】ABC
【分析】对A，根据条件可得
，即可求解；对B，根据条件，利用等差数列的
性质可得
，
，即可求解；对C，利用等比数列的前
项和公式及通
项公式，得
，再对
进行讨论，即可求解；对D，利用等比数列
的定义，即可求解.
【详解】对于A，因为数列
不是常数列，且数列
为等差数列，
恒成立，
则
，所以
为递增数列，故A 正确，
12
对于B，因为
，则
，所以
，且
，
则
，所以
的最大值在
或
时取得，故B 正确，
对于C，因为数列
为等比数列，且
，则
，
因为
恒成立，当
时，
，当
时，
当
时，
，所以
恒成立，故C 正确，
对于D，因为数列
为等比数列，设其首项为
，公比为
，
则
不为常数，所以D 错误，
故选：ABC.
13．（多选）已知
为等比数列
的前
项和，且
，则下列结论正确的
是（ ）
A．
B．
C．
是递减数列
D．
是递增数列
【答案】ACD
【分析】A 选项，设出公比为
，推出
，由不等式性质得到
，
，
得到A 正确；B 选项，举出反例得到B 错误；C 选项，先得到
，则
13
，故
；D 选项，作差得到
，所以
，D 正确.
【详解】A 选项，设公比为
，则
，
因为
，所以
，又
，故
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，则
，
，
故
，A 正确；
B 选项，假设
，
，则
，
，
，满足
，
故
，B 错误；
C 选项，
，则
，故
，
故
是递减数列，C 正确；
D 选项，
相邻两项的差为
，
由于
，所以
，
故
，所以
，
为递增数列，D 正确.
故选：ACD
14．数列
，记
（
且
）．现有如
下说法：
14
①若数列
为等差数列，则
；
②若数列
为等比数列，且数列
单调递增，则公比
；
③若数列
为等比数列，且
，则公比
；
④若对任意的
且
，都有
，则数列
单调递增．
其中所有正确说法的序号是 ．
【答案】①③
【分析】利用等差数列的定义可判断①；计算得出
，结合等比数
列的单调性求出
的范围，可判断②；利用绝对值的性质可判断③；利用绝对值的性质和
数列的单调性可判断④.
【详解】对于①，若数列
为等差数列，设其公差为
，
则
，①对；
对于②，若数列
为等比数列，设其公比为
，
则
，
因为数列
单调递增，则
，故
且
，
所以
，解得
或
，②错；
对于③，
，
，
而
15
，
因为
，则
，
当且仅当
时，等号成立，③对；
对于④，因为
，
当且仅当
，
，
，
，
或
，
，
，
，
，
即当
或
时，
又因为
，即
，故
，
所以，当且仅当
时，等号成立，
故数列
是不减数列，但不一定是递增数列，④错.
故答案为：①③.
15．已知等差数列
与等比数列
都是无穷递增数列，给出下列四个结论:
①不存在数列
与
，使得
是递减数列；
②存在数列
与
，使得
是递增数列；
③不存在数列
与
，使得
同时有无穷个正项和无穷个负项；
④存在数列
与
，使得
恰好出现三个为1 的项.
其中正确结论的序号是 .
【答案】①②③
【分析】由
即可判断①；由
可以成立即可
16
判断②；由增数列性质结合一次函数和指数函数图像性质即可依次分析判断③④.
【详解】因为等差数列
与等比数列
都是无穷递增数列，
则
，
则
，
所以数列
是递增数列，不存在数列
与
，使得
是递减数列，①正确；
设等差数列
公差为d，等比数列
公比为q，
则
，
显然
可以成立，
如当
时
，即
，
所以存在数列
与
，使得
是递增数列，②正确；
由①数列
是递增数列，所以最小项为
，
由等差数列性质
，
若
恒成立，则由等比数列
是无穷递增数列得
，
则一定存在
，使得
，则当
时，
，
则
有无穷个正项和有限个负项，
所以不存在数列
与
，使得
同时有无穷个正项和无穷个负项，③正确；
因为
为一次型函数增长模型，
为指数型增长模型，
由一次函数与指数函数图像特征可知，一次函数与指数函数至多只有两个交点，
17
所以不存在数列
与
，使得
恰好出现三个为1 的项，④错误.
故答案为：①②③
18
题型二：通项公式与单调性
1．已知数列
满足
，则“数列
是递增数列”的充分不必要条件
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先将通项变形，通过作差法分析单调性，再结合充分不必要条件的定义得出结果.
【详解】将
变形为
.
.
若数列
递增，则
，即
.
因
，故
，即
（此为充要条件），
所以A 选项符合，BCD 选项不符合.
故选：A
2．设函数
，数列
满足
，且数列
是递增数列，
则a 的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由数列递增得到分段函数在两个区间上分别递增，得到对应
的范围，然后由
，求
的范围，从而得到结果.
【详解】∵数列
是递增数列，
∴当
时，
单调递增，即
，则
，
19
当
时，
单调递增，则
，
又
，即
，则
，则
，
∴
.
故选：B.
3．已知数列
的通项公式为
，若
是递增数列，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由数列单调性得
恒成立，作差化简得到
对任意
恒成立，
接着利用函数性质求出
即可得解.
【详解】 由数列
是递增数列可得
恒成立，即
，
整理可得
，该式对任意
恒成立，
又因为函数
为
上的单调递减函数，
所以
，所以
.
故选：C
4．已知数列
满足
，若
为递增数列，则实数的取值范围为
（ ）
A．
B．
20
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得当
时，
；当
时，
递增，故只需
，代入求解
即可.
【详解】当
时，
递增，则
；
当
时，
递增，
若
为递增数列，则
，
且
，
即
，解得
；
综上，
.
故选：B.
5．已知数列
的通项公式为
，则数列
的最小项是
．
【答案】
【分析】由题设
，结合分式型函数的性质分析数列的单调性，进而可求解.
【详解】由
，
，
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
数列
在
上都单调递减，
所以最小项为
，即
.
21
故答案为：
.
6．数列
满足
，n 为正整数.若数列
是严格增数列，则实数a
的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意列不等式即可求解.
【详解】由题意若数列
是严格增数列，则当且仅当
，解得
，
所以实数a 的取值范围为
.
故答案为：
.
7．已知
，若数列
为严格增数列，则实数q 的取值范围是 .
【答案】
【分析】对
进行分类讨论，根据
为严格增数列列不等式，从而求得
的取值范围.
【详解】若
，则
，所以
，
由指数函数的性质可知，数列
为严格增数列；
若
，则
，所以
，为常数数列；
若
，则
，所以
，
由指数函数的性质可知，数列
为严格增数列：
若
，则
，所以
，
此时
，
所以数列
一定不是严格增数列；
22
若
，则
，
，所以
，
由
，
该式在
时恒成立；
由
.
当
时，
，
又
，所以
，此时：
，
因为
，
，所以
.
即
在
时成立.
综上可知，
的取值范围为：
.
23
题型三：递推公式与单调性
1．已知单调递增数列
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】变形得到
、
，讨论
、
时判断数列性
质，即可得.
【详解】由于
，即
，整理得
，
当
时，
单调递增，符合；
当
时，则
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，则
，
当
时
，则
，
，不符，
当
时
，则
，不符，
当
时
，则
，
，不符，
故选：A.
2．已知数列
满足
，设
，
，若数列
是递增数列，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
24
【分析】由递推公式结合等比数列定义可得数列
的通项公式，则可计算出
，再结
合数列单调性计算即可得.
【详解】
，所以
，
所以
是以
为首项、2 为公比的等比数列，
所以
，
所以
，
若数列
是递增数列，则
恒成立，
所以
恒成立，
所以
恒成立，所以
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D.
3．若无穷数列
满足：
，当
时，
，则称
是
“
数列”．则下列正确的是（ ）
A．若
是“
数列”，则
B．若
是“
数列”且是等差数列，则
单调递增
C．若
是“
数列”且单调递减，则
是等比数列
D．若
是“
数列”且是周期数列，则集合
的元素个数最多是
【答案】D
【分析】根据新定义
数列，计算判断A，结合等差数列，单调性，周期数列计算判断
25
BCD.
【详解】对于A，若
是“
数列”，当
时，
，
，若
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，
当
时，
，所以
，A 错误.
对于B，若
是“
数列”且是等差数列，设公差为
，
当
时，
，即
，
当
时，
，则
，
，即
，
此时
，数列
不单调递增，B 错误.
对于C，若
是“
数列”且单调递减，
当
时，
，因为数列单调递减，所以
.
当
时，
，因为数列单调递减，所以
.
当
时，
，因为数列单调递减，所以
.
可知数列不是等比数列，C 错误.
对于D，若
是“
数列”且是周期数列，假设周期为
，
当
时，
，
当
时，
，所以
或
若
时，当
时，
，所以
或
，
26
若
时，当
时，
，所以
或
，
这样数列值会越来越大（非周期），所以
若
时，当
时，
，所以
或
，
若
时，当
时，
，所以
或
，
若
时，当
时，
，所以
或
，
同理按此规律计算可得数列
的取值可能是
，
所以
的元素个数最多是
，D 正确.
故选：D.
4．（多选）若数列
的首项
，且
，则（ ）
A．数列
为等比数列
B．
C．数列
为递增数列
D．存在三个不相等正整数
，使得
【答案】AC
【分析】通过取倒数变形判断数列类型，推导通项公式，分析数列单调性，假设存在性验
证等式是否成立，逐一验证各选项.
【详解】选项A，由
，取倒数得
，变形得
.
27
首项
，故
是以
为首项、
为公比的等比数列，A 正确.
选项B，由
的通项得
，故
，即
.
选项B 中表达式为
，与推导结果不符，B 错误.
选项C，
，因
随
增大而递增，
随
增大而递减，
故
随
增大而递增，数列
为递增数列，C 正确.
选项D，假设存在不相等正整数
，使得
，
由C 选项分析可知，数列
为递增数列，
则对于任意不相等的正整数
，有
，
而
，则
，
所以等式无法成立，故不存在这样的
，D 错误.
故答案为：AC
5．（多选）已知数列
的前
项和为
，且
，则下列结论正确
的有（ ）
A．数列
为等差数列
B．
C．
随
的增大而减小
D．
有最大值
【答案】ABD
【分析】根据等差数列的定义和性质以及通项公式进行逐项判断即可.
【详解】因为
，
28
所以当
时，
，
两式相减得
，即
.
所以
.
当
时，
则，则
.
所以数列
是以-1 为公差，
为首项的等差数列，所以A 正确；
则
，即
，所以B 正确；
又
，则当
时，
，当
时，
.
所以当
时，
随
的增大而增大，当
时，
随
的增大而减小，所以C 错误；
故当
或时，
取得最大值，所以D 正确.
故选：ABD.
6．（多选）已知正四面体
中，
在线段
上，且
，过点
作平行于直线
的平面，截面面积为
，则
下列说法正确的有（ ）
A．
B．
为递减数列
29
C．存在常数
，使
为等差数列
D．设
为数列
的前
项和，则
时，
【答案】ABD
【分析】取
的中点
，连接
先由线面垂直证明
，对于A，过点
作
交
于点
，过点
作
交
于点
，过点
作
，交
于点
，连接
，再由相似关系得到
的通项，然后可判断A；利用
可得B；由等
差数列的性质可得C；结合裂项相消法可判断D.
【详解】由题意得
，
取
的中点
，连接
，
因为
均为等边三角形，所以
，
因为
平面
，所以
平面
．
因为
平面
，所以
．
对于A，过点
作
交
于点
，过点
作
交
于点
，过点
作
，交
于点
，连接
，
易得四边形
为平行四边形，又
，可得截面
为矩形．
由相似知识可知
，
30
故
，所以
，A 正确；
对于B，因为
，所以
，故
，故
为递减数列，B 正确；
对于C，
，则
，
不是常数，C 错误；
对于D，
，
则
，令
，解得
，D 正确．
故选：ABD．
7．在数列
中，
，记
，若数列
为
递增数列，则实数
的取值范围为 .
【答案】
31
【分析】由递推关系可得
，求得
，不等式恒成立等价于
恒成立，讨论
的奇偶即可求出.
【详解】由
，得
，即
，
而
，则
，即
，
，
由数列
为递增数列，得任意的
恒成立，
则
，得
，
即
恒成立，
当
为奇数时，
恒成立，数列
单调递增，
的最小值为，则
，
当
为偶数时，
恒成立，数列
单调递减，
的最大值为
，则
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
8．已知数列
满足
，
，
，若存在正整
数m 使得
恒成立，则
．
【答案】8
【分析】利用
与
的关系可得
，进而可得
，利用作差法找出
数列的最大项即可求解.
【详解】
，当
时，
，
32
当
时，
，
所以
，
所以
，
时也适合，
所以
，
，
所以
，
，
，
，
当
时，
，即
，
当
时，
，即
，
所以当
时，
最大，
即对任意
，均有
，
所以存在正整数
，使得
恒成立.
故答案为：8.
9．已知数列
中，
，且
（n 为正整数），则
的最小值为
.
【答案】
/
【分析】利用累加法得
，进而得
，利用
单调性即可
求解.
【详解】由题意有：
，
，
上式相加得
，
33
所以
，所以
，
因为
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，
故答案为：
.
10．数列
前n 项和
，
，则数列
的最小项为（用具体数字作答）
．
【答案】
【分析】利用
先求
，进而得
，最后分类讨论即可求解.
【详解】由题意有：当
时，
，
当
时，由
有
，即
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，
所以
，
所以
，
当
为奇数时，
，随着
增大而减小，
当
为偶数时，
，令
，
，
34
所以
在
单调递减，当
时，
，
所以当
时，即
时，
，
故数列
的最小项为
.
故答案为：
.
35
题型四：项的最大、最小值
1．数列
的最大项的值为 .
【答案】
【分析】根据题意，求得
，求得数列的最大项的值，得到答案.
【详解】由数列
，
则
，
当
时，
，即
，且
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，且
；
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，所以
.
综上可得，数列
的最大项为
.
故答案为：
.
2．数列
的通项公式为
，
满足：
，则数列
的最大
项是第（ ）项
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
36
【分析】设数列
的最大项为
,由
求解.
【详解】设数列
的最大项为
，
则
，即
，
化简得
，解得
，
所以
，又
，所以
，
即数列
的最大项是第
项.
故选：B
3．已知
为数列
的前
项和，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求
的表达式及最大值.
【答案】(1)
；
(2)
，20.
【分析】（1）根据给定条件，利用
，结合等比数列求出通项公式.
（2）利用分组求和法及等比数列前
项和公式求和，再探讨数列
的单调性求出最大项.
【详解】（1）在数列
中，
，则
，两式相减得
，
37
而
，
，则
，因此数列
是首项为1，公比为3 的等比数列，
所以
的通项公式是
.
（2）由（1）得
，
所以
，
，当
时，
；当
时，
，
即
，所以当
时，
取得最大值
.
4．设数列
的前
项和
.数列
是等比数列，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
是数列
的前
项和，求满足
的最小的正整数
的值.
【答案】(1)
；
(2)11.
【分析】（1）由
的关系可解得数列
的通项公式，然后由等比数列的性质可求出
的通项；
（2）先用错位相减法求出
，再令
，求出其单调性后可解.
【详解】（1）因为
，所以由
得
，所以
，
所以
，
时，
，
又
时，
，所以
的通项公式为
；
38
设
的公比为
，
因为
，所以
，
所以
的通项公式为
.
（2）由（1）知
，所以
的前
项和
，
所以
，
所以
，
所以
.
由
得
，令
，则
，所以
，
因为
，所以
，
所以满足
的最小的
的值为11.
5．正项数列
满足：
，对一切
，有
其中
为数列
的前
项和.
(1)证明
是等差数列，并求出
的通项公式；
(2)若数列
前
项和
，求数列
的通项公式；
(3)若
，数列
的前
项和为
，求
的最大值和最小值.
39
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)最大值为3，最小值为
【分析】（1）根据
与
的关系作差化简得出
，再结合等差数列的定义和通
项公式可求解；
（2）利用
计算；
（3）利用裂项相消计算
，再结合其增减性可得.
【详解】（1）因
，则当
时，
，
两式作差得
，即
，
因
，则
，
当
时，
，又
解得
，则
满足上式，
故数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
其通项公式为
；
（2）由（1）得
，
当
时，
，
因
，满足上式，所以其通项公式为
；
（3）
，
40
则
，
当
为奇数时，
，为递减数列，
又
，则
；
当
为偶数时，
，为递增数列，
又
，则
；
则
的最大值为
，最小值为
.
6．已知数列
中，
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求
的前
项和
；
(3)令
，求数列
的最大项.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证；
（2）利用等比数列的前
项和公式，分组求和即可求解；
（3）由（2）得
，即
，得
，令
，比
41
较
与1 的大小来判断数列的单调性，进而求出最大项.
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列；
（2）由（1）得
，
所以
，
化简得
；
（3）由（2）得
，
所以
，
令
，
易得
，又
单调递减，当
时，即
，
又当
时，
，
所以数列
的最大项为
.
42
7．已知数列
中，
(
且
)．
(1)若
，求数列
中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的
，都有
成立，求
的取值范围．
【答案】(1)最大项为
，最小项为
(2)
【分析】（1）利用函数
的单调性，分析数列
的单调性，可
求数列
的最大、最小项.
（2）分析函数
的单调性，结合
，可求
的取值范围.
【详解】（1）∵
，(
，
且
).
又
，∴
(
)．
因为函数
在
和
上单调递减，
可知
，
（
）.
∴数列
中的最大项为
，最小项为
.
（2）
，
已知对任意的
，都有
成立，
43
因为函数
在
和
上单调递减，
可知
，即
.
故
的取值范围是
．
44
