数列：数列递推问题、数列新定义问题、数列插项问题专项训练
考点目录
数列递推问题
数列新定义问题
数列插项问题
1．（25-26 高三上·广东肇庆·开学考试）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
2
a =
，且
1
1
1
n
n
n
n
a S
a
S
+ =
+
- ，则
2025
S
=
（ ）
A．1012
B．2024
C．2025
2
D．2025
【答案】C
【详解】由
1
1
1
n
n
n
n
a S
a
S
+ =
+
- 可得
1
1
n
n
n
n
a
S
S
a
+ -
=
- ，故
1
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
-
=
= -
，
由
1
2
a =
可得
2
3
4
1
1
1
1
1
,
1
1,
1
2,
,
1
2
2
1
2
a
a
a
= -
=
= -
= -
= -
=
-
L
故
na
是周期为3 的周期数列，且
1
2
3
3
2
a
a
a
+
+
=
，
故
2025
1
2
3
3
2025
675
675
2
2
S
a
a
a
=
+
+
=
´
=
，
故选：C
2．（25-26 高三上·河北邢台·开学考试）已知数列
na
的首项
1
1
a = ，且满足
1
2
1
n
n
a
a
n
+ =
+
- ，则
11
a
= （ ）
A．2037
B．2047
C．1014
D．1021
【答案】A
【详解】由
1
2
1
n
n
a
a
n
+ =
+
- 可得
1
1
2
n
n
a
n
a
n
+ +
+
=
+
，即
1
1
2
n
n
a
n
a
n
+ +
+
=
+
，
又
1
1
a = ，可得
1
1
2
a + =
，
所以数列
na
n
+
是以2 为公比，2 为首项的等比数列，
即
2n
na
n
+
=
，所以
2n
na
n
=
-
，
所以
11
11
2
11
2048 11
2037
a
=
-
=
-
=
.
故选：A.
3．（24-25 高二上·湖北孝感·阶段练习）数列
na
满足：
1
1
a = ，
1
2
1
log
n
n
n
a
a
n
+
+
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，则
8a = （ ）
考点一
数列递推问题
A．2 2
B．3
C．4
D．4 2
【答案】C
【详解】由
1
2
1
log
n
n
n
a
a
n
+
+
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø ，可得
1
2
2
2
1
log
log
1
log
n
n
n
a
a
n
n
n
+
+
æ
ö
-
=
=
+
-
ç
÷
è
ø
，
利用累加法可得
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
log
log
1
log
1
log
2
log 2
log 1,
2
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n
n
-
-
-
-
+
-
+×××+
-
=
-
-
+
-
-
-
+×××+
-
³
,
化简得
1
2
log
na
a
n
=
+
，则
8
2
1
log 8
4
a = +
=
.
故选：C.
4．（25-26 高三上·江西·阶段练习）已知数列
na
满足
1
1
5,
1
1
n
n
a
na
n
a
n n
+
= -
-
+
=
+
，则
na
中的项小于0 的有
（ ）
A．0 项
B．5 项
C．6 项
D．无数项
【答案】B
【详解】由
1
1
5,
1
1
n
n
a
na
n
a
n n
+
= -
-
+
=
+
，
可得：
1
1,
N
1
n
n
a
a
n
n
n
+
+
-
=
Î
+
，又
1
5
a = - ，
所以数列
na
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是以5
- 为首项，公差为1的等差数列，
所以
6
n
a
n
n =
-
，
所以
2
6
na
n
n
=
-
，
由
2
6
0
na
n
n
=
-
<
，可得：1
6
n
£
<
，且
N
n
+
Î
，
所以
na
中的项小于0 的有5 项，
故选：B
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
*
1
2n
n
n
a
a
n
n
+ =
+
+
ÎN
，则
na 等于（ ）
A．
1
1
2
1
2
n
n n
-
-
+
-
B．
1
2
1
2
n
n n -
+
-
C．
1
1
2
1
2
n
n n
+
+
+
-
D．
1
1
2
1
2
n
n n
+
-
+
-
【答案】B
【详解】由题设
1
2n
n
n
a
a
n
+ -
=
+
，即
1
3
2
2
1
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
-
=
-
+
+
-
+
-
+
L
1
2
1
2
2
1
2
1
(
1)
2n
n
-
=
+
+
+
+ +
-
+
+
L
，且
2
n ³
，
所以
1
2
1
)
1
(
(
2
2
1)
2
2
1
n
n
n
a
-
- +
+
+
+
+
+
=
+
+
L
L
2
(
1)(
1 1
2
1 2
1
)
n
n
n
-
- +
=
-
+
-
1
(
1)
2
2
n
n n
=
+
-
-
，
由
1
1
a = 满足上式，故
1
(
1)
2
2n
n
n n
a
-
+
=
- .
故选：B
6．（24-25 高三上·云南大理·开学考试）在数列
na
中，
1
2
a =
，且
2
2
1
1
2
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
n
+
+
-
=
-
+
+ ，则数列
2
1
1
na
ì
ü
ï
ï
í
ý
-
ï
ï
î
þ
的前2025 项和为（ ）
A．2025
2026
B．2025
1013
C．2026
2025
D．2025
1012
【答案】B
【详解】由
2
2
1
1
2
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
n
+
+
-
=
-
+
+ ，可得
2
2
1
1
1
1
n
n
a
a
n
+ -
-
-
=
+ ，
所以
2
2
2
1
1
1
1 1
a
a
-
-
-
= + ，
2
2
3
2
1
1
2 1
a
a
-
-
-
=
+ ，
…
2
2
1
1
1
1
1
n
n
a
a
n
-
-
-
-
=
-
+ .
以上各式相加得：
2
2
1
1
1
2
3
na
a
n
-
-
-
=
+ +
+
L
，
所以
2
1
1
1
2
3
2
n
n
n
a
n
+
-
= +
+ +
+
=
L
，
而
2
1
1
1
a -
= 也符合该式，故
2
1
1
2
n
n
n
a
+
-
=
.
则
2
1
2
1
1
2
1
1
1
n
n n
n
n
a
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø
-
.
设
2
1
1
na
ì
ü
ï
ï
í
ý
-
ï
ï
î
þ
的前n 项和为
n
S ，则
1
1
1
1
1
2
2 1
2
2
3
1
1
n
n
S
n
n
n
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
=
ç
÷
+
+
è
ø
L
，
从而
2025
2025
1013
S
=
.
故选：B
7．（24-25 高二下·河南焦作·期末·多选）已知数列
na
中，
1
2
a =
，
2
1
1
2
n
n
n
a
a
a
+ =
+
，则（ ）
A．
na
是递增数列
B．
*
n
$ ÎN ，
1
2
n
n
a
a
+ <
+
C．
*
n
" ÎN ，
1
2
1
log
2
1
n
na
-
+ ³
+
D．数列
1
2
na
ì
ü
í
ý
+
î
þ
的前n 项和为
1
1
1
2
na +
-
【答案】ACD
【详解】对于A，因为
2
1
1
2
n
n
n
a
a
a
+ =
+
，
1
2
0
a =
>
，所以
0
na >
，
则
2
1
1
0
2
n
n
n
a
a
a
+ -
=
>
，所以
na
是递增数列，故A 正确；
对于B，因为
2
1
1
1
2
2
2
2
0
2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+ -
+
=
-
=
+
-
³
，所以
1
2
n
n
a
a
+ ³
+
，故B 错误；
对于C，因为
2
2
1
1
1
4
2
a
a
a
=
+
=
，
2
1
1
0
2
n
n
n
a
a
a
+ -
=
>
，所以
2
1
1
2
n
n
a
a
+ >
，
所以
2
1
2
log
2log
1
n
n
a
a
+ >
- ，变形得
2
1
2
log
1
2 log
1
n
n
a
a
+ - >
-
，
用累乘法可得
1
1
2
1
2
2
log
1
2
log
1
2
n
n
na
a
-
-
+ - ³
-
=
，所以
1
2
1
log
2
1
n
na
-
+ ³
+ ，故C 正确；
对于D，因为
2
1
2
1
2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
+
=
+
=
，
所以
1
1
2
1
1
2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
=
=
-
+
+
，所以
1
1
1
1
2
n
n
n
a
a
a +
=
-
+
，
所以
1
2
1
1
1
2
2
2
n
a
a
a
+
+
+
+
+
+
L
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
+
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
，故D 正确.
故选：ACD.
8．（24-25 高二下·辽宁·期末·多选）已知数列
na
各项均为正数，其前n 项和
n
S 满足
2
1,2,
n
n
a
S
n
×
=
=
××× ．则下列
结论正确的有（ ）
A．
na
的第2 项小于2
B．
1
2
1
2
2
2
n
n
n
a
a
n
a
-
-
=
³
-
C．
na
为递减数列
D．
na
中存在小于
1
1024 的项．
【答案】ACD
【详解】对于A，当
1
n = 时，
1
1
2
a S
×
=
，所以
2
1
2
a =
，因为数列
na
各项均为正数，解得
1
2
a =
，
当
2
n =
时，
2
2
2
a
S
×
=
，所以
2
1
2
2
a
a
a
×
+
=
，所以
2
2
2
2
2
0
a
a
+
-
=
，
解得
2
2
2
4 1
2
2
10
2
2
a
-
±
- ´ ´ -
-
±
=
=
，
因为数列
na
各项均为正数，故
2
2
10
2
18
2
2
2
a
-
+
-
+
=
<
=
，故A 正确；
对于B，由
2
n
n
a
S
×
=
，得
2
n
n
S
a
=
，当
2
n ³
时，可得
1
1
2
n
n
S
a
-
-
=
，
两式相减得
1
1
2
2
n
n
n
n
S
S
a
a
-
-
=
-
-
，所以
1
2
2
n
n
n
a
a
a -
=
-
，所以
2
1
1
2
2
0
n
n
n
n
a a
a
a
-
-
+
-
=
，
解得
2
2
1
1
1
1
2
4
8
1
1
2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
-
-
-
-
- ±
+
- ±
+
=
=
，
因为数列
na
各项均为正数，所以
1
2
1
1
1
2
n
n
na
a
a -
-
- +
+
=
，
又
1
2
a =
，由选项可得：
1
2
2
1
2
2
a
a
a
=
-
显然无意义，故B 错误；
对于C，因为
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a a
a a
-
-
-
-
-
-
-
=
-
=
=
>
，则得
1
n
n
a
a -
<
，
所以
na
为递减数列，故C 正确；
对于D，假设对
*
N
nÎ
，都有
1
1024
na ³
，则
2
2
2 1024
1
2 1024
2 1024
1024
S ´
³
´
´
=
´
，
所以
2
2
2 1024
2 1024
1
2 1024
2
1024
a
S
´
´
´
×
³
´
=
，与已知矛盾，即假设不成立，
所以数列
na
中存在小于
1
1024 的项，故D 正确．
故选：ACD．
9．（25-26 高三上·贵州·开学考试·多选）已知数列
na
满足
1
1
2
1
1
,
3
n
n
n
ta
a
a
t a
t
t
+
-
=
=
+
，其中
0
t ¹
，则（ ）
A．
2
a
t
=
B．
1
n
t
ta
ì
ü
í
ý
+
î
þ
为等差数列
C．数列
4
1
n
ta
ì
ü
í
ý
+
î
þ
的前n 项和为
2
n
n
+
D．数列
1
n
ta +
的前99 项和大于18 2
【答案】BCD
【详解】对于A，由题意，数列
na
满足
1
1
2
1
1
3
n
n
n
ta
a
a
t a
t
t
+
-
=
=
+
，
，可得
2
2
1 1
0
1
3
t
t
a
t
t
t
´ -
=
=
´ +
，故A 错误；
对于B，因为
1
2
1
3
n
n
n
ta
a
t a
t
+
-
=
+
，所以
1
2
1
1
1
1
1
3
n
n
n
n
n
t
t
t
t
ta
ta
ta
ta
t
t a
t
+
-
=
-
-
+
+
+
´
+
+
3
1
2
1
1
2
1
2
n
n
n
n
n
t ta
t ta
t
t
ta
ta
ta
+
+
=
-
=
=
+
+
+
为常
数，且
1
1
2
t
t
ta
=
+
，
所以数列
1
n
t
ta
ì
ü
í
ý
+
î
þ
为首项为2
t ，公差为2
t 的等差数列，故B 正确；
对于C，由选项B 可知
1
1
2
2
2
n
t
t
t
nt
n
ta
=
+
-
=
+
，所以
1
1
2
n
n
ta
=
+
，所以
4
2
1
n
n
ta
=
+
，
所以数列
4
1
n
ta
ì
ü
í
ý
+
î
þ
的前n 项和为
2
2
2
2
n
n
n
n
+
=
+
，故C 正确；
对于D，由
1
1
2
n
n
ta
=
+
可知
2
1
n
ta
n
+ =
，所以
2
1
n
ta
n
+
=
，
因为对
1
k ³ 都有
1
1
1
1
2
k
k
k
k
k
+ -
=
<
+ +
，所以
2
2 2
1
k
k
k
>
+ -
，
所以数列
1
n
ta +
的前99 项和
2 2
2
1
3
2
100
99
é
ù
>
-
+
-
+
+
-
ë
û
L
2 2
100
1
18 2
=
-
=
，故D 正
确.
故选：BCD
10．（25-26 高三上·云南临沧·开学考试）已知数列
na
满足
1
2
a =
，
1
1
1
2,
n
n
n
a
n
a
n
n
-
+
×
=
-
³
ÎN
，则数列
na
的通项公式为
．
【答案】
4
1
na
n n
=
+
【详解】因为
1
1
1
2,
n
n
n
a
n
a
n
n
-
+
=
-
×
³
ÎN
，所以
1
1
1
n
n
a
n
a
n
-
-
=
+
2
3
4
2
1
1
3
2
1
3
2
1
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
-
-
-
-
-
=
´
´
´
´
´
´
L
2
3
3
2
1
2
1
5
4
1
1
3
n
n
n
n
n
n
-
-
=
´
´
´
´
+
´
´
-
´
-
L
4
(
1)
n n
=
+
，
而
1
2
a =
也满足上式，因此数列的通项公式为
4
1
na
n n
=
+
.
故答案为：
4
1
na
n n
=
+
11．（2025·浙江宁波·模拟预测）数列
na
是正项数列，若
2
2
16
a =
，且
2
2
1
1
3
5
2
0
n
n
n
n
a
a a
a
-
-
-
-
=
，
2
n ³
，则
4
6
log a =
．
【答案】3
【详解】因为
2
2
1
1
3
5
2
0
n
n
n
n
a
a a
a
-
-
-
-
=
，
2
n ³
，所以
2
1
1
3
5
2
0
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
æ
ö -
-
=
ç
÷
è
ø
，
2
n ³
，
即
1
1
2
3
1
0
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
æ
öæ
ö
-
+
=
ç
֍
÷
è
øè
ø
，
2
n ³
，
又因为
*
0,
N
na
n
>
Î
，所以
1
2
n
n
a
a -
=
，
2
n ³
，
因为
2
2
16
a =
，
*
0,
N
na
n
>
Î
，所以
2
4
a =
，
所以
2
2 2
2
n
n
na
a
-
=
×
=
，
所以
6
6
4
6
4
2
1
1
2
2
6
3
log
log
2 log
2
a
=
=
´
=
=
.
故答案为：3.
12．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）数列
na
满足
*
1
1
n
n
n
a
a
n n
+ = -
+
ÎN
，则
na
的前100项和为
．
【答案】2500
【详解】因为
*
1
1
n
n
n
a
a
n n
+ = -
+
ÎN
，即
1
*
1
1
n
n
n
a
a
n n
+
+ + -
=
ÎN
，
当
1
n = 时，
2
1
1
a
a
+
= ，当
3
n =
时，
4
3
3
a
a
+
=
，
当
5
n =
时，
6
5
5
a
a
+
=
，当
7
n =
时，
8
7
7
a
a
+
=
，
L
当
99
n =
时，
100
99
99
a
a
+
=
，
所以
1
2
100
50 1 99
1 3
5
99
2500
2
a
a
a
+
+
+
+
= + + +
+
=
=
L
L
，
故答案为：2500 .
13．（24-25 高二下·浙江杭州·期末）数列
na
满足
2
1
1
4
2,
8
n
n
n
a
a
a
a
+ =
+
+
= ．
(1)证明数列
na
是单调递增数列；
(2)若
1
2
,
,
p
p
p
a
a
a
+
+ 是
na
中连续的三项，证明：
1
2
,
,
p
p
p
a
a
a
+
+ 不可能成等比数列；
(3)证明：不存在正的常数M，使
na
M
<
对所有的
*
N
nÎ
成立．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由题意证明如下，
*
N
nÎ
，
在数列
na
中，
2
1
4
2
n
n
n
a
a
a
+ =
+
+
，
1
8
a = ，
∴
2
2
1
2
4
4
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+ +
=
+
+
=
+
，
即
2
2
1
2
2
log
2
log
2
2log
2
n
n
n
a
a
a
+ +
=
+
=
+
，
∴
2
1
2
log
2
2
log
2
n
n
a
a
+ +
=
+
，
∴
2
log
2
na +
是以
2
1
2
2
log
2
log
8
2
log 10
a +
=
+
=
为首项，2 为公比的等比数列，
∴
1
2
2
log
2
log 10 2n
na
-
+
=
×
，
∴
1
1
2
log 10 2
2
2
2
10
n
n
na
-
-
×
+
=
=
，即
1
2
10
2
n
na
-
=
-
（
*
N
nÎ
），
∴
2
1
10
2
n
na + =
- ，
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
1
10
2
10
2
10
10
10
10
1
0
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
-
-
-
-
+ -
=
-
-
-
=
-
=
-
>
，
∴数列
na
是单调递增数列.
（2）由题意及（1）证明如下，
*
N
nÎ
，
在数列
na
中，
1
2
10
2
n
na
-
=
-
，
∴
1
2
10
2
p
p
a
-
=
-
，
2
1
10
2
p
p
a + =
-
，
1
2
2
10
2
p
p
a
+
+ =
-
，
∴
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
10
2 10
2
10
10
2 10
2 10
4
p
p
p
p
p
p
p
p
a a
-
+
-
+
-
+
+ =
-
-
=
×
- ×
- ×
+
1
2
2
2
2
2
1
10
2
10
4 10
4
p
p
p
p
a
+
+ =
-
=
- ×
+
∴
2
2
1
p
p
p
a a
a
+
+
¹
∴
1
2
,
,
p
p
p
a
a
a
+
+ 不可能成等比数列.
（3）由题意（1）及（2）证明如下，
*
N
nÎ
，
在数列
na
中，
1
2
10
2
n
na
-
=
-
，单调递增，
且当n ® +¥ 时，
na ® +¥ ，
∴不存在正的常数M，使
na
M
<
对所有的
*
N
nÎ
成立.
14．（25-26 高三上·广东·开学考试）在正项数列
na
中，
1
9
a =
，且
1
1
3
3
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
1
n
n
n
b
a
a +
=
×
，求
nb
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
2
9
na
n
=
(2)
9
1
n
n
S
n
=
+
【详解】（1）由
1
1
3
3
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
，可得
1
1
1
3
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
+
+
+
-
+
=
+
，
因数列
na
为正项数列，故
1
0
n
n
a
a
+ +
>
，
则有
1
3
n
n
a
a
+ -
= ，又
1
3
a =
，
所以
na
是首项为3，公差为3 的等差数列，
则
3
3
1
3
na
n
n
=
+
-
=
，
故
2
9
na
n
=
.
（2）由（1）已得
3
na
n
=
，则
1
1 1
1
3 ·3
1
9
1
nb
n
n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
+
+
è
ø ，
所以
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
2
2
3
3
4
1
n
n
S
b
b
b
b
n
n
æ
ö
=
+
+
+
+
=
-
+
-
+
-
+
+
-
ç
÷
+
è
ø
L
L
1
1
1
9
1
9
1
n
n
n
æ
ö
=
-
=
ç
÷
+
+
è
ø
.
15．（25-26 高二上·甘肃张掖·阶段练习）在正项数列
na
中，
1
1
a = ，且
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
1
n
n
n
b
a
a +
=
×
，求
nb
的前n 项和
n
S .
【答案】(1)
2
1
na
n
=
-
(2)
2
1
n
n
S
n
=
+
【详解】（1）由
2
2
1
1
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
可得
2
2
1
1
2
2
0
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
-
-
=
，
所以
1
1
1
1
1
2
2
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
-
-
+
=
+
-
-
=
，
因为
na
是正项数列，
1
0
n
n
a
a
+ +
>
，所以
1
2
0
n
n
a
a
+ -
-
=
，即
1
2
n
n
a
a
+ -
=
，
所以数列
na
是首项
1
1
a = ，公差
2
=
d
的等差数列，
所以
1
2
1
2
1
na
n
n
= +
-
=
- .
（2）由（1）可得
1
1
1
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
nb
n
n
n
n
æ
ö
=
=
-
ç
÷
-
+
-
+
è
ø ，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
1
2
3
3
5
2
1
2
1
2
2
1
2
1
n
n
S
n
n
n
n
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
+
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
-
+
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
.
16．（24-25 高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列
na
满足
1
1
a = ，且
1
3
3
N
n
n
n
a
a
n
+ =
+
Î
．
(1)求
2
3
,
a
a 的值；
(2)求证：数列3
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ 是等差数列，并求出数列
na
的通项公式；
(3)求数列
na
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
2
6
a =
，
3
27
a =
；
(2)证明见解析，
1
3n
na
n
-
=
×
；
(3)
2
1 3
1
4
n
n
n
S
-
+
=
【详解】（1）
1
1
a = ，
1
2
1
3
3
6
a
a
=
+
=
，
2
3
2
3
3
18
9
27
a
a
=
+
=
+
=
；
（2）
1
3
3n
n
n
a
a
+ =
+
Q
，∴，
1
1
1
1
1
3
3
1
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
=
Þ
=
+
，
即
1
1
1
3
3
3
n
n
n
n
a
a
+
+ -
=
，又
1
1
3
3
a =
，
∴数列3
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ 是等差数列，且该数列首项为
1
1
3
3
a =
，公差为1
3 ，
∴，
1
1
1
3
3
3
3
n
n
a
n
n
=
+
-
´
=
，∴
1
3n
na
n
-
=
×
．
（3）
0
1
2
1
1 3
2 3
3 3
3n
n
S
n
-
= ´
+ ´
+ ´
+
+
´
L
①
1
2
3
1
3
1 3
2 3
3 3
1
3
3
n
n
n
S
n
n
-
\
= ´
+ ´
+ ´
+
+
-
´
+ ´
L
②
①－②得：
0
1
2
1
2
1 3
1 3
1 3
1 3
3
n
n
nS
n
-
-
= ´
+ ´
+ ´
+
+ ´
-
´
L
1
1 3
1
2
3
1
3
1 3
2
n
n
n
n
n
´
-
-
-
=
- ´
=
-
，
∴
2
1 3
1
4
n
n
n
S
-
+
=
．
17．（25-26 高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列
na
中，
1
2
a =
，
1
1
2
3 2n
n
n
a
a
+
+ =
+ ´
，令
2
n
n
n
a
b =
(1)求数列
nb
的通项公式；
(2)求数列
na
的前n 项和
n
S ．
【答案】(1)
3
2
nb
n
=
-
(2)
1
3
5
2
10
n
n
S
n
+
=
-
×
+
【详解】（1）由
1
1
2
3 2n
n
n
a
a
+
+ =
+ ´
，得
1
1
1
2
3
2
2
n
n
n
n
a
a
+
+
+
=
+ ，
令
2
n
n
n
a
b =
，得
1
3
n
n
b
b
+ -
=
，
因为
1
2
a =
，所以
1
1
1
2
a
b =
= ，
所以数列
nb
是以1为首项，3为公差的等差数列，即
3
2
nb
n
=
-
.
（2）由（1）可得
3
2
2n
na
n
=
-
×
，
1
2
3
n
n
S
a
a
a
a
=
+
+
+×××+
2
3
1 2
4 2
7 2
3
2
2n
n
= ´ + ´
+ ´
+×××+
-
×
，
2
3
4
1
2
1 2
4 2
7 2
3
2
2n
n
S
n
+
= ´
+ ´
+ ´
+×××+
-
×
，
两式相减可得
2
3
1
1 2
3 2
3 2
3 2
3
2
2
n
n
n
S
n
+
-
= ´ + ´
+ ´
+×××+ ´
-
-
×
，
化简可得
2
1
1
1
1
3 2
1
2
2
3
2
2
10
3 2
3
2
2
1
2
n
n
n
n
n
S
n
n
-
+
+
+
´
´
-
-
=
+
-
-
×
= -
+ ´
-
-
×
-
，
所以
1
3
5
2
10
n
n
S
n
+
=
-
×
+
.
18．（25-26 高三上·安徽·开学考试）已知各项均为正数的数列
na
满足
1
1
a = ，
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)记
3
n
n
n
a
b =
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
na
n
=
(2)
3
2
3
4
4 3
n
n
n
T
+
=
-
´
【详解】（1）解：∵
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
，∴
2
2
1
1
0
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
-
+
=
，∴
1
1
1
0
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
-
=
∵
0
na >
，∴
1
0
n
n
a
a
+ +
>
，∴
1
1
0
n
n
a
a
+ -
- =
，∴
1
1
n
n
a
a
+ -
= ，
又
1
1
a = ，∴数列
na
是以
1
1
a = 为首项，1 为公差的等差数列，
∴
1
1
1
na
n
n
= +
-
´ =
，
∴数列
na
的通项公式是:
na
n
=
；
（2）由(1)知
3
3
n
n
n
n
a
n
b =
=
，
∴
2
3
1
1
2
3
1
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
T
-
-
=
+
+
+×××+
+
①，
①式左右两端同乘以1
3 ，得
2
3
4
1
1
1
2
3
1
3
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
T
+
-
=
+
+
+×××+
+
②，
①-②，得
2
3
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
3
3
3
1
3
3
3
3
3
3
3
2
2 3
1
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
T
+
+
+
æ
ö
-
ç
÷
+
è
ø
=
+
+
+×××+
-
=
-
=
-
´
-
，
所以数列
nb
的前n 项和
3
2
3
4
4 3
n
n
n
T
+
=
-
´
．
1．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指
逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，
2
1
2
a
a
-
=
，
3
2
3
a
a
-
=
，
4
3
4
a
a
-
=
，
5
4
5
a
a
-
=
，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数
列），现有一个高阶等差数列，其前5 项为2，3，6，11，18，则其第8 项是（ ）
A．38
B．51
C．66
D．83
【答案】B
【详解】由3
2
1
-
= ，
6
3
3
-
=
，
11 6
5
-
=
，
18 11
7
-
=
，可知：
6
18
9
a -
=
，即
6
27
a =
7
6
11
a
a
-
=
，即
7
38
a =
8
7
13
a
a
-
=
，即
8
51
a =
，
即第8 项是51，
故选：B
2．（24-25 高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该
数列的一次“美好成长”.将数列1,4 进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4 ；第二次得到数列1,4,4,16,4；L，设第
n 次“美好成长”后得到的数列为
1
2
1,
,
,
,
,4
k
x x
x
×L
，记
4
1
2
log
1
4
n
k
a
x
x
x
=
×
×
×
×
×
L
，则下列说法错误的是（ ）
A．
2
5
a =
B．
2
1
n
k =
-
C．
1
2
1
n
n
a
a
+ =
+
D．数列
na
的通项公式为
3
1
2
n
na
+
=
【答案】C
【详解】对A 选项，根据题意可得：
5
2
4
4
log
1 4 4 16 4
log 4
5
a =
´ ´ ´
´
=
=
，\A 选项正确；
对B 选项，设每次插入项的个数构成数列
nb
，则
2
1
2
3
1,
2,
2 ,
b
b
b
=
=
=
L，
\数列
nb
是以首项为1，公比为2 的等比数列，
\数列
nb
的前n 项和即为k ，
1 2
2
1
1 2
n
n
k
-
=
=
-
-
，\B 选项正确；
考点二
数列新定义问题
对C 选项，
1
4
1
2
1
1
2
2
3
1
log
1
4
1
4
n
k
k
k
k
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
-
é
ù
=
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
ë
û
L
L
3
4
1
2
4
1
2
1
log
1
4
3log
1
4
1
3
1
4
k
k
n
x
x
x
x
x
x
a
é
ù
=
×
×
×
×
×
=
×
×
×
×
- =
-
ê
ú
ë
û
L
L
，\C 选项错误；
对D 选项，由B 选项分析可得
1
3
1
n
n
a
a
+ =
- ，又
1
4
log
1 4 4
2
a =
´ ´
=
，
1
1
1
3
2
2
n
n
a
a
+
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø ，又
1
1
1
3
2
2
2
2
a -
=
-
=
，
1
2
na
ì
ü
\
-
í
ý
î
þ是以首项为3
2 ，公比为3 的等比数列，
1
1
3
1
3
3 ,
2
2
2
n
n
na
-
\
-
=
´
=
´
1 3
2
n
na
+
=
，\D 选项正确．
故选：C．
3．（24-25 高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意
*
N
nÎ
，都有
1
n
n
a
a
c
+
+
=
（c 为常数），称数列
na
为“等和”数列.
设“等和”数列
na
的首项为
1a ，直线
(
)
2
0
R
kx
y
k
k
-
+
+
=
Î
过定点
1
2
(
,
)
P a a
，则
2025
1
n
n
a
=
=
（ ）
A．2025
B．2562
C．3036
D．3037
【答案】D
【详解】由直线
(
)
2
0
R
kx
y
k
k
-
+
+
=
Î
变形得：
1
2
0
k x
y
k
R
-
-
+
=
Î
，当
1
x = 时，
2
y =
所以直线过定点
(1,2)
P
，即
1
2
1,
2
a
a
=
=
，
由数列
na
为“等和”数列且
1
n
n
a
a
c
+
+
=
（c 为常数），
所以
1
1
2
1
2
3
n
n
a
a
a
a
+
+
=
+
= +
=
，
所以等和”数列
na
的奇数项为1，偶数项为2，
所以
2025
1
2
3
4
2023
2024
2025
1
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
+
+
+
+
+
+
+
L
1
2
3
4
2023
2024
2025
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
+
+
L
2024
3
1
3037
2
= ´
+ =
，
故选：D.
4．（2025·上海宝山·二模）若对任意正整数n ，数列
na
的前n 项和
n
S 都是完全平方数，则称数列
na
为“完全平
方数列”.有如下两个命题：①若数列
nb
的前n 项和
2
nT
n
t
=
-
，（t 为正整数），则使得数列
nb
为“完全平方数
列”的t 值有且仅有一个；②存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列. 则下列选项中正确的是（ ）
A．①是真命题， ②是真命题；
B．①是真命题， ②是假命题；
C．①是假命题， ②是真命题；
D．①是假命题， ②是假命题.
【答案】A
【详解】对于①，数列
nb
的前n 项和
2
nT
n
t
=
-
（t 为正整数），
当
2
n ³
时，
2
2
1
1
2
2
1
n
n
n
b
T
T
n
t
n
t
n
t
-
=
-
=
-
-
- -
=
-
- ，
当
1
n = 时，
2
1
1
1
b
T
t
=
=
-
不满足上式，所以
2
1
,
1
2
2
1,
2
n
t
n
b
n
t
n
ì
-
=
ï
= í
-
-
³
ïî
，
当
1
t = ，
2
n ³
时，2
2
1
2
3
0
n
t
n
-
- =
-
>
，
所以数列
nb
与原数列相同，所以
2
1
nT
n
=
-
，
所以当
1
t = 时，数列
nb
为完全平方数列，
当
2
t ³
时，
2
2
2
1
2
1
3
2
2
1
2
3
2
b
b
t
t
t
t
t
t
+
=
-
+
-
=
-
+ +
-
=
-
不是“完全平方数，
所以当
2
t ³
时，数列
nb
不是完全平方数列，
综上所述：数列
nb
为“完全平方数列”，故①是真命题；
对于②，因为
n
S 为完全平方数，故
1
1
0,
0, ,
N
d
a
d a
³
³
Î
，
若
0
d =
，则
1
n
S
na
=
，若对任意的
*
N
nÎ
，
1
na 均为完全平方数，
则
1
0
a =
，否则假设p 为
1a 的素因数，且
a
p 恰好整除
1a ，a 为正整数，
若a 为奇数，则
1a 不是完全平方数，矛盾，
若a 为偶数，取
1
a
n
p +
=
，则
1
na 不是完全平方数，矛盾，
若
1
d ³ ，则
1
1
2
2
2
n
n
n a
a
n
a
d
nd
S
+
-
+
=
=
，
若
1
2
0
a
d
-
¹
，取
1
2
n
a
d
=
-
，则
2
1
2
1
2
n
a
d
d
S
-
+
=
或
2
1
2
1
2
n
a
d
d
S
-
-
=
，
当d 为偶数时，此时
2
1
2
1
2
a
d
d
-
+
，
2
1
2
1
2
a
d
d
-
-
均不是完全平方数，
当d 为奇数时，取
4
n =
，
1
2 2
3
n
S
a
d
=
+
，
1
2
3
a
d
+
为奇数，
故此时
n
S 不是完全平方数，
故
1
2
0
a
d
-
=
，即
1
2a
d
=
，故
1
2
n
S
a n
=
，设
2
1a
k
=
，故
2
2
n
S
k n
=
，
当
2
n ³
时，
2
2
2
2
2
1
1
(2
1)
n
n
n
a
S
S
k n
k
n
k
n
-
=
-
=
-
-
=
-
，
又
2
1a
k
=
适合上式，即
2(2
1),
Z
na
k
n
k
=
-
Î
.
故存在无穷多个“完全平方数列”的等差数列，故②是真命题.
故选：A.
5．（24-25 高二下·北京顺义·期中）已知函数
1 ,0
1,
1,
1.
x
f x
x
x
x
ì
<
£
ï
= í
ï
-
>
î
，数列
na
满足
1
0
a
m m
=
>
，
1
n
n
a
f a
+ =
.
给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．若
3
5
a =
，则m 有4 个不同的可能取值
B．若
*
5
n
n
a
a
n
+ =
ÎN
，则
2
3
m =
-
C．对于任意
2
m >
，存在正整数T ，使得
*
n T
n
a
a
n
+ =
ÎN
D．对于任意大于2 的正整数T ，存在
1
m > ，使得
*
n T
n
a
a
n
+ =
ÎN
【答案】D
【详解】对于A，
1 ,0
1,
1,
1.
x
f x
x
x
x
ì
<
£
ï
= í
ï
-
>
î
，所以
1
1 ,0
1
1,
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
ì
<
£
ï
= í
ï
-
>
î
，
若
3
5
a =
，当
2
1
a > 时，
2
3
1
5
a
a
- =
=
，解得
2
6
a =
．
当
1
1
a
m
=
> 时，则
1
2
1
6
a
a
- =
=
，解得
1
7
a =
，
当
1
1
a
m
=
< 时，则
2
1
1
6
a
a =
=
，解得
1
1
6
a =
；
当
2
1
a < 时，
3
2
1
5
a
a =
=
，解得
2
1
5
a =
，
当
1
1
a
m
=
> 时，则
1
2
5
1
1
a
a
- =
=
，解得
1
6
5
a =
，
当
1
1
a
m
=
< 时，则
2
1
5
1
1
a
a =
=
，解得
1
5
a =
（舍去）；
综上可得：m 可以取3 个不同的值：7，1
6 ，6
5 ，故A 错误；
对于B，
*
5
n
n
a
a
n
+ =
ÎN
，则数列
na
是周期为5 的数列，
若
2
3
m =
-
，因0
2
3
1
<
-
< ，
则
2
1
1
1
2
3
2
3
a
a
=
=
=
+
-
，
3
2
3
1
1
a
a
=
- = +
，
4
3
1
3
a
a
=
- =
，
5
4
1
3
1
a
a
=
- =
- ，
5
1
6
1
1
3
1
2
3
1
a
a
a
+
=
=
=
¹
-
，故B 错误；
对于C，当
3
m =
时，
2
1
1
2
a
a
=
- =
，
3
2
1
1
a
a
=
- = ，
4
3
1
1
a
a
=
= ，
所以不存在正整数T ，
*
n T
n
a
a
n
+ =
ÎN
，故C 错误．
对于D，先考虑数列
na
的周期性，
对于
*
1
0
1
,
,
N
a
k
a k
a
=
+
Î
<
£ ，则
2
1
1
1
k
a
a
a
=
- =
- +
，
3
2
1
2
k
a
a
a
=
- =
-
+
，
LL，
1
ka
a
+ =
，
2
1
ka
a
+ =
，要使
na
是周期数列，
则有1
k
a
a =
+
，解得
2
4
0,1
2
k
k
a
- +
+
=
Î
，
从而存在m
k
a
=
+
，使得数列
na
是周期数列，周期为
1
k + ，
从而要使周期为T ，只需
1
T
k
=
+ ，即
1
k
T
=
- 即可，故D 正确．
故选：D
6．（2025·上海·三模）设数列
na
的各项均为非零的整数，其前n 项和为
n
S ．设,i j 为正整数，若j
i
- 为正偶数
时，都有
2
j
i
a
a
³
恒成立，且
2
0
S =
，则
10
S 的最小值为（ ）
A．0
B．22
C．26
D．31
【答案】B
【详解】因为
2
1
2
0
S
a
a
=
+
=
，所以
1
2
,
a a 互为相反数，不妨设
1
2
0,
0
a
a
>
<
，
要使得
10
S 取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，
由题意知，
3a 满足
3
1
2
a
a
³
，取
3a 的最小值为
1
2a ，
则
5a 满足
5
1
5
3
1
2
2
4
a
a
a
a
a
³
ì
í
³
³
î
，因为
1
1
1
0,4
2
a
a
a
>
>
，故取
5a 的最小值
1
4a ，
7a 满足
7
1
7
3
1
7
5
3
1
2
2
4
2
4
8
a
a
a
a
a
a
a
a
a
³
ì
ï
³
³
í
ï
³
³
³
î
，因为
1
0
a >
，
1
1
1
8
4
2
a
a
a
>
>
，故取
7a 的最小值
1
8a ，
同理，取
9a 的最小值
1
16a ，所以
1
3
5
7
9
1
1
1
1
1
1
2
4
8
16
31
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
，
4a 满足
4
2
2
a
a
³
，取
4a 的最小值
2
2a ，
6a 满足
6
2
6
4
2
2
2
4
a
a
a
a
a
³
ì
í
³
³
î
，因为
2
0
a <
，所以
2
2
2
4
a
a
>
，取
6a 的最小值
2
2a ，
8a 满足
8
2
8
4
2
8
6
4
2
2
2
4
2
4
8
a
a
a
a
a
a
a
a
a
³
ì
ï
³
³
í
ï
³
³
³
î
，因为
2
0
a <
，所以
2
2
2
4
8
2a
a
a
>
>
，取
8a 的最小值
2
2a ，
同理，取
10
a 的最小值
2
2a ，所以
2
4
6
8
10
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
=
+
+
+
+
=
，
所以
10
1
2
1
1
1
31
9
31
9
22
S
a
a
a
a
a
=
+
=
-
=
，
因为数列
na
的各项均为非零的整数，
1
0
a >
，所以当
1
1
a = 时，
10
S 有最小值22．
故选：B．
7．（2025·内蒙古包头·模拟预测·多选）将所有正整数按照如下规律形成如下数阵M：
第1 行 1 2 3 …… 7 8 9
第2 行 10 11 12 …… 97 98 99
第3 行 100 101 102 …… 997 998 999
第4 行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
将上述M 数阵中的数进行如下操作，如果该正整数中相邻两位数字（从左到右）出现12，则将该正整数去掉，其
余数保持原有顺序不变，得到一个新数阵Q，记新数阵Q 第n 行正整数的个数为
nb ，则以下说法正确的有（ ）
A．
2
89
b =
B．
1
1
10
2
n
n
n
b
b
b
n
+
-
=
-
³
C．
1
5
2 6
n
n
b
b
+ -
+
是等差数列
D．将数列
3
1
n +
与数列
2n 的公共项按照从小到大的顺序排列得到数列
na
，则
2a 位于数阵M 中的第2 行第
7 个位置（从左向右数）
【答案】ABD
【详解】对于A，因第2 行的正整数有99
10
1
90
-
+ =
个，依题意去掉12 ，即得
2
89
b =
，故A 正确；
对于B，当
1
n = 时，显然
1
9
b =
．当
2
n =
时，第2 行2 位数有90 个，其中只有12 去掉，故
2
9 10 1
89
b = ´
- =
当
3
n =
时，第3 行3 位数有900 个，其中有两种情况去掉：百位和十位分别为12，
此时有10 个符合，十位和个位分别为12 个符合，此时有9 个，故
3
900 19
881
b =
-
=
．
当
2
n >
时，将第
1
n + 行
1
nb + 个符合条件的
1
n + 位正整数分为两类：
①个位数字不等于2 时，个位数字有9 种取法，前面n 位数有
nb 种取法，这时
1
n + 位正整数中有9 nb 个；
②个位数字等于2 时，前面n 位数有
nb 种取法，但这
nb 个
1
n + 位正整数中十位数字等于1 的
1
nb - 个正整数要去掉．
故个位数字等于2 且十位数字不等于1 的
1
n + 位正整数有
1
n
n
b
b -
-
个．
综上，由分类加法计数原理知
1
1
10
n
n
n
b
b
b
+
-
=
-
．B 正确；
对于C，由前面分析，可得
1
9
b =
，
2
89
b =
，
3
881
b =
，
4
3
2
10
8810
89
8721
b
b
b
=
-
=
-
=
，
记
1
5
2 6
n
n
n
c
b
b
+
=
-
+
，
则
2
3
2
(5
2 6)
881
(5
2 6)
89
436
178 6
c
b
b
=
-
+
=
-
+
´
=
-
，
1
1
2
(5
2 6)
89
(5
2 6)
9
44
18 6
c
b
b
+
=
´
=
-
-
-
=
+
，
3
4
3
(5
2 6)
8721
(5
2 6)
881
4316
1762 6
c
b
b
=
-
+
=
-
+
´
=
-
，
则
1
3
2
44
18 6
4316
1762 6
4360
1780 6
2
c
c
c
+
=
-
+
-
=
-
¹
，
故
1
5
2 6
n
n
b
b
+ -
+
不是等差数列，即C 错误；
对于D，因数列
3
1
n +
展开为：4,7,10,13,16,L，而数列
2n 展开为：2,4,8,16,32,L，
依题意可知则
2
16
a =
，位于数阵M 中的第2 行第7 个位置（从左向右数），故D 正确.
故选：ABD.
8．（2025·湖南岳阳·三模·多选）已知有穷数列
na
的通项公式为
na
n
=
，其项数不少于4 项，从
na
中选取
3
m
m
n
£
£
项组成数列
mb
，数列
mb
满足
1,2,
,
2
i
m
" Î
-
L
，
2
2
1
0
i
i
i
i
b
b
b
b
+
+
+
-
-
<
，则（ ）
A．数列
mb
是单调数列
B．当
7
n
m
=
=
时，
7
4
b =
C．当
12
m =
时，
12
1
6
b
b
-
³
D．数列
mb
的个数为2Cm
n
【答案】BCD
【详解】因为数列
m
b
满足
2
2
1
0
i
i
i
i
b
b
b
b
+
+
+
-
-
<
，即
2
ib + 必须在
ib 和
1
ib + 之间，
无法满足单调性，所以A 错误；
对于B，当
7
n
m
=
=
时，
m
b
各项大小关系为：
1
3
2
3
4
2
3
5
4
5
6
4
5
7
6
,
,
,
,
b
b
b b
b
b b
b
b b
b
b b
b
b
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
；
或者
1
3
2
3
4
2
3
5
4
5
6
4
5
7
6
,
,
,
,
b
b
b b
b
b b
b
b b
b
b b
b
b
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
从而
1
3
5
7
6
4
2
b
b
b
b
b
b
b
<
<
<
<
<
<
或
1
3
5
7
6
4
2
b
b
b
b
b
b
b
>
>
>
>
>
>
，
故
7
4
b =
，B 正确；
当
12
m =
时，同B 的分析可得：
1
3
5
7
9
11
12
10
8
6
4
2
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
或：
1
3
5
7
9
11
12
10
8
6
4
2
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
，
而
m
b
各项均为正整数，故
12
1
6
b
b
-
³
，C 正确；
从n 项中选m 项有Cm
n 种方式，由BC 的分析可得：
当
1
2
b
b
>
时，
m
b
各项的排列次序唯一确定，且
1b 为所有项中的最大项，
2b 为所有项中的最小项，
3b 为余下项的最大项，
4b 为余下项中的最小值，
5
6
,
b b 类似确定；
当
1
2
<
b
b 时，同理可得
m
b
各项的排列次序唯一确定；
故数列
m
b
的个数为2Cm
n ，D 正确.
故选：BCD.
9．（25-26 高三上·辽宁·开学考试·多选）设数列
na
和
nb
的项数均为m，称
1
m
i
i
i
a
b
=
-
为数列
na
和
nb
的距
离．记满足
1
1
1
n
n
n
a
a
a
+
+
= -
的所有数列
na
构成的集合为C．已知数列
n
A
和
n
B
为集合C 中的两个元素，项数均为
m，则下列说法正确的是（ ）
A．数列1，3，5，7 和数列2，4，6，8 的距离为4
B．若
*
4
N
m
p p
=
Î
，则
1
2
1
2
...
...
m
m
A A
A
B B
B
=
C．若
*
4
N
,
m
p p
=
Î
则
1
m
i
i
A
m
=
£
∣∣
D．若
1
1
2,
3,
A
B
=
=
数列
n
A
和
n
B
的距离不超过2025，则m 的最大值为3470
【答案】ABD
【详解】对于A，数列1，3，5，7 和数列2，4，6，8 的距离为1 2
3
4
5
6
7
8
4
-
+
-
+
-
+
-
=
，正确；
对于B，由
1
1
1
n
n
n
a
a
a
+
+
= -
得
2
3
2
1
4
2
3
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
-
-
-
=
=
= -
=
=
=
+
+
-
+
-
+
-
-
，
所以数列
na
为以4 为周期的周期数列，且
1
0,1
a ¹
，
记
1
,
0,1
A
t t
=
¹
，则
2
3
4
1
1
1
,
,
1
1
t
t
A
A
A
t
t
t
+
-
=
= -
=
-
+ ，
则
1
2
1
2
3
4
1
1
1
...
1
1
1
p
p
m
t
t
A A
A
A A A A
t
t
t
t
é
ù
+
-
æ
ö
=
=
´
´ -
´
=
ç
÷
ê
ú
-
+
è
ø
ë
û
，
同理，记
1
,
0,1
B
s s
=
¹
，可得
1
2
1
2
3
4
...
1
p
m
B B
B
B B B B
=
= ，正确；
对于C，
1
1
1
1
1
1
1
2
2
4
1
1
1
1
m
i
i
t
t
t
t
A
p t
p
t
p
m
t
t
t
t
t
t
=
æ
ö
é
ù
+
-
+
-
=
+
+ -
+
³
× -
+
×
=
=
ç
÷
ê
ú
ç
÷
-
+
-
+
ë
û
è
ø
，错误；
对于D，因为
1
1
2,
3,
A
B
=
=
所以
2
3
4
1
1
3,
,
2
3
A
A
A
= -
= -
=
，
2
3
4
1
1
2,
,
3
2
B
B
B
= -
= -
=
，
因为
0
i
i
A
B
-
>
，所以项数越大，数列
n
A
和
n
B
的距离越大，
因为
4
1
1
1
7
1 1
6
6
3
i
i
i
A
B
=
-
= + +
+
=
，3470
4 867
2
=
´
+
，
所以
3470
1
7
867
2
3
3
2
2025
3
i
i
i
A
B
=
-
=
´
+
-
+ - +
=
，
所以数列
n
A
和
n
B
的距离不超过2025，则m 的最大值为3470，正确.
故选：ABD
10．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）若数列
na
的相邻两项或几项之间的关系由函数
f x 确定，则称
f x 为
na
的递归函数；
g x
x
=
为取整函数，它表示不超过x 的最大整数，例如
1.2
1
= ，
1.3
2
-
= - ；设
na
的递归
函数为
2
f x
x
x
= -
+
，
2
1
5
n
n
n
n
a
f a
a
a
+ =
+
+
，且
1
5
3
a =
，
na
的前n 项和记为
n
S ，若
1
1
1
3
1
n
n
i
i
a
T
S
a
=
=
-
+
，则
2024
1
i
i
g T
=
为
．
【答案】10120
【详解】已知
2
1
5
n
n
n
n
a
f a
a
a
+ =
+
+
，
2
f x
x
x
= -
+
，
1
5
3
a =
，
则
2
2
1
5
6
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
+ = -
+
+
+
=
，
因为
1
5
3
a =
，所以
0
na ¹
，
1
6
n
n
a
a
+ =
，即
na
为以5
3 为首项，6 为公比的等比数列.
则
1
5 1 6
1
6
1
3
1
1 6
3
n
n
n
n
a
q
S
q
-
-
-
=
=
=
-
-
.
所以
1
1
1
3
5
5
5
6
1
5
6
1
2 6
1
1
1
3
3
3
i
i
i
i
a
S
a
-
=
=
=
-
-
+
×
-
-
+
-
，即
1
1
5
2 6
1
n
n
i
i
T
-
=
=
×
-
.
当
1
n = 时，
1
1 1
5
5
2 6
1
T
-
×
-
=
=
.
因为当
0,
0
b
a
m
>
>
>
时，由
0
a b
m
b a
m
m a
b
a
a
m
b
b
m
b b
m
b b
m
+
-
+
-
+
-
=
=
<
+
+
+
,可得a
a
m
b
b
m
+
<
+
，
所以当
2
i ³
时，
1
1
1
5
6
3
2 6
1
2 6
6
i
i
i
-
-
-
<
=
×
-
×
.
故当
2
n ³
时，
1
1
2
1
1
1
2
5
3
1
1
1
3
1
5
5
3
...
5
1
5.6
2 6
1
6
6
6
6
5
6
n
n
n
i
i
n
n
i
i
T
-
-
-
-
=
=
æ
ö
æ
ö
=
<
+
=
+
+
+
+
=
+
-
<
ç
÷
ç
÷
×
-
è
ø
è
ø
又
1
0
5
2 6
1
i-
×
- >
，则
1
5
nT
T
³
=
，
故对于任意
*
nÎN ，5
5.6
nT
£
<
，
所以
5
n
n
g T
T
=
=
.
所以
2024
1
( )
2024
5
10120
i
i
g T
=
=
´
=
.
故答案为：10120.
11．（25-26 高三上·北京顺义·阶段练习）数列
na
为无穷非负整数数列，若对任意
*
k ÎN ，均存在
*
1
2
, ,
,
N
m
i i
i Î
L
，且1
2
m
i
i
i
<
<
<
L
，使
2
m
i
i
i
a
a
a
k
+
+
=
L
，则称数列
na
为“完备数列”.给出下列四个结论：
①若正项等差数列
na
为“完备数列”，则首项一定为1；
②若正项等比数列
na
为“完备数列”，则公比一定为2；
③若
na
满足
2
1
n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
，则对任意
*
1
2
,
N
a a Î
，数列
na
均为“完备数列”；
④若
na
满足
*
2
1
1
2
N
,
1
n
n
n
a
a
a
n
a
a
+
+
=
+
" Î
=
= ，则数列
na
为“完备数列”；
其中正确结论的序号是
.
【答案】①④
【详解】若正项等差数列
na
为“完备数列”，则
1
0
a >
，公差
0
d >
，又
na
为非负整数数列，
对任意
*
k ÎN ，均存在
*
1
2
, ,
,
N
m
i i
i Î
L
，且1
2
m
i
i
i
<
<
<
L
，使
2
m
i
i
i
a
a
a
k
+
+
=
L
，
若
1
1
a > ，则必有
1
2
1
m
i
i
i
a
a
a
+
+
>
L
，故
1
2
1
m
i
i
i
a
a
a
+
+
=
L
不成立，矛盾，
所以
1
1
a = ，①对；
若正项等比数列
na
为“完备数列”，如
1
na = ，此时公比为1，
显然满足对任意
*
k ÎN ，均存在
*
1
2
, ,
,
N
m
i i
i Î
L
，且1
2
m
i
i
i
<
<
<
L
，使
2
m
i
i
i
a
a
a
k
+
+
=
L
，②错；
当
1
2
2
a
a
=
=
，则
3
0
a =
，
4
5
2
a
a
=
=
，
6
0
a =
，
7
8
2
a
a
=
=
，
9
0
a =
，L，
所以
na
是以3 为周期，即项2,2,0 周期性出现，
显然k 为奇数时，
1
2
m
i
i
i
a
a
a
k
+
+
=
L
不可能成立，③错；
由
2
1
1
2
,
1
n
n
n
a
a
a a
a
+
+
=
+
=
= ，则数列为1,1,2,3,5,8,13,21,34,L，
该数列中
2
1
n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
，相邻两项
1
2
,
n
n
a
a
+
+ 间缺失的自然数都可以由前
1
n + 项选出其中的k 项相加(同一项不重复
相加)得到，
所以对任意
*
k ÎN ，均存在
*
1
2
, ,
,
N
m
i i
i Î
L
，且1
2
m
i
i
i
<
<
<
L
，使
1
2
m
i
i
i
a
a
a
k
+
+
=
L
，④对.
故答案为：①④
12．（24-25 高二下·北京丰台·期末）已知数列
na
满足
1
1
(
0),
ln e
1
n
a
n
n
a
m m
a
ka
+
=
>
=
-
+
，给出下列四个结论：
①当
0
k =
时，对任意的
0
m >
，都有
2
1
a
a
<
；
②当
1
2
k =
时，对任意的
0
m >
，都有
2
0
a <
；
③当
1
k = 时，存在
0
m >
，使数列
na
是常数列；
④当
2
k =
时，存在
0
m >
，使数列
na
是递减数列．
其中所有正确结论的序号是
．
【答案】①③④
【详解】对于①：当
0
k =
时，则
1
0
e
e
e
1
a
m
=
>
= ，有
1
1
2
1
ln e
1
ln e
a
a
a
a
=
-
<
=
，与m 的取值无关，故①正确；
对于②：当
1
2
k =
时，当
ln 2
m =
时，
1
ln2
1
2
ln 2
ln 2
ln 2
ln e
1
ln e
1
0
0
2
2
2
2
a
a
a =
-
+
=
-
+
=
+
=
>
，
故②错误；
对于③：当
1
k = 时，
1
ln e
1
n
a
n
n
a
a
+ =
-
+
，由数列
na
是常数列，则
1
n
n
a
a
+ =
，
ln e
1
0
n
a -
=
，
ln 2
0
na =
>
，满足题意，故③正确；
对于④：当
2
k =
时，
1
ln e
1
2
n
a
n
n
a
a
+ =
-
+
，因为数列
na
是递减数列，
则
1
ln e
1
0
n
a
n
n
n
a
a
a
+ -
=
-
+
<
，
ln e
1
n
a
na
-
< -
，即e
1
e
n
n
a
a
-
- <
，
则有
2e
e
1
0
n
n
a
a
-
- <
，令
e
1
n
a
t =
> ，则
2
1
0
t
t
- - <
，解得
1
5
1
2
t
+
< <
，
所以
1
5
1
e
2
n
a
+
<
<
，即
1
5
0
ln
2
na
+
<
<
，故
1
5
0
ln
2
m
+
<
<
，下证
1
n
n
a
a
+ <
成立：
当
1
n = 时，
2
1
a
a
<
成立；
假设当 n
k
=
时，不等式
1
k
k
a
a
+ <
成立，即
1
0
k
k
a
a
+ -
<
，
由
1
0
a >
，得到
1
ln e
1
2
0
k
a
k
k
a
a
+ =
-
+
>
；
则当
1
n
k
=
+ 时，
2
1
k
k
a
a
+
+
<
，即证明
1
2
1
1
ln e
1
0
k
a
k
k
k
a
a
a
+
+
+
+
-
=
-
+
<
，
构造函数
ln e
1
x
f x
x
=
-
+
，
e
2e
1
1
e
1
e
1
x
x
x
x
f
x
-
=
=
¢
+
-
-
，
因为
0
x >
，e
1
0
x - >
，2e
1
0
x - >
，
( )
0
f
x
¢
>
，故
( )
f x 单调递增，由
1
k
k
a
a
+ <
，
1
0,
0
k
k
a
a +
>
>
，故有
1
0
k
k
f a
f a
+
<
<
，
即
k 1
2
1
1
ln e
1
0
a
k
k
k
a
a
a
+
+
+
+
-
=
-
+
<
，证毕.故④正确.
故答案为：①③④
13．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）在数列
na
中，
1
1
2
a =
，且
3
3
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
+
+
+
-
= ．
(1)求
na
的通项公式．
(2)证明：
1
2
n
i
i
a
i
=
<
．
(3)若数列
nb
中存在两项
p
b ，
qb
p
q
<
，使得
p
q
b
b
=
，则称
,p q 为数列
nb
的等项数对．证明：
na
的等项数
对唯一．
【答案】(1)
2
2
n
n
n
a =
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）因为
3
3
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
+
+
+
-
= ，
1
1
2
a =
，所以
3
1
1
1
2a = ，
所以数列
3
2n
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ
是首项为1，公差为1 的等差数列，
所以
3
2n
n
n
n
a =
，得
2
2
n
n
n
a =
．
（2）设
2
1
1
2
2
2
2
n
i
n
n
i
a
n
S
i
=
=
=
+
+×××+
，
则
2
3
1
1
1
2
2
2
2
2
n
n
n
S
+
=
+
+×××+
，
则
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
+
+
+
+
-
+
-
=
+
+
+×××+
-
=
-
= -
-
，
因为
*
2
,
0
2n
n
n
+
Î
>
N
，所以
1
2
2
2
2
n
i
n
n
i
a
n
S
i
=
+
=
=
-
<
．
（3）由（1）知，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
+
-
+
+
-
=
-
=
=
=
，
当
2
n £
时，
1
0
n
n
a
a
+ -
>
，当
2
n >
时，
1
0
n
n
a
a
+ -
<
，
所以
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
<
<
>
>
> ×××，注意到
2
4
1
a
a
=
= ，
1
1
2
a =
，
5
25
1
32
2
a =
>
，
6
36
1
64
2
a =
>
，
7
49
1
128
2
a =
<
，
7
7
na
a
n
<
>
，
所以
na
的等项数对唯一，且唯一等项数对为
2,4 ．
14．（25-26 高三上·湖南长沙·阶段练习）已知
na
是
4
m m ³
项正整数数列，令
1 1
2
2
1,2,
,
k
k
k
T
ra
r a
r a
k
m
=
+
+
+
=
L
L
，其中
1,1
kr Î -
.若对任意的
1
2
,
,
,
,
n
m
r
T T
T
L
中均无相同的项，则称数列
na
为“和差单值”数列.
(1)判断8，4，2，1，2，4，8 是否为“和差单值”数列.
(2)已知
1
2
: 2 ,2 ,
,2 m
k
k
k
na
L
，其中
1
2
,
,
,
m
k k
k
L
为两两不同的正整数，问：
na
是否为“和差单值”数列？请说明理
由．
(3)证明：若
na
的最大值不超过
1
2
m - ，则
na
一定不是“和差单值数列”.
【答案】(1)是“和差单值”数列
(2)
na
是“和差单值”数列，理由见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）对于
na
：8，4，2，1，2，4，8，
若
na
不是“和差单值”数列，
则存在
nr
以及1
7
i
j
£ <
£
，使得
i
j
T
T
=
，
则
1
1
2
2
0
j
i
i
i
i
i
j
j
T
T
r a
r
a
r a
+
+
+
+
-
=
+
+
+
=
L
．
1 为该数列中唯一奇数．
若
1
2
1
,
,
,
i
i
j
a
a
a
+
+
Î
L
，则
1
1
2
2
i
i
i
i
j
j
r a
r
a
r a
+
+
+
+
+
+
+
L
，为奇数，矛盾
若
1
2
1
,
,
,
i
i
j
a
a
a
+
+
Ï
L
，则只能是
2
3
4
2
0
r
r
+
=
或
5
6
2
4
0
r
r
+
=
或
5
6
7
2
4
8
0
r
r
r
+
+
=
，
这里的
1,1
ir Î -
，枚举可得均不成立，
故
na
是“和差单值”数列.
（2）由（1）可得，若
na
不是“和差单值”数列，则存在
nr
以及1
i
j
m
£ <
£
，
使得
1
1
2
2
0
i
i
i
i
j
j
r a
r
a
r a
+
+
+
+
+
+
+
=
L
，即
1
2
1
2
2
2
2
0
j
i
i
k
k
k
i
i
j
r
r
r
+
+
+
+
+
+
+
=
L
，
设
1,
,
i
j
k
k
+ L
中最小值为k ，则
1
2
1
2
2
2
2
2
0
j
i
i
k
k
k
k
k
k
k
i
i
k
j
r
r
r
r
+
+
-
-
-
+
+
+
+
+
+
+
=
L
L
，
只能是
1
12
2
0
i
i
k
k
k
k
i
k
j
r
r
r
+ -
-
+
+
+
+
+
=
L
L
，
由于
1
12
2
i
i
k
k
k
k
i
k
j
r
r
r
+ -
-
+
+
+
+
L
L
为偶数，而
1,1
kr Î -
,
故
1
12
2
i
i
k
k
k
k
i
k
j
r
r
r
+ -
-
+
+
+
+
+
L
L
为奇数，不可能为0，故矛盾，假设不成立，
na
是“和差单值”数列.
（3）数列
na
共有m 项，且
1
1,2,
,
2
n
m
a
n
m
-
£
=
L
恒成立，
取1
1
1,
0
1,
1,
0
k
k
k
T
r
r
T
+
-
>
ì
=
= í
£
î
，
由
1
1
1
k
k
k
k
T
T
r
a
+
+
+
=
+
，可知
1
1
1
1
0,1,2,
,
1
2
2
k
m
m
T
k
m
+
-
-
-
+ £
£
=
-
L
，
又
1
Z
kT + Î
，则
1
kT + 至多有
1
1 1
1
1
2
2
m
m
m
-
-
æ
ö
- -
+
+ =
-
ç
÷
è
ø
个不同的值，
故
1
2
,
,
,
m
T T
T
L
中必有两个值相等，故
na
一定不是“和差单值”数列.
15．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若数列
na
满足
2
2
1
n
n
n
S
S
S
+
+
<
×
，则称数列
na
是
“方特数列”.
(1)证明：数列
n 是“方特数列”；
(2)若数列
1
1
1
0
n
a q
a
-
¹
是“方特数列”，求q 的取值范围；
(3)证明：当
0
q >
时，数列
1
n
nq -
是“方特数列”.
【答案】(1)证明见解析
(2)
0,+ ¥
(3)证明见解析
【详解】（1）当
na
n
=
时，
1
1
2
n
S
n n
=
+
，
2
2
1
1
1
1
2
3
1
2
1
2
0
4
2
n
n
n
S
S
S
n
n
n n
n
n
n
n
+
+
é
ù
×
-
=
+
+
+
-
+
+
= -
+
+
<
ë
û
，
∴数列
na
满足
2
2
1
n
n
n
S
S
S
+
+
<
×
，即数列
n 是“方特数列”.
（2）当
1
q = 时，
1
n
S
na
=
，
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
·
2
1
0
n
n
n
S
S
S
na
n
a
n
a
a
+
+
×
-
=
+
-
+
= -
<
，满足条件；
当
1
q ¹ 时，
1 1
1
n
n
a
q
S
q
-
=
-
，
∵数列
1
1
n
a q -
是“方特数列”，
∴
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
0
1
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
S
q
q
q
a q
q
+
+
+
+
é
ù
×
-
=
-
-
-
-
= -
<
ê
ú
ë
û
-
，.
∴
0
n
q >
，∴
0
q >
且
1
q ¹ ，
综上所述，当数列
1
1
1
0
n
a q
a
-
¹
是“方特数列”时，q 的取值范围为
0,+ ¥ .
（3）当
1
q = 时，由（1）知满足条件，
当
0
q >
且
1
q ¹ 时，
1
2
1
,
1
2
3
n
n
n
n
a
nq
S
q
q
nq
-
-
=
= +
+
+
+
L
，
2
3
2
3
n
n
qS
q
q
q
nq
=
+
+
+
+
L
，
∴
2
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
q
nq
q
q S
q
q
q
nq
q
-
-
-
-
-
= +
+
+
+
-
=
-
L
，
∴
2
1
1
1
n
n
n
q
nq
q
S
q
-
-
-
=
-
，
2
2
1
n
n
n
S
S
S
+
+
×
-
=
2
2
2
1
1
4
1
1
1
2
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
q
nq
q
q
n
q
q
q
n
q
q
q
+
+
+
+
é
ù é
ù
é
ù
-
-
-
-
-
+
-
-
-
-
+
-
ë
û ë
û
ë
û
-
2
2
2
1
1
n
n
q
q
n
q
n
q
+
é
ù
-
+
+
+
ë
û
= -
-
，
设
2
2
1
n
g q
q
n
q
n
+
=
-
+
+
+ ，∴
( )
g q
¢
1
2
1
n
n
q +
=
+
-
，
当
1
q >
时，
( )
g q
¢
0, g q
>
单调递增；当0
1
q
<
< 时，
( )
g q
¢
0, g q
<
单调递减，∴
1
0
g q
g
>
=
，
∴
2
2
1
0
n
n
n
S
S
S
+
+
×
-
<
，
综上所述，当
0
q >
时，数列
1
n
nq -
是“方特数列”.
16．（24-25 高二下·江苏南京·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若存在常数(
0)
l l >
，使得
1
n
n
a
S
l
+
³
对任意
*
nÎN 都成立，则称数列
na
具有性质
( )
M l ．
(1)若数列
na
的通项公式
2
1
na
n
= -
+ ，求证：数列
na
具有性质
(3)
M
；
(2)设数列
na
的各项均为正数，且
na
具有性质
( )
M l ．
①若数列
na
是公比为q 的等比数列，且
4
l =
，求q 的值：
②求l 的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
2
q =
；②4
【详解】（1）因为
2
1
na
n
= -
+ ，所以
1
2(
1) 1
2
1
2
n
n
a
a
n
n
+ -
= -
+
+ +
- = - ，
所以数列
na
是以2
- 为公差，1
- 为首项的等差数列，
所以
2
( 1
2
1)
2
n
n
n
S
n
- -
+
=
= -
，
所以
2
2
1
3
3( 2
1)
(
1)
(
2)
0
n
n
a
S
n
n
n
+
-
=
-
+
+
+
=
-
³
，
即
1
3 n
n
a
S +
³
，所以数列
na
具有性质
(3)
M
；
（2）①由数列
na
具有性质
(4)
M
得
1
4
n
n
a
S +
³
，
又等比数列
na
的公比为q ，
若
1
q = ，则
1
1
4
(
1)
a
n
a
³
+
，
解得
3
n £
，与n 为任意正整数相矛盾，
当
1
q ¹ 时，
1
1
1
1
1
4
1
n
n
q
a q
a
q
+
-
-
³
-
，
而
0
na >
，整理得
1
1
1
4
1
n
n
q
q
q
+
-
-
³
-
，
若0
1
q
<
< ，则
1
2
1
(
2)
n
q
q
- ³
-
，
解得
2
1
1 log (
2)
q
n
q
< +
-
，与
*
nÎN 矛盾，
若
1
q >
，则
1
2
(
2)
1
n
q
q
-
-
£ ，
当
2
q =
时，
1
2
(
2)
1
n
q
q
-
-
£ 恒成立，满足题意，
当
1
q >
且
2
q ¹
时，
1
2
1
(
2)
n
q
q
- £
-
，
解得
2
1
1 log (
2)
q
n
q
< +
-
，与
*
nÎN 矛盾，
所以
2
q =
；
②由
1
n
n
a
S
l
+
³
，得
1
2
n
n
a
S
l
+
+
³
，
即
1
2
n
n
n
S
S
S
l
+
+
-
³
，因此
1
2
2
2
n
n
n
n
n
S
S
S
S S
l
l
l
+
+
+
³
+
³
，当且仅当
2
n
n
S
S
l
+
=
时取等号，
即
2
1
1
4
n
n
n
n
S
S
S
S
l
+
+
+
£
×
，则有
2
1
1
1
2
1
2
1
4
4
4
n
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
S
S
l
l
l
-
+
-
-
-
æ
ö
æ
ö
£
×
£
×
£
£
×
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
L
，
由数列
na
各项均为正数，
得
1
n
n
S
S +
<
，从而
1
2
1
1
4
n
S
S
l
-
æ
ö
< ç
÷
è
ø
，即
1
1
2
4
n
S
S
l
-
æ
ö
>
ç
÷
è
ø
，
若0
4
l
<
<
，则
1
2
4
1
log
S
n
S
l
< +
，与
*
nÎN 矛盾，
因此当
4
l ³
时，
1
1
1
2
1
4
n
n
S
S
l
-
-
æ
ö
³
>
ç
÷
è
ø
恒成立，符合题意，
所以l 的最小值为4．
17．（25-26 高三上·江苏·阶段练习）将项数
4
n… ，公比
1
q ¹ 的等比数列
na
中的项重新随机排列，得到新数列
nb
.若在数列
nb
中任意抽取连续三项，总有某一项为另外两项的等比中项，则称
nb
为“差续数列”.
(1)当
4
n =
时，写出所有“差续数列”
nb
（用
na
中的项表示）；
(2)若
1
1
2
3
,
b
a b
a
=
=
，证明：当
3
2
n
m m
=
…
时，必定存在“差续数列”
nb
；
(3)若
nb
是“差续数列”，证明：存在正整数k ，使得
1
k
k
b
q
b
+ =
或1
q .
【答案】(1)
1
2
3
4
4
3
2
1
4
2
3
1
1
3
2
4
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
a a a a a a a a a a a a a a a a
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）
1
2
3
4
4
3
2
1
4
2
3
1
1
3
2
4
;
;
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
,
,
a a a a a a a a a a a a a a a a .
（2）不妨设无穷数列
nc
满足：
3
2
3
2
3
1
3
3
3
1
,
,
k
k
k
k
k
k
c
a
c
a
c
a
k
+
-
-
-
-
=
=
=
ÎN
，
易知
2
2
2
3
1
3
3
1
3
3
1 3
2
3
2
3
3 3
1
,
,
k
k
k
k
k
k
k
k
k
c
c c
c
c
c
c
c
c
k
+
-
+
-
-
-
-
-
=
=
=
ÎN
，
所以
nc
的任意连续三项的某一项均为另外两项的等比中项，
此时，取
nc
的前n 项，即可得到“差续数列”
nb
，即证.
（3）若
nb
是“差续数列”，不妨设
ib 在
na
中对应
i
f b 项
1,2,
,
i
n
=
L
，
由题意知，
1
2
,
,
i
i
i
b b
b
+
+ 中某项为另外两项的等比中项
所以
1
2
,
,
i
i
i
f b
f b
f b
+
+
中某项为另外两项的等比中项.
记
1
i
i
i
d
f b
f b
+
=
-
，可得
1
1
2
i
i
d
d
+ =
或
1
i
i
d
d
+ =
或
1
2
i
i
d
d
+ =
不妨设d 为
1
2
1
,
,
,
n
d
d
d -
L
中的最小项，
则对于
1,2,
,
1,
,
2k
i
i
n
k
d
d
" =
-
$ Î
=
N
L
，
设
,
1,
1,2,
,
1, ,
1,2,
x
y
f b
j f b
j
j
n
x y
n
=
=
+
=
-
Î
L
L
，
则当y
x
>
时，
1
y
y
x
i
i x
f b
f b
d
-
=
=
+
，当y
x
<
时，
1
x
x
y
i
i y
f b
f b
d
-
=
=
+
，
即当y
x
>
时，
1
1
y
i
i x
d
-
=
=
，当y
x
<
时，
1
1
x
i
i y
d
-
=
=
，
由于
2k
id
d
=
，所以
0
|
|
2
1
m
i
i
i
d
x
=
=
.其中
0,1,2
,
ix
i
m
Î
=
Z
L
，
2m
d
为
1
2
1
,
,
,
n
d
d
d -
L
中的最大项.
所以
0
1
2
|
|
m
i
i
i
x
d
=
=
.左式显然为整数，而d 为正整数，故
1
d =
所以必然存在
1
1
k
k
f b
f b
+
-
= ± ，所以存在正整数
1
,
k
k
b
k
q
b
+ =
或1
q .
18．（25-26 高三上·北京·开学考试）已知n 为给定的正整数，
3
n ³
．数列
1
2
:
,
,
,
n
A a a
a
×××
，
1
2
:
,
,
,
n
B b b
b
×××
，若对于任
意的1
r
s
n
£
<
£
，
*
,r sÎN ，都有
0
r
s
r
s
a
a
b
b
-
-
<
，则称
,
A B 互为逆序数列．
(1)已知
:2,5,3
A
，分别判断下面数列是否为A 的逆序数列，并说明理由．
①
: 4,2,6
B
；②
:9,3,8
C
．
(2)若
10
n =
，数列A 为等差数列，其前k 项和为
kS ，
1,2,
,10
k =
×××
，
1
2
a =
．数列
1
2
10
:
,
,
,
S S S
S
×××
与数列A 互为逆序
数列，求数列A 的公差d 的取值范围；
(3)对于固定的正整数
3
n ³
，
1,2,3,
,
k
n
" =
×××
，总有
1,2,3,
,
ka
n
Î
×××
，
0,1,2,
,
kb
n
Î
×××
，且数列
,
A B 互为逆序数
列，求
1
n
k
k
k
a
b
=
-
的最大值．
【答案】(1)数列B 不是A 的逆序数列，数列C 是A 的逆序数列.
(2)
2
0
9
d
-
<
<
.
(3)
1
max
1
|
|
2
n
k
k
k
n n
a
b
=
+
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
【详解】（1）因为数列
: 4,2,6
B
，由
1
2
1
2
2
5
4
2
6
0
a
a
b
b
-
-
=
-
-
= - <
，
但
1
3
1
3
(2
3)(4
6)
2
0
a
a
b
b
-
-
=
-
-
=
>
，不满足条件；
数列
:9,3,8
C
，由
1
2
1
2
2
5
9
3
18
0
a
a
b
b
-
-
=
-
-
= -
<
，
1
3
1
3
(2
3)(9
8)
1
0
a
a
b
b
-
-
=
-
-
= - <
，
2
3
2
3)
5
3
3 8
10
0
a
a
b
b
-
-
=
-
-
= -
<
，
符合条件.
所以数列B 不是A 的逆序数列，数列C 是A 的逆序数列.
（2）由题意，数列A 的通项公式为
1
(
1)
2
(
1)
ka
a
k
d
k
d
=
+
-
=
+
-
，
前k 项和
kS 为
1
2
1
4
1
2
2
k
k
k
S
a
k
d
k
d
=
+
-
=
+
-
，
因为数列
1
2
10
:
,
,
,
S S S
S
×××
与数列A 互为逆序数列，
所以对于任意的1
10
r
s
£
<
£
，
(
)
0
r
s
r
s
a
a
S
S
-
-
<
，故
0
d ¹
，
若
0
d >
，则
1
2
10
2
a
a
a
<
< ×× <
=
×
，故
1
2
10
2
S
S
S
>
=
>
>
LL
，
故
0,
2
10
na
n
<
" £
£
，矛盾；
若
0
d <
，则
1
2
10
2
a
a
a
>
> ×× >
=
×
，故
1
2
10
2
S
S
S
<
=
<
<
LL
，
故
0,
2
10
na
n
>
" £
£
，故2
9
0
d
+
>
即
2
0
9
d
-
<
<
.
综上公差d 的取值范围为
2
0
9
d
-
<
<
.
（3）因为数列
,
A B 互为逆序数列，故r
s
¹
时，
r
s
a
a
¹
，
r
s
b
b
¹
必定成立，
故
1
2
:
,
,
,
n
A a a
a
×××
为1,2,3,
,n
L
的一个排列，
1
2
:
,
,
,
n
B b b
b
×××
，
其中
1
2
,
,
,
0,1,2,
,
n
b b
b
n
×××
Í
×××
，
设
ia
s
=
，
1
2
,
,
,
n
b b
b
w
×××
Ï
，则在
na
中有
1
s - 项比
ia 小，有n
s
-
项比
ia 大，
故在
nb
中
1
s - 项比
ib 大，有n
s
-
项比
ib 小，
故当
1
i
n
w
a
n
-
+ £
£
时，
i
i
b
n
a
=
-
，当1
ia
n
w
£
£
-
时，
1
i
i
b
n
a
=
+ -
，
故
1
1
1
|
|
| 2
1|
| 2
|
n
n w
n
k
k
k
k
k n w
a
b
k
n
k
n
-
=
=
= - +
-
=
-
-
+
-
，其中
0,1,2,
,
w
n
=
L
.
若n 为偶数，设
2
n
u
=
，则
2
2
1
1
2
1
|
|
| 2
2
1|
| 2
2 |
n
u w
u
k
k
k
k
k
u w
a
b
k
u
k
u
-
=
=
=
- +
-
=
-
-
+
-
.
当w
u
£
时，
2
2
2
1
1
1
2
1
|
|
2
1 2
2
2
1
2
2
2
n
u
u w
u
k
k
k
k
k u
k
u w
a
b
u
k
k
u
k
u
u
w
-
=
=
= +
=
- +
-
=
+ -
+
-
-
+
-
=
+
2
2u
u
£
+
;
当
1
w
u
³
+ 时，
2
2
1
1
2
1
1
|
|
2
1 2
2
2
2
2
n
u w
u
u
k
k
k
k
k
u w
k u
a
b
u
k
u
k
k
u
-
=
=
=
- +
= +
-
=
+ -
+
-
+
-
2
2
2
2
2
1
u
u
w
u
u
=
+
-
£
+
- .
故此时
2
1
max
1
|
|
2
2
2
n
k
k
k
n n
n
n
a
b
=
+
æ
ö
-
=
+
=
ç
÷
è
ø
.
若n 为奇数，设
2
1
n
u
=
- ，则
2
1
2
1
1
1
2
|
|
| 2
2 |
| 2
2
1|
n
u
w
u
k
k
k
k
k
u w
a
b
k
u
k
u
- -
-
=
=
=
-
-
=
-
+
-
+
.
当
2
w
u
£
-
时，
2
1
2
1
2
1
1
1
2
|
|
2
2
2
2
2
2
1
2
2
n
u
u
w
u
k
k
k
k
k u
k
u w
a
b
u
k
k
u
k
u
u
u
w
- -
-
=
=
= +
=
-
-
=
-
+
-
+
-
+
=
-
+
2
2
2
u
u
£
-
-
;
当
1
w
u
³
+ 时，
2
1
1
2
1
2
1
1
2
|
|
2
2
2
1 2
2
2
1
2
2
n
u
w
u
u
k
k
k
k
k
u w
k u
a
b
u
k
u
k
k
u
u
u
w
- -
-
-
=
=
=
-
=
-
=
-
+
- -
+
-
+
=
-
+
2
2
2
2
1
u
w
u
u
=
-
£
-
- .
当
1
w
u
=
- 时，
2
1
2
1
1
1
|
|
| 2
2 |
| 2
2
1|
2
1
n
u
u
k
k
k
k
k u
a
b
k
u
k
u
u
u
-
=
=
= +
-
=
-
+
-
+
=
-
-
；
当w
u
=
时，
1
2
1
2
1
1
|
|
| 2
2 |
| 2
2
1|
2
n
u
u
k
k
k
k
k u
a
b
k
u
k
u
u
u
-
-
=
=
=
-
=
-
+
-
+
=
-
；
故此时
1
max
1
|
|
2
n
k
k
k
n n
a
b
=
+
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
.
综上，
1
max
1
|
|
2
n
k
k
k
n n
a
b
=
+
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
.
1．（24-25 高二下·山西太原·阶段练习）在3
- 与15 之间插入5 个数，使这7 个数成等差数列，则插入的5 个数之
和为（ ）
A．21
B．24
C．27
D．30
【答案】D
【详解】设插入的5 个数依次为
1
2
3
4
5
,
,
,
,
a a a a a ，则数列
1
2
3
4
5
3,
,
,
,
,
,15
a a a a a
-
成等差数列，
因此
3
2
3 15
12
a = - +
=
，解得
3
6
a =
，
所以
1
2
3
4
5
3
5
30
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
=
=
.
故选：D
2．（24-25 高二下·湖北·期中）定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫作该
数列的一次“美好成长”.将数列1,4 进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4 ；第二次得到数列1,4,4,16,4；L，设第
n 次“美好成长”后得到的数列为
1
2
1,
,
,
,
,4
k
x x
x
×L
，记
4
1
2
log
1
4
n
k
a
x
x
x
=
×
×
×
×
×
L
，则下列说法错误的是（ ）
A．
2
5
a =
B．
2
1
n
k =
-
C．
1
2
1
n
n
a
a
+ =
+
D．数列
na
的通项公式为
3
1
2
n
na
+
=
【答案】C
【详解】对A 选项，根据题意可得：
5
2
4
4
log
1 4 4 16 4
log 4
5
a =
´ ´ ´
´
=
=
，\A 选项正确；
对B 选项，设每次插入项的个数构成数列
nb
，则
2
1
2
3
1,
2,
2 ,
b
b
b
=
=
=
L，
\数列
nb
是以首项为1，公比为2 的等比数列，
\数列
nb
的前n 项和即为k ，
1 2
2
1
1 2
n
n
k
-
=
=
-
-
，\B 选项正确；
对C 选项，
1
4
1
2
1
1
2
2
3
1
log
1
4
1
4
n
k
k
k
k
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
-
é
ù
=
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
ë
û
L
L
3
4
1
2
4
1
2
1
log
1
4
3log
1
4
1
3
1
4
k
k
n
x
x
x
x
x
x
a
é
ù
=
×
×
×
×
×
=
×
×
×
×
- =
-
ê
ú
ë
û
L
L
，\C 选项错误；
对D 选项，由B 选项分析可得
1
3
1
n
n
a
a
+ =
- ，又
1
4
log
1 4 4
2
a =
´ ´
=
，
1
1
1
3
2
2
n
n
a
a
+
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø ，又
1
1
1
3
2
2
2
2
a -
=
-
=
，
1
2
na
ì
ü
\
-
í
ý
î
þ是以首项为3
2 ，公比为3 的等比数列，
考点三
数列插项问题
1
1
3
1
3
3 ,
2
2
2
n
n
na
-
\
-
=
´
=
´
1 3
2
n
na
+
=
，\D 选项正确．
故选：C．
3．（24-25 高二下·河南南阳·期中）已知
3
1
na
n
=
- ，在数列
na
的每相邻两项
ka 与
1
1,2,
ka
k
+
=
L 之间插入
1
2k- 个
1，使它们和原数列的项构成一个新的数列
nb
，记新数列
nb
的前n 项和为
n
S ，则
100
S
= （ ）
A．150
B．151
C．170
D．171
【答案】C
【详解】解：由题意知
1
2
,
a a 之间插入1 个
2
3
1,
,
a a 之间插入2 个
3
4
1,
,
a a 之间插入4 个
4
5
1,
,
a a 之间插入8 个1，
5
6
,
a a 之间插入16 个
6
7
1,
,
a a 之间插入32 个
7
8
1,
,
a a 之间插入64 个1，
由于7 1 2
4
8 16
32
70
+ +
+
+ +
+
=
< 100,7 1
2
4
8 16
32
64
134
100
+ +
+
+ +
+
+
=
>
，
故数列
nb
的前100 项含有
na
的前7 项和93 个1，
故
100
7
2
20
93 1
170
2
S
´
+
=
+
´ =
．
故选：C
4．（2025·安徽·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数
记为
*
n nÎN
.扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的平均数.现对数列1，3 进行构造，第1 次得到数列1，2，
3；第2 次得到数列1，3
2 ，2，5
2 ，3；…依次构造，记第
*
n nÎN
次得到的数列的所有项之和为
nT ，则
8T =
（ ）
A．510
B．514
C．1022
D．1026
【答案】B
【详解】设第n 次构造后得的数列为1，
1
2
,
,
,
k
x x
x
L
，3，则
1
2
4
n
k
T
x
x
x
=
+
+
+
+
L
，
则第
1
n + 次构造后得到的数列为1，
1
1
2
x
+
，
1
x ，
1
2
2
x
x
+
，
2x ，…，
kx ，
3
2
kx +
，3，
于是
1
1
2
6
2
6
2
4
2
2
n
k
n
n
T
x
x
x
T
T
+ =
+
+
+
+
=
+
-
=
-
L
，
1
6
T =
，
显然
1
2
2
2
n
n
T
T
+ -
=
-
，而
1
2
6
2
4
T -
=
-
=
，
因此数列
2
n
T -
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，
则
1
2
4 2n
nT
-
-
=
´
，即
1
2
2
n
nT
+
=
+
，
所以
9
8
2
2
514
T =
+
=
.
故选：B
5．（24-25 高二下·广东佛山·阶段练习·多选）已知等差数列
na
的首项
1
16
a =
，公差
4
d = - ，在
na
中每相邻两项
之间都插入3 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列
nb
，
n
S 是数列
nb
的前n 项和.以下说法正
确的是（ ）
A．
17
nb
n
=
-
B．
29
b 是数列
na
的第8 项
C．当
17
n =
时，
n
S 最大
D．
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是公差为1
- 的等差数列
【答案】ABC
【详解】由等差数列
na
的首项
1
16
a =
，公差
4
d = - ，可得
20
4
na
n
=
-
，
对于A 中，根据题意，可得
1
16
b =
，
5
2
12
b
a
=
=
，所以公差为
12 16
1
5 1
d
-
¢ =
= -
-
，
所以数列
nb
的通项公式为
1
1
17
nb
b
n
d
n
¢
=
+
-
=
-
，所以A 正确；
对于B 中，由
29
12
b
= -
，令
20
4
12
na
n
=
-
= -
，解得
8
n = ，所以B 正确；
对于C 中，令
17
0
nb
n
=
-
³
，解得
17
n £
，
所以
16
n =
或
17
n =
时，
n
S 取得最大值，所以C 正确；
对于D 中，由
33
2
n
n
n
S
-
=
，可得
33
33
1
2
2
2
n
S
n
n
n
-
=
=
-
，
则
1
33
1
33
1
1
1
1
2
2
2
2
2
n
n
S
S
n
n
n
n
+
é
ù
æ
ö
-
=
-
+
-
-
= -
ç
÷
ê
ú
+
ë
û
è
ø
，
所以
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是公差为
1
2
-
的等差数列，所以D 错误.
故选：ABC.
6．（24-25 高二上·湖南·期末·多选）已知等差数列
na
的首项
1
2
a =
，公差
8
d =
，在
na
中每相邻两项之间都插入
k 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列
nb
，以下说法正确的有（ ）
A．
8
6
na
n
=
-
B．当
3
k =
时，
2
nb
n
=
C．当
3
k =
时，
29
b 是数列
na
中的项
D．若
9b 是数列
na
的项，则k 的值不可能为7
【答案】ABC
【详解】对于A，由题意得
2
8
1
8
6
na
n
n
=
+
-
=
-
，A 正确；
对于B，当
3
k =
时，数列
nb
的首项为2，公差为8
2
4 =
，故
2
2
1
2
nb
n
n
=
+
-
=
，B 正确；
对于C，由B 选项可知
29
58
b
=
，令8
6
58
n -
=
，解得
8
n = ，所以
29
b 是数列
na
的第8 项，C 正确；
对于D，插入k 个数，则
1
1
a
b
=
，
2
2
k
a
b +
=
，
3
2
3
k
a
b
+
=
，
4
3
4
k
a
b
+
=
，…，所以等差数列
na
中的项在等差数列
nb
中对应的项的序号是以1 为首项，
1
k + 为公差的等差数列，即
1
1
1
n
n
k
a
b +
-
+
=
，若
9b 是数列
na
的项，令
1
1
1
9
n
k
+
-
+
=
，当
7
k =
时，
2
n =
，D 错误.
故选：ABC.
7．（23-24 高三上·山东青岛·期末）某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，
形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2 进行构造，第1 次得到数列1，
3，2；第2 次得到数列1,4,3,5,2；...第n 次得到数列
1
2
3
1,
,
,
,
,
,2
k
x x
x
x
¼
；记
1
2
1
2
n
k
a
x
x
x
= +
+
+
+
+
L
，则
3a =
；
2024
2023
1
a
a
=
-
.
【答案】
42
3
-
【详解】
1
1
2
3
3
3
6
a = +
+
=
+
=
，
2
1
2
3
4
5
3
3
9
15
a = +
+ +
+
=
+ +
=
，
3
3
3
9
27
42
a =
+ + +
=
，依次类推，得到
1
1
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1 3
2
n
n
n
na
+
+
-
+
=
+ +
+
+
+
=
+
=
-
L
，
故
2025
2025
2024
2024
2024
2023
3
3
3
3
2
3
3
3
1
1 3
1
2
a
a
+
+
=
=
= -
+
-
- -
-
.
故答案为：42，-3
8．（24-25 高二下·安徽淮北·开学考试）习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加
快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学
生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派
遣20 名学生，以后每批都比上一批增加5 人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：
把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为
na
，在数列
na
的任意相邻两项
ka 与
1
1,2,
k
k
a +
=
L 之间插入
2k 个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列
nb
.按新数列
nb
的各项依次派遣支教学生.记
70
S 为派遣70 批学
生后支教学生的总数，则
71
S 的值为
.
【答案】390
【详解】Q数列
na
满足
5
15
na
n
=
+
，
1
2
3
4
5
6
20,
25,
30,
35,
40,
45
a
a
a
a
a
a
\
=
=
=
=
=
=
，
Q在任意相邻两项
ka 与
1
1,2,
k
k
a +
=
L 之间插入2k 个3，
\其中
1
2
,
a a 之间插入2 个
2
3
3,
,
a a 之间插入4 个
3
4
3,
,
a a 之间插入8 个
4
5
3,
,
a a 之间插入16 个3，
5
6
,
a a 之间插入32 个
6
7
3,
,
a a 之间插入64 个3,L.
又6
2
4
8 16
32
68
70,6
2
4
8 16
32
64
70
+
+
+ +
+
=
<
+
+
+ +
+
+
>
，
\数列
nb
的前71 项含有
na
前6 项和65 个3，
故
71
20
25
30
35
40
45
65 3
390
S
=
+
+
+
+
+
+
´ =
.
故答案为：390.
9．（2025·湖南常德·模拟预测）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，
1
2
4
n
n
a
S =
+
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)在
na 与
1
na + 之间插入n 个数，使这
2
n +
个数组成一个公差
n
d 为的等差数列，求数列
1
n
d
ì
ü
í
ý
î
þ
的前2025 项和.
【答案】(1)
1
1
1
2
n
na
-
=
´ -
；
(2) 1014
-
.
【详解】（1）
n
S 为数列
na
的前n 项和，
1
2
4
n
n
a
S =
+
，
1
n = 时，
1
1
1
1
2
4
a
a
S
=
=
+
，则
1
1
2
a =
，
2
n ³
时，由
1
2
4
n
n
a
S =
+
，得
1
1
1
2
4
n
n
a
S
-
- =
+
，
两式相减可得
1
1
2
2
n
n
n
n
n
a
a
a
S
S
-
-
=
-
=
-
，即
1
n
n
a
a -
= -
，
数列
na
是首项为
1
2 ，公比为1
- 的等比数列，则
1
1
1
2
n
na
-
=
´ -
；
（2）由题设
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
a
d
n
n
n
-
+
é
ù
-
- -
-
-
ë
û
=
=
=
+
+
+
，可得
1
1
1
n
n
n
d = -
+
，
记
1
n
d
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
nT ，因为
2
1
2
1
1
2
2
1
1
k
k
k
k
d
d
-
+
= -
+
+
= ，k 为正整数，
则
2024
202
2025
5
1
1012
2026
1014
T
T
d
=
+
=
-
= -
.
10．（2025·安徽芜湖·二模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
a =
，
*
1
2
n
n
a
S
n
+ =
+
ÎN
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)保持
na
的各项顺序不变，在
ka 和
1
ka + 之间插入k 个1，使它们与数列
na
的项组成一个新的数列
nb
，记
nb
的前n 项和为
nT ，求
55
T .
【答案】(1)
2n
na =
(2) 2091
【详解】（1）由
*
1
2
n
n
a
S
n
+ =
+
ÎN
，得
1
2
2
n
n
a
S
n
-
=
+
³
，
则
1
2
n
n
n
a
a
a
n
+ -
=
³
，即
1
2
2
n
n
a
a
n
+ =
³
，
又
2
1
1
2
2
4
a
S
a
=
+
=
+
= ，满足
1
2
n
n
a
a
+ =
，所以
*
1
2
n
n
a
a
n
+ =
ÎN
，
所以
na
是首项是2 ，公比为2 的等比数列，故
2n
na =
；
（2）由题知
1
2
2n
n
n n
b
a
+
=
=
，数列
nb
的其余项为1，
则
55
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
(
)
45 1
T
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
´
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(
)
45
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
10
10
2
1
2
45
45
2091
1
2
S
´
-
=
+
=
+
=
-
.
11．（24-25 高二下·广东广州·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
2
a =
且
1
2
n
n
a
S
+ =
+
．
(1)求
2a ，及数列
na
的通项公式；
(2)在
na 与
1
na + 之间插入n 个数，使这
2
n +
个数组成一个公差为
n
d 的等差数列，
①设
1
2
3
1
1
1
1
n
n
T
d
d
d
d
=
+
+
+×××+
（
*
nÎN ），求
nT ；
②若
*
n
" ÎN 都有不等式
5
n
n
d
l
£
+ 成立，求l 的取值范围．
【答案】(1)
2
4
a =
，
2n
na =
(2)①
3
3
2
n
n
n
T
+
=
-
；②
1
8
l ³
【详解】（1）由
1
2
a =
得
2
1
2
4
a
S
=
+
=
，
1
2
n
n
a
S
+ =
+
，
2
n ³
时，
1
2
n
n
a
S -
=
+
，两式相减得
1
n
n
n
a
a
a
+ -
=
，
即
1
2
n
n
a
a
+ =
，又
2
1
4
2
a
a
=
=
，所以数列
na
为公比为2 的等比数列，
所以
1
2 2
2
n
n
na
-
=
´
=
；
（2）①由（1）得
2n
na =
，
1
2 2n
na + =
´
，
在
na 与
1
na + 之间插入n 个数，使这
2
n +
个数组成一个公差为
n
d 的等差数列，则
1
2 1
n
n
n
a
a
n
d
+ =
+
+
-
，即
1
2
2
1
n
n
n
n
d
+ =
+
+
，则
2
1
n
n
d
n
=
+
，所以
1
1
2n
n
n
d
+
=
，
则
2
3
2
3
4
1
2
2
2
2
n
n
n
T
+
=
+
+
+
+
L
，
2
3
4
1
1
2
3
4
1
2
2
2
2
2
n
n
n
T
+
+
=
+
+
+
+
L
，
两式相减可得
2
3
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
T
T
T
+
+
-
=
= +
+
+
+
+
-
L
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
2
n
n
n
-
+
æ
ö
-
ç
÷
+
è
ø
= +
-
-
1
3
3
2
2n
n
+
+
=
-
，所以
3
3
2
n
n
n
T
+
=
-
；
②因为
*
n
" ÎN 都有不等式
5
n
n
d
l
£
+ 成立，
所以
2
1
5
5
4
5
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
f n
d
l
+
-
-
-
-
³
=
=
=
恒成立，
2
1
1
1
6
2
2n
f n
f n
n
n
+
+
-
=
-
+
+
，
当
6
n £
时，
1
f n
f n
+
>
，即
7
6
5
1
f
f
f
f
>
>
> ××× >
，
当
7
n ³
时，
1
f n
f n
+
<
，即
7
8
f
f
f n
>
> ××× >
> ×××，
所以
max
1
7
8
f
n
f
=
=
，所以
1
8
l ³
.
12．（24-25 高二下·四川绵阳·期末）已知正项数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
2
1
n
n
n
S
a
a
=
+
，数列
nb
为公比
大于0 的等比数列，且
2
3
b
a
=
，
4
27
b
a
=
．
(1)求
,
n
n
a
b ；
(2)若在
na 与
1
na + 之间插入
nb 个1，由此构成一个新的数列
n
d
，求
127
d
的值．
【答案】(1)
na
n
=
，
1
3n
nb
-
=
；
(2)
127
6
d
=
．
【详解】（1）当
1
n = 时，且
0
na >
，解得
1
1
a = ，
当
2
n ³
时，
1
1
1
2
1
n
n
n
S
a
a
-
-
-
=
+
，
∴
1
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
S
S
a
a
a
a
-
-
-
+
-
-
=
+
，
即
2
2
1
1
2
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
-
-
=
+
-
-
，则
1
1
0
1
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
+
-
-
=
，
∵
0
na >
，则
1
0
n
n
a
a - >
+
，所以
1
1
2
n
n
a
a
n
-
-
=
³
，
∴
na
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，所以
na
n
=
，
设数列
nb
的公比为
0
q q >
，则
2
3
4
27
3,
27
b
a
b
a
=
=
=
=
，
即
2
1
3
4
1
3
27
b
b q
b
b q
=
=
ì
í
=
=
î
，解得：
1
1,
3
b
q
=
=
，所以
1
3n
nb
-
=
；
（2）根据题意，在
na 与
1
na + 之间插入
nb 个1，
即在1 和2 之间插入
1
1
b = 个1；在2 和3 之间插入
2
3
b = 个1；
在3 和4 之间插入
3
9
b =
个1；在4 和5 之间插入
4
27
b =
个1；
在5 和6 之间插入
5
81
b =
个1，
到6 时，恰好有
6
1 3
9
27
81
127
+
+ +
+
+
=
项，故
127
6
d
=
．
13．（24-25 高二下·天津·期末）已知等差数列
na
满足
2
1
4
5
2
9
a
a
a
a
=
+
=
，
．已知数列
nb
的前n 项和为
n
S ，且满
足
*
2
2
N
n
n
S
b
n
=
-
Î
．
(1)求数列
na
，
nb
的通项公式；
(2)设
1
1
3
1
1
1
n
n
n
n
n
n
a
c
a
a
b
+
+
-
= -
+
，求
nc
的前2n 项和
2n
T
(3)设
1
n
n
d
b
=
，在
1d 和
2
d 之间插入1 个数
11
x ，使
1d ，
11
x ，
2
d 成等差数列；在
2
d 和
3
d 之间插入2 个数
21
22
x
x
，
，使
2
21
22
3
d
x
x
d
，
，
，
成等差数列；以此类推，在
n
d 和
1
n
d + 之间插入n 个数
1
2
n
n
nn
x
x
x
×××
，
，，
使（
1
2
1
n
n
n
nn
n
d
x
x
x
d +
×××
，
，
，，
，
成等差数列，若
1
11
2
21
22
3
1
n
n
n
nn
P
d
x
d
x
x
d
d
x
x
=
+
+
+
+
+
+¼+
+
+¼+
，求
nP ．
【答案】(1)
*
N
na
n n
=
Î
，
*
2
N
n
nb
n
=
Î
(2)
2n
T
2
1
1
1
2
1 2
2
n
n
+
=
-
+
×
(3)
2
5
3
10
2
2
n
n
n
P
+
+
=
-
【详解】（1）设等差数列
na
的公差为d（
0
d ¹
），
由题意
1
1
1
2
2
7
9
a
d
a
a
d
+
=
ì
í
+
=
î
，可得
1
1
a
d
=
= ，
故数列
na
的通项公式
*
N
na
n n
=
Î
，
当
1
n = 时，
1
1
1
2
2
S
b
b
=
-
=
，解得
1
2
b =
．当
2
n ³
时，
1
1
2
2
n
n
S
b
-
-
=
-
，
所以
1
1
2
2
n
n
n
n
n
S
S
b
b
b
-
-
-
=
-
=
，即
1
2
n
n
b
b -
=
，
而
1
2
0
b =
¹
，故
0
nb ¹
，故
1
2
2
n
n
b
n
b -
=
³
，
，
∴数列
nb
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
所以
*
2
N
n
nb
n
=
Î
．
（2）
1
1
1
1
3
1
3
2
1
1
1
1
1
1
1 2
2
1 2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
n
c
a
a
b
n n
n
n
+
+
+
+
é
ù
-
+
= -
= -
= -
+
ê
ú
+
+
×
+
×
ê
ú
ë
û
所以
2
1
2
3
2
n
n
T
c
c
c
c
=
+
+
+
+
L
1
2
2
3
3
4
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 2
2 2
2 2
3 2
3 2
4 2
2
2
2
1 2
n
n
n
n
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= -
+
+
+
-
-
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
´
´
´
´
´
´
×
+
×
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
2
1
1
1
2
1 2
2
n
n
+
=
-
+
×
；
（3）因为
1
1
2
n
n
n
d
b
=
=
，设
11
21
22
1
,
n
n
nn
M
x
x
x
x
x
=
+
+
+
+
+
+
L
L
则
1
2
2
3
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
M
d
d
d
d
d
d +
=
+
+
+
+
+
+
L
1
2
3
1
1
3
5
2
1
2
n
n
d
d
d
n
d
nd +
é
ù
=
+
+
+
+
-
+
ë
û
L
2
3
1
1 1
3
5
2
1
2 2
2
2
2
2
n
n
n
n
+
-
æ
ö
=
+
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
L
设
2
3
1
3
5
2
1
2
2
2
2n
n
A
-
=
+
+
+
+
L
，所以
2
3
4
1
1
1
3
5
2
1
2
2
2
2
2n
n
A
+
-
=
+
+
+
+
L
两式相减得
2
3
4
1
1
2
3
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
A
+
-
+
-
-
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
+
+
-
=
+
+
+
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
L
L
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
3
2
3
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
-
-
+
+
+
é
ù
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
-
-
+
ê
ú
æ
ö
ë
û
=
+
-
=
+ -
-
=
-
ç
÷
è
ø
-
，
所以
1
2
1
1
3
3
6
2
2 2
2
2
n
n
n
n
n
M
A
+
+
+
=
+
×
=
-
，
设
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
N
d
d
æ
ö
-
ç
÷
æ
ö
è
ø
=
+
+
=
+
+
+
=
= -
ç
÷
è
ø
-
L
L
，
所以
2
5
3
10
2
2
n
n
n
n
n
P
M
N
+
+
=
+
=
-
.
14．（24-25 高二下·山西吕梁·期中）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩
充的次数记为(
)
n nÎN ，n 次扩充后的新数列记为
na
，项数记为
nP ，所有项的和记为
n
S ．扩充规则为每相邻两项
之间插入这两项的和，如：数列
0
{ , , }
a
a b c
=
经过一次扩充后得到数列
1
{ ,
, ,
, }
a
a a
b b b
c c
=
+
+
，
1
1
5,
2
3
2
P
S
a
b
c
=
=
+
+
．已知数列
0
{ 2,1,2}
a
= -
．
(1)求
3
3
,
P S ；
(2)求
,
n
n
P S ；
(3)求数列
3
log
n
n
P
S
的前n 项和
nT ．
【答案】(1)
3
3
17,
27
P
S
=
=
(2)
1
2
1
n
nP
+
=
+ ；
3n
n
S =
(3)
2
1
1 2
4
2
n
n
n
n
T
n
+
+
-
+
=
+
+
【详解】（1）由
0
{ 2,1,2}
a
= -
可得
1
2, 1,1,3,2
a
= -
-
，因此
1
1
5,
3
P
S
=
=
；
则
2
2, 3, 1,0,1,4,3,5,2
a
= -
-
-
，因此
2
2
9,
9
P
S
=
=
；
则
2
2, 3, 1,0,1,4,3,5,2
a
= -
-
-
，因此
3
3
17,
27
P
S
=
=
；
（2）因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项，
所以经第
1
n + 次扩充后增加的项数为
1
nP - ，
因此
1
1
2
1
n
n
n
n
P
P
P
P
+ =
+
- =
- ，所以
1
1
2
1
n
n
P
P
+ - =
-
，
因为
1
5
P =
，所以可得数列
1
nP -
是以4 为首项，公比为2 的等比数列，
所以
1
1
1
4 2
2
n
n
nP
-
+
- =
´
=
，即
1
2
1
n
nP
+
=
+ ；
设经过第n 次扩充后数列的各项为
1
2
3
2,
,
,
,
,2
t
a a a
a
-
×××
，
则
1
2
3
2
2
n
t
S
a
a
a
a
= - +
+
+
+×××+
+
，因为扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，
所以
1
1
1
1
2
2
2
3
3
2
2
2
2
n
t
t
S
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+ = - +
+
+
+
+
+
+
+
+
+×××+
+
+
+
1
2
3
2 2
3
3
3
3
2 2
t
a
a
a
a
= - ´ +
+
+
+×××+
+ ´ ；
可得
1
3
2
2
3
n
n
n
S
S
S
+ =
- - +
=
，
又
1
3
S =
，因此
n
S
是以首项为3，公比为3 的等比数列，故可得
3n
n
S =
.
（3）由（2）可知
1
1
3
3
log
2
1 log 3
2
1
n
n
n
n
n
P
S
n
+
+
=
=
+
+
，
所以可得
2
3
1
2
2
2
1
2
1
2
3
n
n
n
n
T
+
+
+×××
+
=
´
+ ´
+
+
´
+×××+
2
3
1
1
2
2
2
2
1
2
n
n n
n
+
+
=
+
+×××
+
´
+
´
´
；
令
2
3
1
2
2
1
2
2
n
M
n
+
=
+
+ ×+
×
´
××
´
，则
3
4
2
2
1 2
2
2
2
n
M
n
+
=
+
+× ×+
×
´
´
×
；
两式相减可得
2
2
3
1
2
2
2
2
1 2
2
2
2
2
2
1
2
4
1 2
n
n
n
n
n
M
n
n
n
+
+
+
+
-
-
=
+
+×××+
- ×
=
- ×
=
-
-
-
；
所以可得
2
1 2
4
n
M
n
+
=
-
+
；
即
2
1
1 2
4
2
n
n
n
n
T
n
+
+
-
+
=
+
+
.
