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重难点10 数列构造与递推分析法
内容导航
速度提升
技巧掌握
手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：高考数学对数列通项公式与递推公式的考查，以等差数列与等比数列定义概念为基础 保持稳定
且灵活应用的特点，，既是基础考点也是拉分考点，常与数列求和、不等式恒成立、函数单调性等结合考
查综合能力。 重基础、强变形、考综合、避偏难。 对于大部分同学要求基础考点不丢分，而通过核心
变形拉开差距。如累加法、累乘法、an与Sn的关系为必拿分考点，而构造法为拉分考点，要求学生具有
“观察递推式特征→选择合适变形方法” 的逻辑思维，而非死记公式。
预测2026 年：结合近 3 年考查规律, 2026 年高考, 选择题 、填空题多为单一考点的直接应用型考察，
如考察累加法、累乘法等求通项，稍微难点的会考察构造简单等比 、等差数列，或周期数列的通项与项
的求解，难度中等，主要考查公式记忆与基础变形能力。基础解答题，核心考点不变，累加法、累乘法、
an与Sn的关系、构造等比、等差数列仍为必考，占比较高。 如果位于压轴题位置，则高考对数列通项与
递推公式的考查重基础、强变形、考综合，只要掌握核心变形方法并注重细节，就能轻松突破这一考点。
。
考向01 递推基础1：累加法
累加法：
1. 型如：
的数列的递推公式，采用累加法求通项；
利用累加法求通项：
数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。
1.“等差”累加法:
2.“等比”累加法:
3.“裂项”累加法:
4.无理根式裂项累加法:
1．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
满足
，
，若对
，
，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高二上·浙江嘉兴·期末）已知各项均不为零的数列
满足
，对于任意的正整数
，
，则
的个位数字为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
满足：
，若
，则数列
的最大项为第（ ）项.
A．6
B．7
C．8
D．9
4．（25-26·山东·月考）在正项数列
中，对任意
，
，
，若
为单调递增数列，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向02 递推基础2：累积法
累乘法：
形如：
的数列的递推公式，采用累乘法求通项；
利用累乘法求通项：
累积法主要有“分式型”和“指数型”。
分式型：
指数型：
5．（25-26·贵州黔东南·期末）在数列
中，
，
，若
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．（-1,1）
C．
D．
6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知
为数列
的前
项和，若
，则
等
于（ ）
A．2026
B．2025
C．0
D．1013
7．（2025·江西·模拟预测）已知数列
满足：
，
，令
，数列
的前
项和
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022·全国·模拟预测）已知
是数列
的前
项和，
是数列
的前
项积，
，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向03 递推基础3：再写一个作差
数列前n 项和：
an＝
求通项时，要注意检验n=1 时是否成立
9．（24-25 全国模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且
．若
对任意的
正整数
恒成立，则实数
的最小值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
10．（2025·河北沧州·一模）记
为数列
的前
项和，
，数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．0
B．40
C．80
D．120
11．（25-26 高三上·重庆·期中）已知数列
的前
项和为
，且满足条件
，若
对
恒成立，则整数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（25-26 高二上·甘肃兰州·期中）已知数列
满足
，设
，
为数列
的前
项和.若
对任意
恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
考向04 递推基础4：消an 留sn
利用
，可以把式子中的an 转化为sn 形式，然后研究关于sn 形式的递推公式
13．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2025·江西·模拟预测）设数列
的前
项和为
，已知
，则
（ ）
A．2024
B．2025
C．
D．
15．（2024·福建·模拟预测）设数列
的前
项和为
，若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2024·四川攀枝花·三模）数列
的前
项和为
，
，
，设
，则数列
的前51 项之和为（ ）
A．
B．
C．49
D．149
考向05 递推构造1：构造二阶等比型
构造法：根据已知构造等差等比数列求通项.
形容
为常数）,构造等比数列
。特殊情况下，当q 为2
时，
=p，
，变形为
，也可以变形为
.
1．（24-25 高二下·湖北·期中）数列
中，
，
，则通项
．
2．（24-25 全国模拟预测）数列
的首项
，
，令
，则
．
3．（24-25 高三上·重庆·月考）在数列
中，
，若对于任意的
恒成立，则实数k 的最小值为 .
4．（23-24 高二上·广东深圳·期末）已知数
满足
，则数列
的通项公式
．
考向06 递推构造2：构造二阶线性型
二阶f（n）型构造法有两种方法：
1.形如
为常数）,构造等比数列
。
2.形如
，变形为
，新数列累加法即可
5．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
中，
，则数列
的通项公
式
．
6．（25-26 高二上·甘肃平凉·月考）已知
，当
时，
，则
的通项公式为
7．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，且
，
，则数列
的
通项公式为
.
8．（23-24 全国模拟预测）已知数列
，其中
，满足
，设
为数列
的
前n 项和，当不等式
成立时，正整数n 的最小值为 .
考向07 递推构造3：构造二阶幂指型
二阶f（n）指数型构造等比型：核心思维是同除
.形如
，变形为
，新数列累加法即可
9．（2025 高三·全国·专题练习）在数列
中，
且
，则数列
的通项公
式为 ．
10．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2 数列
的前
项和为
，且
．若
，则
的最小值为 ．
11．（2023 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，则数列
的通项公式为
.
12．（25-26 高三全国专题练习）数列{an}满足
，
，则数列{an}的通项公式为
.
考向08 递推构造4：构造分式型
形如
，可以取倒数变形为
13．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
满足
，若
，则数列
的通项公式
；若
，则数列
的通项公式
．
14．（24-25 高二下·河南南阳·期中）已知数列
中，
，且
，则
．
15．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
满足：
，且
，则数列
的通项公式是
16．（24-25 高二上·全国·课后作业）已知数列
的前
项和为
，若
，且
，则
．
考向09 递推进阶构造1：特征方程三阶型
三阶数列特征方程型：
形如
，可以通过凑配系数构等比数列。
也可以通过特征方程求解
1．（2021·四川绵阳·三模）已知数列
的前
项和为
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
中，
，
，
，求
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二下·河南信阳·期末）数列
满足
，已知
，则
的前19 项
和
（ ）
A．0
B．8
C．10
D．19
4．（2025 高二上·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，
，则
的通项公
式为 .
考向10 递推进阶构造2：特征方程分式型
特征方程构造型：
形如
的递推数列，
方程的根，可以分两种情况：
（1）、若其中有一个不动点x0，则
是等差数列
（2）、若其中有两个不动点m，n，则
是等比数列
5．（多选）（2025·山东潍坊·一模）设函数
，数列
满足
，
，则（ ）
A．
B．
为定值
C．数列
为等比数列
D．
6．（专题12 用“不动点法”求数列的通项公式）已知数列
满足
，
，则
.
7．（24-25 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，则
.
8．（2022 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，
，则
.
考向11 递推进阶构造3：三阶递推周期型
周期数列
1.若数列{a
n}满足
2.若数列{a
n}满足
3.若数列{a
n}满足
4.若数列{a
n}满足
5.若数列{an}满足
6.
9．（24-25 高三上·浙江·月考）数列
满足
，则下列
，
的值能使数列
为周期数
列的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
10．（24-25 高二下·四川成都·期中）数列
满足：
，若
，
，则
（ ）
A．1
B．－1
C．5
D．－5
11．（24-25 高三全国专题练习）已知数列
中，
，
，
，则
（ ）
A．4
B．2
C．
D．
12．（2025·全国·模拟预测）若数列
满足
，则
一定等于（ ）
A．
B．
C．
D．
考向12 递推进阶构造4：三阶构造等差型
13．（25-26 高三全国专题练习）设数列
满足
，且
.若
表示不超过
的
最大整数，则
A．
B．
C．
D．
14．（25-26 高二上·福建厦门·期末）设数列
满足
，若
表示大于
的
最小整数，如
，
，记
，则数列
的前2026 项和为（
）
A．
B．
C．
D．
15．（2024 高二·全国·专题练习）已知数列
中，
，
，
（
且
），则数列
的最大项是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（25-26 高三上·云南德宏·期末）已知函数
的定义域为
，
，且
，
则
.
考向13 分析构造法1：线性“和”型
形如
求通项，则可以通过再写一个做差，构造出奇（偶）数项各自独立的数列递推（多
为等差等比）求通项公式
1.“和”常数型：
，则数列奇数项与偶数项各自是常数数列
2.“和”等差型：
则再写一个做差，数列奇数项与偶数项各自是等差数列
3.“和”二次型：
，
则可以则再写一个做差，化归为前边”和“等差数列形式
4.“和”换元型：同构换元，化归为常见的形式
1．（24-25 高三上·河南南阳·月考）数列
满足
，
，若数列
的前
项
的和为
，则
的
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
2．（2023·四川·模拟预测）在数列
中，
，
，则
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（22-23 高二下·江西上饶·期末）已知数列
满足
，
，则下列结论中正确的
是（ ）
A．
B．
为等比数列
C．
D．
4．（23-24 高二下·辽宁大连·月考）已知数列
满足
，
，
是数列
的前n 项和，则
（ ）
A．510
B．508
C．1013
D．1011
考向14 分析构造法2：正负“调和”构造
满足
，称为正负“调和”型，可以借助奇偶讨论，整体求和来构造
5．（25-26 高二上·福建厦门·月考）在数列
中，
，
.记
是数列
的前
项
和，则
（ ）
A．1325
B．1300
C．1350
D．1375
6．（25-26 高三上·河南周口·期中）已知数列
的前n 项和为
，
，则下列结论中
错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
7．（22-23 高三下·湖南长沙·月考）已知数列
满足：
.则
的前60 项的
和为（ ）
A．1240
B．1830
C．2520
D．2760
8．（24-25 高二上·江苏苏州·期末）已知数列{an}满足
,且其前62 项的和为
1885，则
．
考向15 分析构造法3：分段“跳项”
分段型递推公式，主要是讨论型：
1.分段数列
2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列。
9．（23-24 全国模拟预测）已知数列
满足
，
，则该数列的前22
项和为（ ）
A．69
B．88
C．89
D．96
10．（2023·吉林长春·一模）已知数列
，
，
，且
，则数列
的前30 项
之和为（ ）
A．15
B．30
C．60
D．120
11．（23-24 高二上·山东烟台·期末）已知数列
的各项均为正整数，
，若
，则
的所有可能取值组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025 高三·全国·专题练习）已知数列
满足
，且
，
，则数列
的
通项公式为
.
冲刺练
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．（25-26 高二上·重庆·期末）若数列
的首项为1，且
，设
，则数列
的前
20 项和
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·内蒙古呼和浩特·期末）已知首项为3 的数列
的前n 项和为
，若
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．－2
3．（25-26 河北模拟预测）记数列
的前
项和
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 全国专题练习）已知一个各项非零的数列
满足
且
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 全国模拟预测）已知数列
满足
，
，若
，都有
，其中,
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高二上·福建泉州·期末）已知数列
中，
，且
，
，数列
的
前
项和为
，
表示不超过
的最大整数，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 贵州模拟预测）在数列
中，
，
，若
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．（-1,1）
C．
D．
8．（25-26 高三全国专题练习）已知数列
的前
项和
，若实数
满足
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（25-26 福建模拟预测）记
为数列
的前
项和，且
，
，则（ ）
A．
B．
为等比数列
C．数列
单调递减
D．
10．（25-26 高二上·宁夏吴忠·期末）已知数列
满足
，设数列
的前
项和为
，则（ ）
A．
B．
C．数列
是等比数列
D．
11．（湖北省随州市2025-2026 学年高二上学期期末数学试题）已知数列
的前
项和为
，
，且
，则下列说法正确的有（ ）
A．数列
为常数列
B．数列
为等比数列
C．记数列
的前
项和为
，则
D．记数列
的前
项和为
，则
的最小值为
三、填空题
12．（25-26 全国 模拟预测）已知数列
的前
项和
，若不等式
，
对
恒成立，则实数
的范围为 .
13．（25-26 高三上·山东东营·期末）记数列
的前
项和为
，已知
，
（
），
则
.
14．（25-26 广东模拟预测）设数列
的前n 项和为
，
，且对任意的
都有
．若存在
，使得
，则实数
等于 ．
结束
