微专题17 衍生数列问题
衍生数列是指由已知数列通过插项、去项得到新数列,或
由已知的两个数列的公共项得到新数列,解决此类问题要弄清
楚衍生数列与已知数列的关系,确定衍生数列的特征,以此来解
决问题.
二．典型例题
1. 数列中的去项问题
例1 (2025·苏州模拟)已知数列{an}的各项均为正数,a2>a1,记Sn
为{an}的前n 项和.
(1)已知a2=2a1,数列{
Sn
an}是等差数列,证明:{an}是等差数列;
(2)若a1=1,在(1)的条件下,将在数列{a2n}中,但不在数列{2
an}
中的项从小到大依次排列构成数列{bn},求数列{bn}的前20 项
和.
训练1 已知正项数列{an}和{bn},Sn为数列{an}的前n 项和,且满
足4Sn=an
2+2an,an=2log2bn.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)将数列{an}中与数列{bn}相同的项剔除后,按从小到大的顺序
构成数列{cn},记数列{cn}的前n 项和为Tn,求T100.
2. 数列中的公共项问题
例2 (2025·成都诊断)已知数列{an}的前n 项和Sn满足3n2-
29n-2Sn=0.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知数列{bn}的通项公式bn=2n,若由数列{an}与{bn}的公共
项按从小到大排列得到数列{cn},求数列{cn}的前n 项和Tn.
规律方法 两个等差数列的公共项是等差数列,且公差是两等
差数列公差的最小公倍数;两个等比数列的公共项是等比数列,
公比是两个等比数列公比的最小公倍数;等差数列与等比数列
的公共项所构成的新数列,一般仍为等比数列.
训练2 (2025·宜昌调研)已知等差数列{an}的前n 项和为Sn,满足
S5=a7,a3=-2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)将数列{an}与{5-3n}的公共项从大到小排列得到数列{bn},求
数列{bn}的前n 项和为Tn.
3. 数列中的并项问题
例3 已知等比数列{an}为递增数列,其前n 项和为Sn,满足
S2=6,S4=30.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记bn=2n-1,将数列{an}与{bn}中的项按从小到大的顺序依次
排列,构成一个新数列{cn},求数列{cn}的前50 项和T50.
训练3 已知等比数列{an}的前n 项和为Sn,公比q>0,S2=2a2-
2,S3=a4-2,数列{bn}满足
2bn=bn-1+bn+1,且a2=4b1,a3=b8.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)将{an}和{bn}中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列
{cn},求数列{cn}的前100 项和T100.
4. 数列中的插项问题
例4 (2025·嘉兴调研)已知等比数列{an}的前n 项和为
Sn,an+1=2Sn+3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在数列{an}的相邻项ak与ak+1(k∈N*)之间插入k 个相同的数
(-1)k,使其与原数列构成新数列{bn},设Tn为数列{bn}的前n 项
和,求T40.
训练4 (2025·长沙模拟)已知等比数列{an}的前n 项和为Sn,且
an+1=2Sn+2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在an与an+1之间插入n 个数,使这n+2 个数组成一个公差为
dn的等差数列,在数列{dn}中是否存在不同的3 项dm,dk,dp(其中
m,k,p 成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的3 项,若不
存在,请说明理由.
【精准强化练】
1.(2025·青岛质检)记等差数列{an}的前n 项和为Sn,已知
S5=15,a2=2,等比数列{bn}满足a1+a3=b2,2a4=b3.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)将数列{an}中与{bn}的相同项去掉,剩下的项依次构成新数列
{cn},求
2n
∑
i=1
ci(n∈N*).
2.(2025·贵阳调研)已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+1
2
-2Sn=n+1,Sn是数列{an}的前n 项和.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在ak和ak+1(k∈N*)中插入k 个相同的数2k构成一个新数列
{bn}:a1,2,a2,22,22,a3,23,23,23,a4,…,求{bn}的前90 项和T90.
