文档文本内容
难点专题07 新定义综合
（含数列、函数、集合等新定义）
（40 题难题）（10 单选10 多选10 填空10 大题）
一、数列新定义问题
1. 考查对新定义的理解程度。
2. 考查满足新定义的数列在具体条件下的简单应用，往往需要在新环境下结合数列的新性质，探究其原有
性质。
3. 考查综合分析能力，重点在于将新性质有机融合到“旧”性质中，创造性地证明或推导出更深层的结论。
应对这类问题的关键，是耐心分析定义，并依据定义将其转化为已掌握的数列知识，这一转化思想需熟练
掌握。
二、函数新定义问题
涉及函数新定义的问题，需先准确理解新定义，梳理其中的数量关系，联想相关的数学知识和方法，通过
构造函数，将问题转化为相应的函数模型进行分析和求解。
一般解题思路包括：
1. 分析新定义的构成要素，理解各要素的含义；
2. 根据已知条件，明确所求问题，并将其转化为数学语言；
3. 将条件代入新定义的各要素中；
4. 结合数学知识进行推理与计算。
三、集合新定义问题
求解以集合为背景的新定义问题，可遵循以下策略：
1. 紧扣新定义，理解其本质，并将它应用于解题过程；
2. 灵活运用集合的性质，从题目中挖掘可用于解题的集合特征；
3. 涉及交叉集合元素个数等问题时，可借助维恩图等直观工具；
4. 在推理过程中严格依据定义及相关定理，运用转化与化归思想，将陌生或复杂的问题转化为熟悉或简单
的形式。
总体而言，新定义类题型既考查数学阅读、推理与抽象能力，也考验学生的知识迁移与综合运用水平。
在备考过程中，应重视定义的理解与转化，加强各类情境下的思维训练，从而提升应对此类高难度试题的
能力。
一、单选题
1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知数列
是公比为2 的等比数列，且
．集合
，集合
的元素个数构成数列
，则数列
的前100 项的和为（ ）
A．480
B．642
C．840
D．5050
2．（2025·浙江·二模）给定非空数集
，若函数
满足：对任意
、
，存在实数
使得
成立，则称
为“半压缩函数”.已知
，则下列四个函数中为
“半压缩函数”的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·北京·模拟预测）已知无穷数列
满足：
，
，
，
，其中
表示不超过
的最大整数.则下列说法中正确的是（ ）
A．对于任意
，
，
都不是常数列
B．存在正数
，
，使得
是递增数列
C．对于任意正数
，q，都存在正整数
，使得
是周期数列
D．如果
是常数列，则一定有
4．（2025·湖北·一模）罗尔中值定理是微分学中的一个重要定理，与拉格朗日中值定理和柯西中值定理一
起并称微分学三大中值定理.罗尔中值定理：若定义域为
的函数
的导函数记为
，且函数
满足条件①在闭区间
上连续；②在开区间
内可导；③
.那么至少存在一个
使得
.已知函数
，
在区间
内有零点，其中，
是
自然对数的底数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·上海虹口·一模）若每一项均为正数的数列
的前
项和为
，若对于任意的正整数
，均存
在正整数
使得
，则称
具有“
性质”．对于以下两个命题，说法正确的是（ ）
①存在等比数列
，使得
具有“
性质”；
②若
具有“
性质”，记
且
为等差数列，则
．
A．①和②都为真命题
B．①和②都为假命题
C．①为真命题，②为假命题
D．①为假命题，②为真命题
6．（2025·江西新余·模拟预测）在空间中，我们把点集
表示的曲面
称为
圆柱面，借助比利时数学家Dandelin 的思想我们不难发现：任意不与
轴平行或垂直的平面与
截成的封
闭曲线为椭圆．设圆柱面
，高不平行于坐标面的正四棱锥
的五个顶
点均在
上，则其体积的最小值为：（ ）（注：若正方形
的四个顶点都在同一个定椭圆上，则这
个正方形可以被唯一确定）．
A．
B．
C．
D．
7．（2025·河南·三模）与两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，两个垂足之间的线
段叫做公垂线段，已知任意两条异面直线有且仅有一条公垂线段，且公垂线段是分别连接两条异面直线上
两点的线段中最短的一条．如图，在四面体ABCD 中，AD 是异面直线AB 和CD 的公垂线段，r 为四面体
ABCD 的内切球半径，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数
的定义域为
，若存在实数
，使得对于任意
，
都有
，则称
为＂
严格增函数＂，对于＂
严格增函数＂，有以下四个结论：
①＂
－严格增函数＂
一定在
上严格增；
②＂
－严格增函数＂
一定是＂
－严格增函数＂（其中
，且
）
③函数
是＂
严格增函数＂（其中
表示不大于
的最大整数）
④函数
不是＂
严格增函数＂（其中
表示不大于
的最大整数）
其中，正确的结论个数有（ ）．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9．（2025·湖北宜昌·二模）设
是函数
的一个零点.记
，其中
表示不超过
的最大整数，设数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·上海奉贤·二模）函数
的导函数为
，若存在实数
，使得
成
立，则称函数
具有
性质，下列函数
具有
性质的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
11．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义集合
且
，集合
中元素的个数为
.下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．存在
，使得
成立
D．记
表示不超过
的最大整数，且
，则
.
12．（2025·福建福州·三模）若非空实数集
中存在最大元素
和最小元素
，则定义
.据
此，下列命题中不正确的是（ ）
A．若
，
，且
，则
B．若
，且
，则对任意
，都有
C．若
，
，则存在实数
，使得
D．若
，
，则对任意的实数
，总存在实数
，使得
13．（2025·山西·二模）记
表示
个元素的有限集合，
表示非空数集
中所有元素的和.若集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
的最小值为14
14．（2025·甘肃武威·模拟预测）对于定义域关于原点对称的函数
，称“
”为
的奇分解函数，“
”为
的偶分解函数，则（ ）
A．奇分解函数
为奇函数，偶分解函数
为偶函数
B．函数
的奇分解函数为
C．函数
的偶分解函数为
D．若
，则
15．（2025·江西景德镇·三模）
表示不超过
的最大整数，已知
，函数
满足
，
，且当
时，
单调递增，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为周期函数
C．若
，则
D．若
，则
16．（2025·陕西安康·模拟预测）定义：已知数列
的前n 项和
，若
，
，使得
，则称数列
为
分解数列．基于上述事实，则（ ）
A．若数列
为非零常数列，则数列
不可能为
分解数列
B．若
，则数列
为
分解数列
C．若首项为1 的非常数列
为
分解数列，则
D．若首项为2 的非常数列
为
分解数列，则数列
的前n 项和小于1
17．（2025·湖南岳阳·三模）已知有穷数列
的通项公式为
，其项数不少于4 项，从
中选取
项组成数列
，数列
满足
，
，则（ ）
A．数列
是单调数列
B．当
时，
C．当
时，
D．数列
的个数为
18．（2025·山东聊城·三模）对于数列
，设区间
内偶数的个数为
，则称数列
为
的“
数列”，则（ ）
A．若数列
是数列
的“
数列”，则
B．若数列
是数列
的“
数列”，则
是常数列
C．若数列
是数列
的“
数列”，则
是等比数列
D．若数列
是数列
的“
数列”，则数列
的前项的和为
19．（2025·海南·模拟预测）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694 年，雅各布·伯
努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线
则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利
双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C 上的点
满足到两个定点
，
的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点
在C 上，则
C．点N 在椭圆
上，若
，则
D．过
作x 轴的垂线交C 于A，B 两点，则
20．（2025·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，若
，
，则称“
”
为M，N 两点的“曼哈顿距离”，若动点E 到两定点
，
的“曼哈顿距离”之和为定
值
，则称点E 的轨迹为“曼哈顿椭圆”，若点P 为该“曼哈顿椭圆”上一点，则（ ）
A．
的周长为
B．
面积的最大值为
C．该“曼哈顿椭圆”的面积为
D．该“曼哈顿椭圆”的周长为
三、填空题
21．（2025·河南·一模）集合
，集合
，对任意
，有
，则集
合M 中元素个数的最大值是 .
22．（2025·上海闵行·一模）已知集合
，
；如果存在
，对于属于
且不属于任意
（
）的所有元素
，都有
成立，则
的取值范围是
23．（2025·湖南·三模）已知集合
且
中至少含有2 个元素，若对于
中的任意两个不同元素
，
都有
，则称
具有性质
，若
，且同时具有性质
和
，则
中至多
有 个元素.
24．（2025·山西临汾·三模）已知集合
，其中
，
，
．
表示
中所有不同值的个数．若集合
，则
；若集合
，
则
．
25．（2025·湖北·模拟预测）设数列
满足
，
，其中
表示不超过x 的最大整数，
则
；
.
26．（2025·山东日照·二模）定义在区间D 上的函数
，若存在正数K，对任意的
，不等
式
恒成立，则称函数
在区间D 上满足K-条件．若函数
在区间
上满足K-条件，则K 的最小值为 ．
27．（2025·北京海淀·三模）设数列
的前n 项的和为
，若对任意的
，都有
，则称数列
为“超神数列”，下列命题中，正确的有 ．
①存在递增数列
，使得它是“超神数列”；
②存在周期数列
，使得它是“超神数列”；
③存在等差数列
，使得它是“超神数列”；
④若
为等比数列，对于任意
，存在
，使得
为超神数列．
28．（2025·甘肃白银·三模）若数列
是有穷数列，且各项之和为0，各项的绝对值之和为1，则称数列
是“
项优待数列”.若等差数列
是“
项优待数列”，
，则
.
29．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）互素是指两个自然数a 和b 的最大公因数为1．欧拉函数
表示不大于
且与n 互素的正整数个数，若数列
满足
，且数列
的前n 项和为
，则满足
的n 的最大值为 ．
30．（2025·安徽安庆·模拟预测）已知
表示不超过
的最大整数，记
，设
，且
，当
时，所有满足条件的n 的和等于 .
四、解答题
31．（2025·湖北武汉·三模）已知
为有穷正整数数列，且
，集合
.
若存在
，使得
，则称为
可表数，称集合
为
可表集.
(1)若
，判定31，1024 是否为
可表数，并说明理由；
(2)若
，证明：
；
(3)设
，若
，求
的最小值.
32．（2025·安徽蚌埠·三模）已知集合
，对于给定的正整数a，将集合M 中的所
有元素按从小到大的顺序构成一个数列
．
(1)若
，写出所有的集合M；
(2)当
时，若
构成等比数列，求证：数列
是等比数列；
(3)当
时，记
，求证：
．
33．（2025·安徽·模拟预测）对于非空数集，
，若
，则称数集具有性质
.
(1)若数集具有性质
，证明：
；判断
，
是否具有性质
，并说明理由.
(2)若
满足①
；②
，当
时，都有
.
（i）判断“数集具有性质
”是否是“数列
为等差数列”的充要条件，并说明理由；
（ii）已知数集具有性质
且
，
，求数集
具有性质
的概率.
34．（2025·北京海淀·三模）设
和M 均为正整数，
是两两不同的M 元集合组成的集合
序列，若存在
，使得
，就称Q 中存在“三叶草”，并称
为Q 中的一片三叶草．
(1)若
，分别直接判断以下集合序列中是否存在三叶草，存在的请写出一片相应的三叶草：
，
；
(2)若
满足
，其中
，
，证明：Q 中不存在三叶草；
(3)若
，其中
，证明：Q 中一定存在三叶草．
35．（2025·四川德阳·一模）关于在
可导的函数
，某同学通过自学高等数学得到如下正确结论：
的导数
在
单调递增
在
是凹函数；
的导数
在
单调递减
在
是凸函数.已知
在
是凸函数，在
是凹函数；
.
(1)求
在点
处的切线方程；
(2)若
在
是凸函数，求实数
的取值范围；
(3)若
在
及
是凸函数，在
是凹函数；且
在
单调递增，在
上单
调递减，求证：
.
36．（2025·甘肃白银·二模）帕德逼近是法国数学家亨利•帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．
帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m 次多项式，分母是n 次多项式，那么得到的就是
阶的帕德
逼近，记作
．一般地，函数
在
处的
阶帕德逼近定义为：
，且满足
，
，
，…，
．注：
，
，
，
，…
已知
在
处的
阶帕德近似
．
(1)求
的解析式；
(2)已知函数
的图象与函数
的图象关于直线
对称，当
时，比较
与0 的
大小；
(3)已知
在
处的
阶帕德近似
，若对任意
，
都成立，求实数a 的取值范围．
37．（2025·浙江杭州·模拟预测）对于函数
，
为
的实数根，其中
，若存在
，使得
或者
，则称
为“攀登函数”.
(1)分析函数
是否为“攀登函数”；
(2)函数
为“攀登函数”，
（i）求
的取值范围；
（ii）当
时，设函数
，其中
，
表示
中的较大者，分析是否存在
，使得
为“攀登函数”，若存在，求出
的最大值，若不存
在，说明理由.
38．（2025·陕西西安·模拟预测）若数列
满足
，
为给定的正数，则称
为“
有界数列”．
(1)若
，
，证明：
为
有界数列；
(2)设
，对
，均有
，求实数
的取值；
(3)设数列
是2－有界数列，
，且
，求
的最大可能值．
39．（2025·海南·模拟预测）已知数列
，设
，其中
，且
．我们称
，
分别为数列
的前
项“均方差”和“邻方差”．
(1)若
，求
；
(2)设数列
是公差为
的等差数列．
（i）若
，证明：
；
（ii）若
，求
成立时
的取值范围．
参考公式：
．
40．（2025·辽宁大连·模拟预测）记数列
前k 项的最大值
依次构成一个新的数列
，称数列
为
的“生成子列”，数列
所有项组成的集合为A．
(1)已知数列
为7，6，5，8，求数列
；
(2)若
，且A 中恰有5 个元素，求实数a 的取值范围；
(3)若
，
的“生成子列”
的前n 项和为
，从
中任
取Y 个数，记其中能被2 整除且不能被4 整除的个数为X，
①若
，求X 的数学期望
；
②若
，求使
取得最大值时的m 值．
