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创新考法2 知识迁移新定义题（小题狂练）
一．单选题.
【等腰四面体 2024 年河南二模】
1．等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为
12，则用长方体其中的四个顶点构成的等腰四面体的体积为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【泰勒公式 2024 湖南张家界期末】
2．英国数学家泰勒（B.Taylor，1685—1731）发现了如下公式：
，
，其中
.这些公式被编入计算工具，计算工
具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，计算器使用的这种方法叫数值计算法.比如，
用前三项计算
，就得到
.运用上述思想，可得到
的近似值为（ ）
A．0.83
B．0.84
C．0.85
D．0.86
【和睦数
2025 年上河南新乡期中】
3．定义非空数集
的“和睦数
”如下：将
中的元素按照递减的次序排列，然后将第
一个元素交替地加上、减去后继的数所得的结果.例如，集合
的“和睦数”是
，
的“和睦数”是
，
的“和睦数”是1.对于集合
，其所有非空子集的“和睦数”的总和为（ ）
A．82
B．74
C．12
D．70
【中心捺函数 2024 年江苏盐城期中】
4．定义在
上的函数
若满足：①对任意
，都有
；②对任意
，都有
，则称函数
是
以
为中心的“中心捺函数”.已知函数
是以
为中心的“中心捺函数”，
若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【椭圆的切线 2024 年河南二模】
5．从椭圆
外一点
向椭圆引两条切线，切点分别为
，
则直线
称作点
关于椭圆
的极线，其方程为
.现有如图所示的两个椭圆
，离心率分别为
，
内含于
，椭圆
上的任意一点
关于
的极线为，若
原点
到直线的距离为1，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【黎曼函数 2025 广东东莞期中】
6．黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其
基本定义是：
（注：分子与分母是互质数的分
数，称为既约分数），若
是奇函数，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【向量旋转 2025 江苏盐城阶段练习】
7．已知对任意平面向量
，把
绕其起点沿逆时针方向旋转
角得到向量
，叫做把点
绕点
沿逆时针方向旋转
角得到点
.
已知平面内点
，
，把点
绕点
沿逆时针方向旋转
后得到点
，
则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【快增函数 2021 年江西赣州二模】
8．若函数
在区间D 上单调递增，且函数
在区间D 上也单调递增（其中
是函数
的导函数），那么称函数
是区间D 上的“快增函数”，区间D
叫作“快增区间”，则函数
的“快增区间”为（ ）
A．
B．
C．
D．
【有界数列 2024 新疆模拟预测】
9．定义：对于数列
若存在
，使得对一切正整数
，恒有
成立，则称
为有界数列.设数列
的前
项和为
，则下列选项中，满足
为有界数列的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【稳定函数 2024 年福建福州第一中学检测】
10．若
，
可以作为一个三角形的三条边长，则称函数
是
区间
上的“稳定函数”.已知函数
是区间
上的“稳定函数”，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【双纽线 2024 年上海杨浦高级中学模考】
11．2022 年卡塔尔世界杯中的数字元素——会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义：
在平面直角坐标系
中，把到定点
的距离之积等于
的点的轨
迹称为双纽线
.已知
是双纽线
上的一点，下列说法错误的是（ ）
A．双纽线
关于原点
成中心对称
B．
C．双曲线
上满足
的点
有两个
D．
的最大值为
【定义和谐数列 2024 年辽宁东北育才学校质检】
12．设
是一个无穷数列
的前
项和,若一个数列满足对任意的正整数
,不等式
恒成立,则称数列
为和谐数列,有下列3 个命题:
①若对任意的正整数
均有
,则
为和谐数列;
②若等差数列
是和谐数列,则
一定存在最小值;
③若
的首项小于零,则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3 个命题中真命题的个数有( )个
A．0
B．1
C．2
D．3
【间隔递减数列 2025 年北京朝阳期末】
13．设
是无穷数列，若存在正整数
使得对任意
，均有
，则称
是间
隔递减数列，其中
称为数列
的间隔数．给出下列三个结论：
①若
，则
是间隔递减数列；
②若
，则
是间隔递减数列；
③若
，则
是间隔递减数列且
的间隔数的最小值是
．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
二．多选题.
【同余 2025 河南商丘阶段练习】
14．若非零向量
的夹角为锐角
，且
，则称
被
“同余”．已知
被
“同
余”，则
在
方向上的投影数量结果不正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【余弦方差 2023 湖南常德阶段练习】
15．定义：
为集合
相对
常数
的“余弦方差”.若
，则集合
相对
的“余弦方差”的取值可能
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【有界与无界 2025 陕西咸阳阶段练习】
16．对于数列
，若存在正数
，使得对一切正整数
，都有
，则称数列
是有界的，若这样的正数
不存在，则称数列
是无界的.记数列
的前
项和为
，
则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则数列
是无界的
B．若
，则数列
是有界的
C．若
，则数列
是有界的
D．若
，则数列
是有界的
【方圆系曲线 2024 重庆巴蜀中学阶段检测】
17．已知
（
，
），定义方程
表示的是平面直
角坐标系中的“方圆系”曲线，记
表示“方圆系”曲线
所围成的面积，则
（ ）
A．“方圆系”曲线
是单位圆
B．
C．
是单调递减的数列
D．“方圆系”曲线
上任意一点到原点的最大距离为
【“
”点 2024 北京朝阳 模拟预测】
18．已知双曲线
，对于点
，若
上存在两个点
、
，使得
为线段
的中点，则称
为
的一个“
”点，下列各点中，是
的“
”点的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【离散曲率 2024 安徽合肥阶段练习】
19．设
为多面体
的一个顶点，定义多面体
在点
处的离散曲率为
，其中
，
为多面体
的所有与点
相邻的顶点，且平面
，平面
，平面
和平面
为多面体
的所有以
为公共点的面.已知在直四棱柱
中，四边形
为菱形，
，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱
在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若
，则四棱柱
在顶点
处的离散曲率为
C．若四面体
在点
处的离散曲率为
，则
平面
D．若四棱柱
在顶点
处的离散曲率为
，则直线
与平面
所成的
角的正弦值为
【折线距离 2024 年辽宁鞍山二模】
20．在平面直角坐标系中，定义
为点
到点
的
“折线距离”．点
是坐标原点，点
在直线
上，点
在圆
上，
点
在抛物线
上．下列结论中正确的结论为（ ）
A．
的最小值为2
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
三．填空题.
【点的斜坐标 2025 湖北期中】
21．定义：已知平面向量
，
表示夹角为
的两个单位向量，
为平面上的一个定点，
为平面上任意一点，当
时，定义
为点
的斜坐标.设点
的斜坐标为
，则
.
【向量的叉积 2025 山东滨州期末】
22．设
为非零向量
与
的夹角，定义：
．若
，
，
，则
．
【古典正弦定义 2023 北京海淀期中】
23．如下图单位圆，正弦最初的定义（称为古典正弦定义）为；单位圆中，当圆心角在
时，圆心角为
时，
的“古典正弦”为
．根据以上信息，
的“古典正弦”
为 ．当
时，
的“古典正弦”除以
的最大值为 ．
【平面的法向量 2025 安徽马鞍山期中】
24．已知空间直角坐标系
中，过点
且一个法向量为
的平面
的方程为
．用以上知识解决下面问题：已知平面
的方
程为
，直线l 是两个平面
与
的交线，则直线l 与平
面
所成角的余弦值为 ．
【椭圆面 2023 河北衡水一模】
25．在空间直角坐标系下，由方程
所表示的曲面叫做椭球
面（或称椭圆面）.如果用坐标平面
分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如
图所示），这三个截面的方程分别为
，
，
上述三个椭
圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆
与点
，则这个椭球面的方程为 .
【离散曲率 2023 山东德州期中】
26．设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率为：
，其中
为多面
体M 的所有与点P 相邻的顶点，且平面
，平面
，
，平面
和平面
遍历多面体M 的所有以点P 为公共点的面，在长方体
中，
，
，点S 为底面
的中心，记三棱锥
在点A 处的离
散曲率为
，四棱锥
在点S 处的离散曲率为n，则
．
1.试题特点分析：知识迁移新定义题目是通过知识迁移给出新概念、新运算或新模型，
创设全新的问题情景，要求考生依据题目提供的信息，用类比的方法去理解新的定义，联
系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
2.解题方法阐述：首先要对知识迁移新定义进行信息提取，明确新定义的关键要素.其次
明确知识联系与加工，探求新定义与已学知识之间的联系，寻找解决方法和相近的知识点，
明确它们的相同点和相似点.
3.解题经验分享：第一、新定义是解题的基础，只有准确把握新定义的内涵，才能进行
后续的解题步骤. 第二、注重知识的迁移，找出与已知知识建立联系，这样可以借助已有
的知识和解题经验来处理新定义题. 第三、识别关键信息，判断这些信息如何与新定义相
结合.
