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抖音：老余数学
新定义压轴题突破
交汇命题背景新定义题
数列类
1．（2024•广州三模）数列
满足
，则称数列
为下凸数列．
（1）证明：任意一个正项等比数列均为下凸数列；
（2）设
，其中
，
分别是公比为
，
的两个正项等比数列，且
，证明：
是下凸数列且不是等比数列；
（3）若正项下凸数列的前
项和为
，且
，求证：
．
2．（2024•南平三模）若数列
共有
，
项，对任意
，
都有
为
常数，且
，则称数列
是
关于
的一个积对称数列．已知数列
是
关于
的一个积对称数
列．
（1）若
，
，
，求
的值；
抖音：老余数学
（2）已知数列
是公差为
的等差数列，
，若
，
，求
和
的值；
（3）若数列
是各项均为正整数的单调递增数列，求证：
．
函数类
3．（2024•浙江Z20 名校联盟三模）在平面直角坐标系中，如果将函数
的图象绕坐标原点逆时针
旋转
后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称
为“
旋转函数”．
（1）判断函数
是否为“
旋转函数”，并说明理由；
（2）已知函数
是“
旋转函数”，求
的最大值；
（3）若函数
是“
旋转函数”，求
的取值范围．
4．（2024•重庆模拟）函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数
在
处的极限定义如下：
，存在正数
，当
时，均有
，则称
在
处的极限为
，记为
，例如：
在
处的极限为2，理由是：
，存在正数
，当
时
，
均
有
，
所
以
．
已
知
函
数
，
抖音：老余数学
，
，为自然对数的底数）．
（1）证明：
在
处的极限为
；
（2）若
，
，
，求
的最大值；
（3）若
，用函数极限的定义证明：
．
抖音：老余数学
集合类
5．（2024•青岛一模）记集合
无穷数列
中存在有限项不为零，
，对任意
，
设变换
，
．
定义运算
；若
，
，则
，
．
（1）若
，用
，
，
，
，
，
，
表示
；
（2）证明：
；
（3）若
，证明：
．
6．（2024•福建模拟）对于函数
，若实数
满足
，则称
为
的不动点．已知
，且
的不动点的集合为
．以
和
分别表示集合
中的最小元素和最大元
素．
（1）若
，求
的元素个数及
；
（2）当
恰有一个元素时，
的取值集合记为
．
求
；
若
，数列
满足
，集合
．求证：
抖音：老余数学
．
解析几何类
7．（2024•乌鲁木齐模拟）在平面直角坐标系
中，重新定义两点
，
，
，
之间的“距
离”为
，我们把到两定点
，
，
的“距离”之和为常数
的点的轨迹叫“椭圆”．
（Ⅰ）求“椭圆”的方程；
（Ⅱ）根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
（Ⅲ）设
，
，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为
，
的左顶点为
，过
作
直线交
于
，
两点，
的外心为
，求证：直线
与
的斜率之积为定值．
8．（2024•宁德模拟）坐标平面
上的点
也可表示为
，其中
，
为
轴
非负半轴绕原点
逆时针旋转到与
重合的旋转角．将点
绕原点
逆时针旋转
后得到点
，
这个过程称之为旋转变换．
（1）证明旋转变换公式：
，并利用该公式，求点
绕原点
逆时针旋转
后
的点
的坐标；
抖音：老余数学
（2）旋转变换建立了平面上的每个点
到
的对应关系．利用旋转变换，可将曲线通过旋转转化为我们
熟悉的曲线进行研究．
求将曲线
绕原点
顺时针旋转
后得到的曲线方程，并求该曲线的离心率；
已知曲线
，点
，直线
交曲线
于
，
两点，作
的外角平
分线交直线
于点
，求
的最小值．
向量类
9．（2024•深圳模拟）对于给定的正整数
，记集合
，
，
，
，
，
，
，
2，3，
，
，其中元素
称为一个
维向量．特别地，
称为零向量．
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，定义加法和数乘：
，
，
，
，
，
，
，
．
对一组向量
，
，
，
，
，若存在一组不全为零的实数
，
，
，
，使得
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，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（Ⅰ）对
，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①
，
；
②
，
，
；
③
，
，
，
．
（Ⅱ）已知向量
，
，
线性无关，判断向量
，
，
是线性相关还是线性无关，并说明
理由．
（Ⅲ）已知
个向量
，
，
，
线性相关，但其中任意
个都线性无关，证明下列结论：
（ⅰ）如果存在等式
，
，2，3，
，
，则这些系数
，
，
，
或者全为零，或者全不为零；
（ⅱ）如果两个等式
，
，
，
，2，3，
，
同时成立，其中
，则
．
10．（2024•山东模拟）将所有平面向量组成的集合记作
，
是从
到
的映射，记作
或
，
，
，其中
，
，
，
，
，
，
，
都是实数．定义映射
的模为：在
的条件下
的最大值，记做
．若存在非零向量
，及实数
使得
，
则称
为
的一个特征值．
（1）若
，
，
，求
；
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（2）如果
，
，
，计算
的特征值，并求相应的
；
（3）若
，
，
，要使
有唯一的特征值，实数
，
，
，
应满足什么
条件？试找出一个映射
，满足以下两个条件：①有唯一的特征值
；②
，并验证
满足这两个
条件．
概率统计类
11．（2024•江苏模拟）在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标
，
，
表示，其中
，
．而在
维空间中
，以单位立方体的顶点坐标可表示为
维坐标
，
，
，
，
，其中
，
，现有如下定义：在
维空间中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
两点的曼哈顿距离为
．
（1）在3 维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1 的概率；
（2）在
维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量
为所取两点间的曼哈顿距离．
求出
的分布列与期望；
证明：随机变量
的方差小于
．
12．（2024•华师一附中模拟）泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果
随机变量
的所有可能取值为0，1，
，且
，
，1，2，
其中
，则称
服从泊松分布，记作
．
抖音：老余数学
（1）设
，且
，求
；
（2）已知当
，
时，可以用泊松分布
近似二项分布
，即对于
，
，当
不太大时，有
．
（ⅰ）已知甲地区共有100000 户居民，每户居民每天有0.00010 的概率需要一名水电工．试估计某天需要
至少2 名水电工的概率；
（ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000 户居民，每户居民每天有0.00004 的概率需要一名水电
工．试估计某天两个地区一起至少需要3 名水电工的概率．
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高等数学背景新定义题
高数新定义背景
13．（2024•江西模拟）同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设
，
，
且
．若
则称
与
关于模
同余，记作
“ ”为整除符号）．
（1）解同余方程
；
（2）设（1）中方程的所有正根构成数列
，其中
．
①若
，数列
的前
项和为
，求
；
②若
，求数列
的前
项和
．
14．（2024•鹰潭二模）“让式子丢掉次数”—伯努利不等式
’
，又称贝努利不等
式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布．伯努利提出，是最早使用“积
分”和“极坐标”的数学家之一．贝努利不等式表述为：对实数
，在
，
时，有不等
式
成立；在
时，有不等式
成立．
（1）证明：当
，
时，不等式
成立，并指明取等号的条件；
（2 ）已知
，
，
，
，
是大于
的实数（全部同号），证明：
；
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（3）求证：
．
线性代数新定义背景
15．（2024•北京模拟）设数阵
，其中
，
，
，
，2，
．设
，
，
，
，其中
，
且
．定义变换
为“对于数阵的每一行，若其中有
或
，则将这一行中每个数都乘以
；若其中没有
且没有
，则这一行中所有数均保持不变”
，
，
．
表示“将
经过
变换得到
，再将
经过
变换的到
，
，以此类推，
最后将
经过
变换得到
”，记数阵
中四个数的和为
．
（Ⅰ）若
，写出
经过
变换后得到的数阵
；
（Ⅱ）若
，
，
，求
的值；
（Ⅲ）对任意确定的一个数阵
，证明：
的所有可能取值的和不超过
．
16．（2024•辽宁模拟）行列式是线性代数的一个重要研究对象，本质上，行列式描述的是
维空间中，一
个线性变换所形成的平行多面体的体积，它被广泛应用于解线性方程组，矩阵运算，计算微积分等．在数
学中，我们把形如
，
，
这样的矩形数字（或字母）阵列称作矩阵．我们将二阶矩
阵
两边的“
”改为“ ”，得到二阶行列式
，它的运算结果是一个数值（或多项式），记
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为
．
（1）求二阶行列式
的值；
（2）求不等式
的解集；
（3）若存在
，
，使得
，求
的取值范围．
概率论背景
17．（2024•张家口三模）在某项投资过程中，本金为
，进行了
次投资后，资金为
，每次投资的比例均为
（投入资金与该次投入前资金比值），投资利润率为
（所得利润与
当次投入资金的比值，盈利为正，亏损为负）的概率为
，在实际问题中会有多种盈利可能（设有
种可
能），记利润率为
的概率为
（其中
，其中
，由大数定律可知，当
足够大
时，利润率是
的次数为
．
（1）假设第1 次投资后的利润率为
，投资后的资金记为
，求
与
的关系式；
（2）当
足够大时，证明：
（其中
；
（3）将该理论运用到非赢即输的游戏中，记赢了的概率为
，其利润率为
；输了的概率为
，其利润
率为
，求
最大时
的值（用含有
，
，
，
的代数式表达，其中
．
18．（2024•厦门模拟）设随机变量
的概率密度函数为
；
（当
为离散型随机变量时，
；
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为
的概率），其中
为未知参数，极大似然法是求未知参数
的一种方法．
在
次随机试验中，随机变量
的观测值分别为
，
，
，
，
，
，
，定义
；
；
；
为似然函数．若
时，
取得最大值，则称
为参数
的极大似然估计值．
（1）若随机变量
的分布列为
1
2
3
其中
．在3 次随机试验中，
的观测值分别为1，2，1，求
的极大似然估计值
．
（2）某鱼池中有鱼
尾，从中捞取50 尾，做好记号后放回鱼塘．现从中随机捞取20 尾，观测到
做记号的有5 尾，求
的极大似然估计值
．
（3）随机变量
的概率密度函数为
．若
，
，
，
，
，
，
是
的一组观测值，证明：参数
的极大似然估计值为
．
初等数论背景
19．（2024•衡阳模拟）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1 的正整数
都可以被唯一表示
为有限个质数的乘积形式：
为
的质因数个数，
为质数，
，
，2，
，
，例
如：
，对应
，
，
，
，
，
，
．现对任意
，定义
莫比乌斯函数
（Ⅰ）求
，
；
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（Ⅱ）若正整数
，
互质，证明：
；
（Ⅲ）若
且
，记
的所有真因数（除了1 和
以外的因数）依次为
，
，
，
，证明：
．
20．（2024•重庆模拟）给出以下两个数学运算（符号）定义：
①若函数
，则
，
，
，
，其中
称为函
数
的
次迭代．如：
，
，
．
②对于正整数
，
，
，若
被
除得的余数为
，则称
，
同余于
，记为
．
如：
，
，
．
（1）若函数
，求
（1）；
（2）设
是一个给定的正整数，函数
记集合
．
①证明：当
时，
；
②求
，
并猜想
．
