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数列：奇偶数列问题、数列恒成立求参数问题专项训练
考点目录
奇偶数列问题
数列恒成立求参数问题
考点一 奇偶数列问题
例1．（25-26 高三上·天津滨海新区·月考）已知等差数列
和等比数列
满足：
，
，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
；
(3)已知
数列
的前n 项和
，若对任意正整数n，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
；
(2)
(3)
【详解】（1）设等差数列
的公差为d，已知
，
，则
．
则
，
解得
，所以
设等比数列
的公比为q，
，
，又
，所以
．
因为
，
解得
（
舍去，因为
），所以
．
（2）由（1）知
，
，
考点二 数列恒成立求参数问题
则
．
．
（3）由（1）知
，
，则
．
①，
②，
①-②得：
，所以
，则
．
因为对任意正整数n，不等式
恒成立，
即
恒成立，等价于
恒成立．
设
，则
．
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
所以
的最大值为
．
所以
，即实数
的取值范围是
．
例2．（25-26 高二上·内蒙古·期末）设
是等差数列，
是公比大于0 的等比数列，其中
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，记数列
前
项和为
．
（i）求
；
（ii）若对任意的
，均有
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
，
(2)（i）
（ii）
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，
由
，得
，
由
，
得
由
，解得
所以
，
．
（2）（i）由（1）知
,
所以
①，
所以
②，
①-②得：
，
所以
．
（ii）由题意，对任意的
，均有
恒成立，
所以
，即
恒成立．
设
，
所以
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
所以
的最大值为
，
所以
．
故
的取值范围是
．
例3．（25-26 高三上·辽宁抚顺·期末）已知数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
；
(3)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由
，当
时，
，解得
；
当
时，
，
整理得
，
即
故数列
是首项为 、公比为 的等比数列，
所以
因此
（2）由
. ，
（3）由（2）知，
由
，知
易知
单调递减，
所以
，
而
单调递增，所以
，
，
只需
，
即
.
故
的取值范围是
.
例4．（25-26 高二上·上海普陀·期末）等差数列
的公差不为0，
是其前n 项和．已知
，且
，
，
依次成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
对一切正整数n 都成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设首项为
，公差为
，
因为
，
，
依次成等比数列，所以
，
即
，化简得
，
因为
，所以
，即
，
联立方程组
，解得
，
则
.
（2）因为
，所以
，
因为
对一切正整数n 都成立，
所以
，即
，
可得
，令
，即
恒成立，
由基本不等式得
，当且仅当
时取等，此时解得
，
则
，
，即
，可得
，
故实数
的取值范围为
.
变式1．（25-26 高二上·四川宜宾·期末）已知函数
，数列
满足：
，
，数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求数列
、
的通项公式；
(2)设数列
，
，前n 项和为
，若对一切正整数n，
恒成立，求m 的最小值；
(3)设数列
的前n 项和为
，证明：
．
【答案】(1)
；
(2)3
(3)证明见详解
【详解】（1）因为函数
，则
，即
，
可知数列
是以首项
，公差为2 的等差数列，
所以
；
又因为
，
当
时，则
，解得
；
当
时，则
，两式相减得
，即
，
可知数列
是以首项
，公比为2 的等比数列，
所以
.
（2）由（1）可知：
，
则
，
因为
，则
，
若对一切正整数n，
恒成立，则
，
且
，所以m 的最小值为3.
（3）由（1）可知：
，则
，
当
时，
；
当
时，则
，
可得
；
综上所述：
.
变式2．（25-26 高二上·新疆克拉玛依·期末）已知等比数列
的公比
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前
项和
；
(3)设
是数列
的前
项和，对任意正整数
，不等式
恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为
，所以
.
又因为
，所以
，
，
所以数列
的通项公式为
.
（2）
,
所以
.
（3）因为
，
所以
，
，
两式相减得，
，
所以
.
所以
对任意正整数
恒成立.
设
，易知
单调递增.
当
为奇数时，
的最小值为，所以
，解得
；
当
为偶数时，
的最小值为
，所以
.
综上可知
，
即的取值范围是
.
变式3．（25-26 高二上·天津河西·月考）已知
是首项为1 的等差数列，其前
项和为
，
，
为等
比数列，
，
．
(1)求数列
和
的通项公式：
(2)设数列
的前
项和为
，求
；
(3)记
，若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
(3)
【详解】（1）设等差数列
的公差为
，因为
，
，解得
，
所以
，
设
的公比为
，因为
，
，所以
，所以
，
所以
，所以
.
（2）设
，
所以
①
②
所以①
②，错位相减可得，
，
解得
.
（3）因为
，
，所以
，所以
，
，令
，
则
，当
，
，即
，
当
时，
，即
，所以数列
的最大项为
，因为
恒成立，所以，
，所以实数
的取值范围为
.
变式4．（2025·河南·模拟预测）记
.
(1)判断并证明
的奇偶性；
(2)将
的最小值记为
，
（i）求数列
，
（ii）若
恒成立，求
的最小整数值
.
【答案】(1)偶函数，证明见解析
(2)（i）
；（ii）10
【详解】（1）函数
为偶函数，理由如下：
因为
的定义域为
，
且
，
所以函数
为偶函数.
（2）（i）因为
，
，
当
时，
，
当
时，令
，则
，
设
，则
，
当
时，则
，
，
可得
，
在
上单调递减；
当
时，则
，
，
可得
，
在
上单调递增；
可知当
时，
取最小值
，
所以
；
当
时，亦适合上式，所以
；
（ii）令
，
则
，
可得
，
两式相减得
，
则
，
所以
，即
的最小整数值
为10.
