第43届全国中学生物理竞赛复赛理论试题逐题详解

第43届全国中学生物理竞赛复赛理论考试时间为 2026年9月19日9:00—12:00，共 7 题、320 分、180 分钟。理论试题考察内容如下：

本文依据原试题对全部题目独立复算，具体如下：

一、非线性电阻网络（45 分）

题目信息

一（45 分）．如图 1a，6 个非线性电阻连成正四面体网络，顶点记为 ，导线电阻忽略不计。图中，连接 （）两顶点直线上的电阻的伏安特性为,其中， 为该电阻两端的电压降， 为沿电压降方向流过该电阻的电流， 为该电阻的非线性系数。已知 ，，，，其中  为大于零的常量。在顶点 A 与 B 之间施加恒定电压 （），总电流从 A 流入，从 B 流出。求总电流  和 A、B 两点间的等效电阻 。

详解：

取 ，引入无量纲变量

在节点  分别列电流守恒方程，并约去 ：

直接展开会得到两个耦合三次方程。更有效的做法是消去共同项 ：

令 ，上式就是 。因为

 在实数范围内严格单调，故

代回节点  的方程：

整理并因式分解得

二次因子的判别式为 ，所以只有一个实根：

从  流出的三支路电流为

由节点  的电流守恒得

因此

二、弹簧腿机器人（45 分）

题目信息

二（45 分）．图 2a 是机器人在刚性水平地面向右跑步的弹簧-质点模型，其中机器人被简化为质量为  的质点和一根与之相连、劲度系数为  的轻质直弹簧腿。跑步过程可以分解为弹簧腿从着地到离地、然后腾飞再到着地的一系列过程的组合。整个跑步过程中弹簧腿和质点始终在一个竖直平面内运动，每次着地时腿与地面的夹角都为 （ 小于但接近 ）。弹簧腿从着地到离地的过程中，腿和地面的接触点不动，弹簧腿会伸缩但不会弯曲，且其长度变化量远小于其自由长度 ；在此过程中，弹簧腿也会绕其与地面的接触点转动，但其与地面的夹角总是接近 。

弹簧腿某次刚着地时，长度为 ，绕其与地面的接触点顺时针转动的角速度大小为 。以水平地面为势能零点，已知弹簧腿-质点系统的机械能为 。以弹簧腿刚着地的时刻为时间零点，在弹簧腿此次从着地到离地的过程中，求

（1）弹簧腿的长度随时间变化的关系，及其刚离地的时刻 。

（2）弹簧腿转过的角度 （需保留至非零结果）。

已知重力加速度大小为 。已知 。不计弹簧腿和地面接触点处的摩擦力矩，忽略空气阻力。

弹簧腿与地面之间的夹角的正弦虽然近似为 1，但此角度的时间变化率不可忽略。计算过程中仅保留至弹簧腿相对形变量的一阶小量。

（1）腿长随时间的变化与离地时刻

先统一方向。 以接触点为极点、水平向右为极轴，极角  取逆时针为正。因此初始角速度为 ；下文用正数  表示顺时针转过的角度大小。

径向牛顿方程与绕接触点的角动量方程分别为

取 ，并忽略很小的重力切向分量。于是

代回径向方程：

引入

由 ，

因此径向运动方程化为

刚着地时弹簧势能为零，机械能为

取 ，并取“着地后腿开始压缩”对应的负根，定义

于是 、，将初始条件代入径向运动方程，得到

这段表达式用于  的接触阶段。

非平凡的压缩—回弹过程要求 ；若恰为零，则在  时没有有限时长的压缩支撑阶段。

离地时弹簧恢复原长，即 。令 ，有

利用半角公式并去掉  的根：

因为 、，首次回到原长对应 $0

此根满足 ，对应回弹过程中的离地；在  内始终有 。

（2）从着地至离地的转角

顺时针总转角大小为

与径向计算保持相同的近似阶数，必须展开为

因此

代入已求出的 ：

令 ，则 。半角关系给出

从而

这里 ，与参考解答的写法一致。

三、磁偶极子的镜像（45 分）

题目信息

三（45 分）．如图 3a，一大小可忽略的磁偶极子固定于坐标系  中的 （）点，方向限制在  平面内；其磁矩

其中磁矩大小 ，且恒定不变， 为磁矩方向与  轴正方向的夹角， 和  分别是沿  轴和  轴正方向的单位矢量。 的区域为真空， 的区域为超导体或介质。 区域的磁场可等效为上述磁偶极子的磁场与一个镜像磁偶极子产生的磁场的叠加。

已知：任一磁矩为  的磁偶极子在真空中的磁感应强度  为

其中， 为从磁偶极子所在位置指向场点的矢径， 为  方向的单位矢量， 为真空磁导率。

（1）对于  处的磁偶极子 ，

（1.1）若  区域为理想超导体，其内部的磁感应强度为零，求镜像磁偶极子的磁矩 ；

（1.2）若  区域为磁导率  的理想软磁体，求镜像磁偶极子的磁矩 。

（2）计算  处的磁偶极子分别在（1.1）和（1.2）两种情形下所受的力矩  和 。

（3）若  处的磁偶极子可在  平面内转动，并受到微弱阻尼，分别在（1.1）和（1.2）两种情形下求磁偶极子最终可能的稳定取向。

（1）镜像磁矩：分别消去法向场和切向场

记 ，镜像放在 。在界面上任取 ，令

理想超导体。 由  的法向分量连续，真空侧必须满足 。真实偶极子的法向场为

镜像磁矩记为 ，其法向场为

总法向场对任意  都应为零，因此两个独立空间函数的系数分别为零：

于是

理想软磁体。 在有限场的理想极限下，介质内 ；无自由面电流时切向  连续，因而真空侧 。用  可得

对任意界面点成立要求

这一选择也使 ，因此

两种镜像恰好互为相反数。超导体要求法向磁场为零；理想软磁体要求切向磁场为零，不能把这两个条件混淆。

（2）力矩：只用镜像在真实偶极子处产生的场

镜像到真实偶极子的距离为 。定义

则真实偶极子处的两个镜像场分别为

真实偶极子的自场不计入自身受力矩。由 ，得

取右手坐标系，绕  轴的转动使磁矩从  转向 ，即使  增大，因此上述力矩符号可直接用于稳定性判断。

（3）稳定取向：平行还是垂直

记 。力矩为零要求 。以  为平面内有向转角，平衡角为 （模 ）。稳定平衡要求微小偏离引起回复力矩，即 。

故两种稳定取向分别为

也可用取向势能核验。镜像是由真实偶极子感应而来的，计入介质响应后应使用

从而

势能极小位置与上面的力矩判据一致，且  恰好复现两个力矩。

四、空间电动力绳：发电、降轨与姿态稳定（50 分）

题目信息

四（50 分）．如图 4a，一质量为  的卫星沿赤道上空的圆轨道沿图示方向飞行，初始轨道离地面高度 。卫星底部悬挂一均匀的长直、轻质的刚性导电绳索，绳索始终处于卫星运行轨道平面内，绳索长度 ，绳索总电阻 ；绳索外包覆着一层轻质绝缘材料，下端接有一质量为  的等离子体接触器。卫星和接触器都可与轨道上的电离层交换电子，且绳索与卫星连接处装有轻质开关，开关闭合后绳索与等离子体构成闭合回路。等离子体、卫星和接触器的电阻、感抗均可忽略。在卫星与绳索所在高度上，地磁场可视为是均匀的，磁感应强度大小 ，方向与卫星轨道平面垂直。忽略等离子体及大气阻力。已知引力常量 ，地球质量 ，地球半径 。与轨道半径  相比，绳索长度可忽略。将卫星、绳索和接触器视为一个系统。

（1）为简单计，绳索不同位置处的速度均取为卫星速度。

（1.1）求系统在开关断开时绕地球转动的轨道速度  与角速度  的值。

（1.2）当绳索恰好处于径向时，闭合开关。求此时绳索中的感应电流强度  的值与电流的功率  的值。

（1.3）开关闭合后，假设系统绕地球每圈轨道高度变化远小于轨道半径，计算开关闭合后卫星轨道高度  随时间的变化率  的值；估算系统绕地球一圈后高度变化的值 ，系统在绕地球一圈的运动过程中，高度的变化率均可取本小问中得到的值，运行一圈的时间可取系统在离地面高度为  时的周期。

（2）如图 4b，绳索在轨道平面内相对于径向  转过角度 （），但仍保持接触器比卫星距地心更近。在随轨道转动的参考系（随系统质心作轨道运动，但不相对于地心参考系转动）中考虑以下问题：

（2.1）初始时，开关未闭合。准确到  的一阶，求卫星所受的重力与离心力的合力，及接触器所受的重力与离心力的合力，并验证上述两个合力之和近似为零。当偏角  很小时，证明绳索在  附近做简谐摆动，并求出摆动角频率  的表达式（用  表示）。

（2.2）闭合开关后，在圆轨道近似下（圆轨道半径仍为 ），求绳索受到的洛伦兹力沿轨道切向正向 （轨道速度方向）的分量  和沿径向 （由地心向外为正向）的分量  的表达式。

（2.3）求（2.2）小问中的洛伦兹力对系统所施加的相对于系统质心的力矩（用 、 和其他题给变量表示），及绳索在新的平衡位置时与径向的夹角  在  中的可能值。判断系统限于卫星轨道平面内，在新的平衡角度  处的稳定性；若是稳定的，求出绳索在  附近摆动的角频率  的值。

详解

（1.1）轨道速度与角速度。

系统总质量及近似轨道半径为

万有引力提供向心力：

因而

初始周期为

（1.2）感应电流与电功率。

径向绳索与  平行，动生电动势的大小为

于是

按图示磁场方向，正电荷受  作用指向地心，故绳内的常规电流从卫星流向接触器。安培力与飞行方向相反，轨道机械能转化为电能。

（1.3）轨道下降率与一圈的高度变化。

在缓慢演化的准圆轨道近似中，机械能为

由 ，有

代入初始值，并用  化简：

按题设采用初始周期及初始变化率，

这里 ，符合题设每圈变化远小于轨道半径的近似。

需区分两个“初始变化率”：以上是准圆轨道半径的演化率。若严格追踪突然闭合开关的瞬间，原圆轨道的径向速度不会突变，真实几何高度满足 ；参考解答采用的是前一种轨道演化近似。

（2.1）重力梯度与径向附近的摆动。

取

其中  从接触器指向卫星， 的正转向对应 。设卫星和接触器相对质心的位置分别为

由质心条件及长度约束，

所以

为正确保留一阶量，先考虑质心附近任意点 。 引力加速度展开为

在轨道共转系中，离心加速度为

故引力与离心力之和为 。两端分别得到

由  立即有

两者大小均约为 。它们虽合力为零，却构成力偶。

忽略轻绳质量，系统关于质心的转动惯量为

重力梯度力矩为

摆动时，共转系中的科里奥利力沿绳索，对质心不产生力矩。因此

小角度下，，得到

若坚持使用原题括号中的“不旋转平动系”，没有上述离心力，而只有原点平动产生的均匀惯性力。此时两端的有效外力应写成

这两式仍然合力为零，且给出相同的 。共转系相较于平动系多出的  沿质心到质点的连线，因而不改变关于质心的力矩。

（2.2）洛伦兹力的两个分量。

沿  为正方向计算有符号电动势：

因此，沿  的有符号电流为

负号表示真实电流仍从卫星流向接触器。利用

得

所以

令 ，上述两式分别为  与 。 能量检验也给出

说明切向力必须是阻力。

（2.3）电磁力矩、平衡角与稳定性。

均匀磁场和均匀电流使单位长度绳索受力相同，因此合力作用在绳索中点。该中点相对系统质心的位置为

系统质心靠近质量较大的卫星，故绳索中点位于质心向接触器一侧，距离为 。于是

记力矩系数

其转向使  增大，与小正偏角下的重力梯度回复力矩相抗衡。总转动方程为

由于允许范围内 ，平衡条件化为

右端数值为 ，故允许范围内恰有一个平衡角：

一般而言，右端需落在 ，才能在题目规定区间内给出这样的平衡角； 已被题目排除。

令 ，在平衡位置展开总力矩。利用 ，得到

力矩与偏离方向相反，因此该平衡在轨道平面内稳定，且

故

本题要点： 发电消耗的是轨道机械能；均匀安培力的作用点在绳索中点，质量不对称使中点与质心分离，进而产生姿态力矩。

五、矩形浮木：浮心、稳心与两种振动（45 分）

题目信息

五（45 分）．一均匀长方体木块的横截面为宽 、高  的矩形，长度远大于 、。该木块密度为 ，浮于密度为 （）的液体中。重力加速度大小为 。已知木块顶面的任何部分始终未浸入液面以下，底面任何部分也始终未浮出液面以上。为简单计，仅考虑木块受到的重力和竖直向上的浮力的作用。已知液面始终保持水平状态。

（1）如图 5a，木块处于平衡状态时，高度方向浸入液体，浸深记为 。

（1.1）求  的表达式。

（1.2）木块浸没在液面下的部分的重心称为浮心。求木块平衡时的浮心  到木块重心  的距离。

（2）如图 5b，取固定于木块的“随体坐标系” ：坐标原点在木块重心 。 轴沿横截面的宽度方向， 轴沿高度方向。某时刻， 轴与水平液面夹角为微小角度 （图 5b 与图 5c 中 ），此时新浮心记为 ，如图 5c 所示。木块长度方向始终水平。忽略液体的黏滞阻力及其因木块转动而引起液体流动导致的附加转动惯量。

（2.1）假设木块所受的浮力等于其重力，求随体坐标系中  轴与水平液面夹角为微小角度  时水平液面的方程。

（2.2）在一阶小角度近似下，求  在随体坐标系中的坐标 、（用 、、、 表示）。

（2.3）过  的竖直线与  轴的交点  称为稳心。证明平衡时的浮心到稳心的距离为 ，求稳心的纵坐标 。当两参数  与  之间满足何种条件时，系统是稳定的（即相对于平衡状态有微小偏离时，有恢复至平衡状态的趋势）？

（3）讨论木块的运动。

（3.1）假设木块所受的浮力等于其重力，写出木块作微小转动的运动方程，证明当  时其运动为简谐振动，并求其角频率 。讨论当  时， 的变化趋势。

（3.2）导出木块仅做上下微小平动时的运动方程，证明其运动为简谐振动，并求其角频率 ，比较  和  的大小关系。

（1）浸深与平衡浮心

浮力等于重力：

所以

平衡时浸入部分的横截面是高为  的矩形，浮心位于其几何中心，因此

重心  是随体坐标原点，故

注意：浮心在重心下方本身不能决定倾斜稳定性，关键是倾斜后浮力作用线如何移动。

（2.1）倾斜时的液面方程

取顺时针倾斜为 。液面在实验室系中水平，在随体坐标系中可写成

浮力仍等于重力，因此排水横截面积保持为 。木块底边为 ，故

得到 ，即

在一阶近似下，也可写为 。顶面不浸没、底面不露出的几何要求可写为

这保证以下积分确实覆盖整个矩形宽度。

（2.2）新浮心的坐标

在横坐标  处，浸入液体的竖条高度为

先求横坐标：

再求纵坐标。该竖条的中心高度为 ，所以

保留  的一阶，结果为

也就是说，浮心横坐标有一阶变化，纵坐标的首个变化却是二阶。这正是稳心计算可以大幅简化的原因。

（2.3）稳心与稳定条件

在随体坐标系中，竖直向上的单位向量为 。过  的竖直线与  轴相交于 ，所以

取  的一阶稳心位置，得

因此稳心相对重心的高度为

当木块顺时针微倾时，若  位于  上方，浮力对重心产生逆时针回复力矩。因此，具有线性回复力矩的稳定条件为

即

若 ，微倾会被进一步放大。若恰有 ，一阶回复力矩消失，不能用一阶理论判断更高阶的稳定性。

（3.1）微小转动的角频率

取顺时针力矩为正。浮力大小为 ，作用线经过稳心，故关于质心的力矩为

木块绕长度方向质心轴的转动惯量为

由质心角动量定理：

当  时，这是简谐振动方程，因而

当  时，，小振动周期趋于无穷大，木块的回复越来越慢。

这里必须使用绕质心的转动惯量 。稳心是浮力作用线的几何交点，并非固定铰支点；若换用稳心参考系，还必须同时计入该非惯性系的惯性力矩。

（3.2）上下振动及频率比较

设木块只沿竖直方向平动，向上的位移为 。此时浸深变为 ，合力为

所以

即

比较两个角频率的平方：

在倾斜稳定条件下，分子为正；由于 ，分子又严格小于分母。因此

在本题模型内，稳定木块的微小摇摆总比上下振动慢；频率比较以存在稳定摇摆为前提。

本题最有迁移价值的步骤是：先用排水体积不变确定液面，再用面积矩找浮心，最后用浮力作用线的偏移求回复力矩。几何、静力学和动力学由同一个量  连在一起。

六、等离子体的三种响应：振荡、屏蔽与传播（45 分）

题目信息

六（45 分）．一均匀等离子体由数密度均为  的自由电子和带一个元电荷的正离子组成，未受扰动时整体呈电中性。电子的电荷量和质量分别为 （）和 ；正离子质量远大于电子质量，可视为固定不动的均匀背景。已知真空的介电常量为 。

（1）等离子体对内部电荷偏移的集体响应。如图 6a，在等离子体中，沿  方向取一厚度为  的电子层；等离子体垂直于  方向的任一截面的尺度远大于 ；某时刻此电子层沿  方向的整体位移为 （），分别在左右两侧形成厚度均为  的净正电荷薄层和净负电荷薄层。

（1.1）求此时刻正、负电荷薄层之间的电场强度 。

（1.2）写出正、负电荷薄层之间的电子整体位移  随时间变化的运动方程，说明其运动为简谐运动，并求其角频率 。

（2）等离子体对外部电场的静电响应。在等离子体中某点（记为原点）处放置一个电荷量为  的点电荷，导致等离子体中的电子重新分布，其数密度偏离 ，变为 ，产生球对称的感应电势 ，从而部分抵消外电场的电势（屏蔽效应）。已知  满足玻尔兹曼分布

其中  为玻尔兹曼常量， 为此等离子体的绝对温度，。

（2.1）将玻尔兹曼分布中的指数函数展开到指数的一阶，求电子数密度的改变量  和在  处等离子体的净电荷密度 （两结果均用  等表示）。

（2.2）已知 （）满足如下的静电势方程

其中  为德拜长度，可定义为

试在电子数密度的一阶扰动近似下求 。用 、、、 和  表示。

（2.3）求解（2.2）中满足静电势方程的解 ，并说明  和  时电势  的特点。提示：此方程的解的形式为

其中 、 为待定常量；当  时 。

（3）等离子体对外部周期变化的电磁波作用的响应。一角频率为 、波数为  的外部电磁波的电场 。忽略电子之间以及电子与正离子背景之间的碰撞，电子在此电场作用下的位移为 ，产生电极化强度 ，满足 ，其中  为相对介电函数。

（3.1）设电子位移为 ，求  及 ，其中  用  和  表示。

（3.2）已知电磁波在等离子体中的色散关系为 ，利用（3.1）的结果求  与  的关系。并求可以在该等离子体中传播的电磁波的角频率范围。

（3.3）取典型太阳风等离子体数密度 ，，，，，估算此等离子体中允许传播的电磁波的频率范围。将其与可见光频率  比较，判断太阳风对可见光是否透明，并从电子响应特性的角度解释原因。

（1）电子层振荡：电荷分离提供回复力

当  时，左侧剩余正电荷，右侧多出电子；两薄层面电荷密度为 。两无限大平行电荷薄层间的电场相加，故带符号的表达式是

电子带负电，所以受力与位移相反：

即

这里按题意讨论两端薄层之间的电子，并保留  的最低阶近似。厚度  不出现在最终频率中，因为运动电子数与受力都正比于层体积。

（2）德拜屏蔽：密度响应如何改变库仑势

（2.1）线性化。 对指数保留一阶：

于是

这里  不含原点点电荷的奇异贡献。正电势使电子势能  降低，电子数密度增大，净电荷密度为负，符号符合屏蔽效应。

（2.2）德拜长度。 代入定义，电势约去：

温度升高使热运动更强，屏蔽尺度增大；密度升高使电荷重排更有效，屏蔽尺度减小。与第（1）问联立还可得

左侧是长度乘角频率，右侧是速度尺度，量纲一致。

（2.3）静电势。 令 ，方程化为

由无穷远处 ，必须舍去增长项，故 ；由近原点的库仑奇异系数，得 。因此

当  时，指数因子接近 1，电势的主导项为库仑势；当  时，电势除  衰减外，还受到指数压低，静电影响主要局限于数个德拜长度内。

必须区分“求解线性化方程的边界匹配”和“近似的实际适用区间”：非零点电荷的库仑势在  发散，故  不可能一直延伸到原点。上式是题定线性屏蔽模型的解，近原点条件用于确定奇异项系数；物理应用应限定在弱势扰动区域。若存在  的区间，才可在该区间同时使用线性响应和近库仑近似。

（3）电磁波响应：高于截止频率才能传播

（3.1）电子位移与介电函数。 在固定位置，将局部电场振幅写成 。对于受迫稳态解，设

由 ：

得到

从而

与介电函数的定义比较：

（3.2）色散与传播条件。 将上式代入题给的 ，得

当  时， 为非零实数，存在传播波；当  时， 为纯虚数，对应空间衰减。 是截止边界，此时 ，群速度 。

所以传播范围为

（3.3）太阳风数量级。 用题给数量级代入：

因此

若将题给数量级当作等号，；题目只要求量级，不宜将其写成精密测量值。

因为 ，可见光频率处

电子的受迫位移振幅随  减小，无法建立足够强的屏蔽极化，因此在题设的均匀、无碰撞模型中，太阳风对可见光透明。

七、从单界面反射到一维光子晶体（45 分）

题目信息

七（45 分）．光在折射率均匀的介质中沿直线传播，但当折射率呈周期性的空间分布时，某些频率的入射光会被强烈地反射。这类折射率呈周期性空间分布的材料被称为光子晶体。假设所有介质都是线性的和非磁性（）的，折射率  均为实数。真空中的光速记为 ，单色光波的电场写为 ，其中  是  处的电场幅， 是角频率， 为时间。角频率为  的平面光波在真空中的波矢大小为 。

（1）单界面情形。如图 7a， 区域介质的折射率为 ， 区域介质的折射率为 ；一角频率为  的平面光波从左侧正入射。已知界面处两侧电场的强度  及其导数  连续。入射、反射和透射波的电场幅分别记为 、、。界面处的反射系数定义为 ，透射系数定义为 。试分别导出  和  与界面两侧折射率的关系。

（2）一维层状光子晶体情形。如图 7b， 区域的介质的折射率为 ；晶体的第一界面为 ； 区域的介质的折射率为 ； 区域的介质的折射率为 ；此后，前述两层结构作为一个周期依次排列；一共有  个完整的周期； 区域的介质的折射率为 。一单色平面光波从  区域沿  方向正入射到此光子晶体， 处的总反射系数依赖于单色平面波的角频率 。当  时，如果改变入射光的角频率，在不同角频率处反射系数的模会出现一系列主极大。

（2.1）考虑折射率  和  的差  是小量的情形。试导出  处的总反射系数  的模（用 、、、、、、 表示），结果仅保留至小量  的一阶项。并求一般情况下  的模的第  个可能的主极大的角频率  的表达式（；角频率  从小到大）。上述  满足什么条件时，对应的主极大不能实现（缺级）。如果在  处缺级，令 ， 为小量，求  的模的近似表达式（保留至非零的领头阶）。

（2.2）定义等效波矢的大小 ，其中  为此一维光子晶体的平均折射率。若以角频率为  的光波正入射到此光子晶体，导出此光波在光子晶体中从向前的等效波矢  到向后的等效波矢  的变化量与空间周期长度  的关系，并说明这个关系的物理含义。

解答（1）：由两个边界条件求振幅系数

将入射波在界面处的振幅归一化为 。由于采用  的时间约定，沿  传播的空间因子是 ，沿  传播的空间因子是 ，故

在  应用  和  的连续性：

联立得到

 的正负表示反射相位是否发生  跃变。这里的  是电场振幅系数，不是能量比例；相应的能流反射率和透射率为

最后一个等式也检验了边界条件中的符号和折射率因子。

解答（2.1）：把所有单次反射光相干相加

为缩短表达式，记

 是一个周期的几何长度， 是一个周期的单程光程， 是其中  层的单程光程。

第一步：确定哪些光路需要保留。

两类界面的反射、透射系数分别为

成对透射因子满足

因此，计算关于  的一阶反射振幅时，每条单次反射光路上的成对透射因子可取 ；经历更多次反射后再向左出射的光路属于更高阶。我们只需相加  个界面产生的单次反射。

第二步：写出每个界面的往返相位。

第  个周期（）有两个界面：

末端  左右均为 ，不再产生额外界面反射。于是

利用等比数列求和，得到

取模后即为所求：

这个结果由两部分组成： 决定一个周期内部两束反射光的合成振幅，后面的正弦比决定  个周期之间的干涉增强。正弦比分母为零时，应取极限，不能判作发散。

第三步：主极大与缺级。

相邻周期的反射光同相，要求往返相位差为  的整数倍：

因此， 时第  个可能主极大的布拉格中心为

在这个频率，周期之间的振幅叠加因子为 ，从而

即使所有周期彼此同相，若每个周期内部的两束反射光恰好相消，主极大仍不能出现。缺级条件为

等价地，两个介质层的光程同时满足

例如，若 ，则 ，偶数级全部缺失，奇数级可以出现。

这里把  称为“布拉格中心”更严谨：有限  时，单周期包络也随频率改变，实际峰顶通常会有很小偏移；远离缺级时，这种偏移相对频率间隔为 ，不影响题目要求的大  主极大条件。

第四步：在缺级附近展开。

设该  级缺失，令 。由于

总反射系数的模可写成

当  时，分别展开两个因子：

所以非零领头阶为

解答（2.2）：

按照题目约定，向前等效波矢为 ，向后等效波矢为 ，其变化量为：

变化量的大小（或向后与向前波矢之差的绝对值）为：

将等式两边同乘空间周期长度 ，得：

将发生主极大的波矢条件  代入，得到波矢变化量与空间周期长度的关系为：

物理含义 该关系的物理含义可从以下两方面理解：

• （1）波动相干视角：

•  的物理意义是：光波沿  方向正入射到晶体后，在等效介质中往返传播单位几何长度时光振动所积累的相位差。
•  则代表光波在光子晶体的一个完整空间周期  上往返传播产生的总相位差。
• 关系式表明：当入射光满足主极大条件时，光波经由任意一个周期往返传播回到前界面时，与前界面处的反射光同相位（相位差为 ）；同理，经由  个及更多周期往返返回的反射光彼此也同相位。所有周期的反射光发生完全建设性干涉（相长相干叠加），从而宏观上形成强烈的主极大反射。

• （2）晶体周期结构与布拉格衍射视角（深入本质）：

• 光子晶体的空间周期为 ，对应的倒格矢基矢大小为 。
• 波矢变化量满足 ，表明反射时光波等效波矢的改变量恰好等于倒格矢的整数倍，这正是一维周期结构中的布拉格反射条件（此时等效波矢  恰好落在第  个布里渊区边界，正反向光相干耦合打开光子带隙）。

试卷总结：

这份试卷的情境覆盖电路、机器人、超导体、航天器、浮体、等离子体和光子晶体，各题小结如下：

参考

• 题目来源：《第43届全国中学生物理竞赛复赛理论试题.pdf》，5 页。
• 核验对象：《第43届全国中学生物理竞赛复赛试题解答与评分标准.pdf》，21 页。