西电开学考第7题·20种解法(上)

第 7 题。函数方程 + 单调性，看着无从下手，其实全程只用到一句话。
题目：f(0) = 0，f(x) + f(1−x) = 1，f(x) = 2f(x/5)，f 在 [0,1] 上单调不减。求 f(1/2026)。
答案：1/32。
条件给的是「关系」，不是「表达式」—— 所以不要试图求出 f。
单调不减 + 端点是 0 和 1，意味着只有唯一一种方式能被夹住。
把 1/2026 反复乘 5，直到落进平台区间，次数就是答案的指数。
上篇 7 种：
解法一 直接迭代法 —— 把自变量反复乘 5，值就反复减半
解法二 望远镜消去法 —— 中间项两两相消，只剩首尾
解法三 平台定位法 —— 先找到「不用算就知道值」的那一段
解法四 单调夹逼法 —— 用单调性把两点相等放大成整段相等
解法五 对称翻转法 —— 用 x → 1−x 把区间镜像
解法六 五进制展开法 —— 看 1/2026 的五进制小数点后几位才非零
解法七 二进制对照法 —— 换成二进制看「减半」这件事
同一句「求函数值」，可以被读成迭代、可以被读成五进制展开、也可以被读成一条轨道落在哪。