2026全国大学生数学竞赛预赛模拟试题

模拟题第14套（非数学类/数学类）

1求极限

解放缩：

左右两边极限都是 ，由夹逼准则：

2 设函数  在  上连续，在  内可导，。证明：

(1) ，使得 ； (2) 存在两个不同点 ，使得 。

证明(1) 令 。， 在  连续，由零点定理，。

(2) 在  对  用拉格朗日：

在  对  用拉格朗日：

相乘：。证毕。

3 求不定积分

解

4 求曲线 ，直线  围成平面图形绕  轴旋转一周旋转体体积。

解圆盘法：

5 计算二重积分

解

6 求幂级数  的收敛域与和函数。

解收敛半径：。 端点 ：通项不趋于0，发散。收敛域：。

设 ，逐项积分：

两边求导：

7 已知矩阵

求  的特征值与特征向量。解特征方程：

特征值 。

：，基础解系 。 对应全部特征向量：。

：，基础解系 。 对应全部特征向量：。

8 设向量组  线性无关，证明：向量组

线性无关。

证明设 。

 线性无关，故：

系数行列式不为0，只有零解 。所以  线性无关。证毕。

9 设随机变量 ，求  的概率密度函数。

解 标准正态，。

分布函数：

当 ：

对  求导：

这就是自由度为1的卡方分布。

10 求微分方程  的通解。

解特征方程：，根 。 通解：

继续下一套吗？