拆解2026年8月广东省珠海市高三开学考第22题马尔可夫型随机游走期望题

本题为概率综合压轴题，属于马尔可夫型随机游走期望问题，深度整合离散型随机变量概率求解、无穷级数求期望、递推数列构造与期望线性性质三大核心考点，对标高考概率压轴 “状态转移建模 + 无穷期望 + 递推分析” 的命题逻辑，对状态分类能力、无穷级数求和、期望线性性质灵活运用要求较高，是检验高三概率统计模块综合建模能力的典型试题  ！

据考后数据与教研分析：

(1)离散型随机变量概率

核心：枚举路径算概率

我们结合方格位置的移动特点，分类枚举移动路径，利用分步乘法原理计算对应概率。

 (2)无穷型离散随机变量数学期望求解

核心：级数求和求期望

我们先推导随机变量取值对应的概率通项，再使用错位相减法进行无穷级数求和，结合题干极限结论得到期望结果。

(3)多状态期望递推与参数求解

核心：建立期望递推式

• 第 (1) 问：离散型随机变量概率求解题型

  考查核心：随机事件路径分析、分步分类概率计算、离散型随机变量取值对应的概率推导，重点考查“状态转移逻辑与概率分步求解思维”（根据方格移动规则，梳理所有合法移动路径，结合分步乘法、分类加法计数原理求解对应概率）。

  常用方法：路径枚举分析法、分步分类概率公式法、互斥事件概率加法公式、独立事件概率乘法公式。

• 第 (2) 问：无穷型离散随机变量数学期望求解题型

  考查核心：离散型随机变量通项公式推导、无穷等比级数求和、错位相减法运算、极限结论的活用，重点考查“概率通项构建与无穷期望的转化逻辑”（根据变量取值规律推导概率通项，结合级数求和公式求解无穷项数学期望）。

  常用方法：通项归纳法、错位相减求和法、无穷等比级数求和公式法、题干极限结论迁移应用法。

• 第 (3) 问：多状态期望递推与参数求解题型

  考查核心：数学期望线性性质、多状态变量建模、递推数列构造与化简、数列性质综合分析，重点考查“概率建模与数列递推的融合逻辑”（通过设定不同初始状态的期望变量，依托状态转移规律构建方程组，化简得到递推关系并求解参数与数列性质）。

  常用方法：状态变量设定法、期望线性建模法、方程组化简法、递推数列分析与等差数列性质用法。

• 这类题属于“离散概率、随机状态转移与数列递推的融合型综合题”，这类题型的特点是：以方格随机移动为实际问题背景，通过概率建模工具串联“特定取值概率求解→无穷型数学期望计算→多状态期望递推建模与分析”三大核心考点，前两问的概率运算、通项推导思维为第 (3) 问的复杂建模与递推分析铺垫基础，是高考中“概率建模+数列运算+综合逻辑推理”模块深度交叉考查的典型题型。