七下习题10.3:账目哪里矛盾?怎样根据方程组编题?

教材原题｜习题10.3 拓广探索

8. 一家超市的账目记录显示，某天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入396元；另一天，以同样的价格卖出同样的牙刷52支和牙膏28盒，收入518元。这个记录是否有误？如果有误，请说明理由。

9. 编一道符合实际意义的应用题，使其中的未知数满足方程组： 2x＋3y＝21， 3x＋4y＝29。 与同学交流一下，并解决这个问题。

同学们，今天讲新人教版七年级下册数学第十章第106页。第8题让我们从生活记录走向方程，第9题则反过来，从方程设计生活情境。一个检查条件是否一致，一个检查故事能否准确表达数量关系。

先猜一猜

两天的销售数量和收入都有了，是不是一定能算出牙刷、牙膏的单价？如果消元后未知数全没了，只剩下一句明显不成立的等式，问题出在哪里？先别急着求价格，我们先检查记录能不能同时成立。

01 · 同样价格，才能共用未知数

第8题：先把两天账目写成方程

设牙刷的单价为x元，牙膏的单价为y元。第一天的收入给出39x＋21y＝396；第二天的收入给出52x＋28y＝518。

这里能在两式中使用同一组x、y，依据就是题目的“同样的价格”和“同样的牙刷、牙膏”。如果忽略这个条件，两天各用一组不同单价，就不是在解原题了。

先观察系数：39与52都是13的倍数，21与28都是7的倍数。两天销售数量之间存在整齐的比例关系，这正是解题入口。

02 · 消元不仅能求数，也能发现矛盾

消元后得到0＝30，是什么意思？

把第一个方程两边同时乘4，得到156x＋84y＝1584；把第二个方程两边同时乘3，得到156x＋84y＝1554。

两个方程的左边完全一样，右边却相差30。用前式减去后式，得到0＝30，这是不可能成立的。因此不存在一组单价能够同时满足这两条记录。

所以，在题目所给条件下，账目记录有误。这里不是“算不出，所以有误”，而是已经用等式推出了矛盾，证明这些条件不能同时成立。

不用字母，也能看出矛盾

把13支牙刷和7盒牙膏看作一组商品。第一天卖的是3组，第二天卖的是4组。价格相同，每组商品的总价就应相同。

按第一天记录，每组价格为396÷3＝132元；按第二天记录，每组价格为518÷4＝129.5元。相同的一组商品出现两种总价，记录不一致。

也可以这样说：第二天两种商品的数量都是第一天的4/3，收入也应是第一天的4/3。若第一天的数量、收入及第二天的数量都正确，第二天应收入396×4÷3＝528元，而不是518元。

能否断定只把518改成528就对了？

不能无条件断定。528元是在其他相关数量和第一天收入都正确的前提下算出的应有金额。原题只能确定记录之间存在矛盾，不能仅凭这些数据判断究竟哪一天、哪一项记错。写答案时不要把条件性推断说成确定事实。

03 · 从方程回到情境，每一项都要能解释

第9题：先给x、y安排实际含义

我们可以把x设为每支圆珠笔的价格，把y设为每本练习本的价格，单位都是元。这样2x与3y分别表示两支笔和三本练习本的费用，相加为21元。

第二式也必须使用同样的含义：3x是三支笔的费用，4y是四本练习本的费用，总计29元。前后不能把x一会儿当单价，一会儿又当数量。

可以这样编题｜同价文具购物

一家文具店出售同一种圆珠笔和同一种练习本，两次购物中各商品的单价不变。小明买2支圆珠笔和3本练习本，共付21元；小红买3支圆珠笔和4本练习本，共付29元。每支圆珠笔、每本练习本各多少元？

这是一道为解释方程组而设计的应用题，不是实际商品报价。“同一种”“单价不变”让两次购物能用同一组未知数；问题中的商品数量与付款金额，分别对应方程的系数和常数。

04 · 消去一个未知数，再代回求另一个

怎样解这个方程组？

第一式乘3，得到6x＋9y＝63；第二式乘2，得到6x＋8y＝58。两式相减，消去x，得到y＝5。

把y＝5代入2x＋3y＝21，得2x＋15＝21，解得x＝3。因此每支圆珠笔3元，每本练习本5元。

代回检验：2×3＋3×5＝21，3×3＋4×5＝29。两次付款都符合题意，且单价为正数，这个情境与方程组匹配。

两道题对照：相减后发生了什么？

第8题把两个未知数同时消掉，却得到0＝30，说明无解、条件矛盾。第9题消去一个未知数后得到y＝5，再求出x＝3，得到一组符合实际意义的解。

所以不要把“能列出两个方程”误认为“一定能求出一组价格”。列式之后还要看方程之间的关系，并解释结果在情境中的含义。

名师方法｜读条件、找关系、看结果

从文字列式时，确认哪些量保持不变；按系数特点选择消元方法；消元后既看计算，也看是否出现矛盾。根据方程编题时，则反过来检查每个字母、系数和常数有没有明确的实际含义。

当堂检测

1. 第8题为何可以在两天记录中使用相同的x、y？ 2. 在其他相关数据正确的前提下，第二天收入应是多少？ 3. 按第9题求出的单价，买1支笔和2本练习本需多少元？

想好再看：同种商品的单价相同；528元；13元。

内容依据：新人教版七年级下册数学第十章第106页，习题10.3“拓广探索”第8、9题。原题见文首，文具购物为编题示例。

方程既能求答案，也能检查条件是否一致。