高中物理|从半圆凹槽到任意角度凹槽:动量守恒的递进式理解

关键词

动量守恒、机械能守恒、相对速度方向约束

完整半圆凹槽

如图所示，质量为  的光滑半圆凹槽静止在光滑水平地面上，凹槽内表面圆弧半径为 ，最低点为 。质量为  的小球（可视为质点）从  点以水平向右的初速度  运动，若能从 B 点冲出。不计空气阻力，重力加速度为 。

求：小球离开 B 点时，小球和凹槽的速度。

分析：

小球从 A→B 运动过程，水平方向动量守恒：

得：

即凹槽的速度，方向水平向右。

由机械能守恒得：

代入  得小球相对凹槽竖直方向速度：

对小球相对地面速度：

代入 、 得：

方向与水平方向夹角为  斜向右上方：

非完整半圆凹槽

如图所示，质量为  的光滑凹槽静止在光滑水平地面上，凹槽内的弧形轨道为一段半径为  的圆弧，圆心为 ，最低点为 ，右端出口为 。已知  与竖直方向  的夹角为 。现有质量为  的小球（可视为质点）从  点以水平向右的初速度  运动，小球沿凹槽内侧轨道向上运动，若能从  点飞出。重力加速度为 ，不计空气阻力。

求：小球离开 B 点时，小球和凹槽的速度。

分析：

小球从 A→B 运动过程，水平方向动量守恒：

注：与完整半圆凹槽相比，此时经过 B 点时，水平方向速度不再相同。

由机械能守恒得：

特别提醒：完整半圆凹槽问题中全过程只有两个未知数 、，一个动量守恒结合一个机械能守恒方程就能解出结果。但上面两个方程已经三个未知数，还需要建立一个方程才可以解出。

相对速度沿切线方向约束关系：

联立方程：

解出凹槽速度 

小球速度：

同理也可解得小球相对凹槽速度：

实战演练

水平地面上有一质量  的凹槽，其上表面 ABC 为圆心在 O 点、半径  的一段圆弧，AC 水平，B 点为圆弧最低点，OA、OC 与 OB 的夹角均为 ，凹槽左侧紧靠固定挡板，如图所示。现对一质量也为  的小球施加瞬时冲量  使其从 A 点沿圆弧切线方向运动。取重力加速度大小 ，不计一切摩擦和空气阻力，凹槽在运动过程中不会翻转。

（1）求小球通过最低点 B 时受到的支持力大小；

（2）求小球从 C 点离开凹槽时，凹槽运动的速度大小并判断小球是否会重新落回凹槽。如果会，请说明理由；如果不会，求出小球落至与 C 点等高处时与凹槽 C 点的距离。

分析

（1）根据动量定理求出对小球施加瞬时冲量使小球获得的速度，结合动能定理和牛顿第二定律求小球通过最低点 B 时受到的支持力大小；

（2）根据动量守恒和能量守恒定律求球到达凹槽 C 点时，速度的水平分量，竖直分量以及此时凹槽的速度，结合运动学公式求出小球落至与 C 点等高处时与凹槽 C 点的距离。

解答

解：（1）对小球施加瞬时冲量使小球获得速度 ，根据动量定理可得

小球由 A 运动到 B，根据动能定理可得

在 B 点由牛顿运动定律可得

联立解得：

（2）小球在凹槽上从 B 到 C 运动，凹槽向右加速运动。小球到达凹槽 C 点时，速度的水平分量为 ，竖直分量为 ，此时凹槽的速度为 ，对小球和凹槽的系统，水平方向动量守恒，以  的方向为正方向，可得

小球从凹槽 C 点离开，根据速度的合成分解关系可得

小球与凹槽组成的系统，根据机械能守恒可得

联立解得

小球离开凹槽后做斜抛运动，水平方向保持匀速运动，凹槽在水平面上做匀速直线运动，由于 ，小球不会重新落回凹槽。

小球落回到与凹槽 C 点等高处时间为 ，根据运动学关系 

在水平方向小球与凹槽相对运动的距离为

解得

总结

这类凹槽滑动问题，核心是抓住三条：

水平方向动量守恒，水平面光滑且无其他水平外力时，系统水平动量守恒。如果一侧有固定挡板（如实战演练题），挡板作用阶段凹槽不动，动量不守恒，需要分段处理。

机械能守恒，轨道光滑无摩擦时，系统动能与重力势能之和守恒，注意凹槽的动能也要计入。

相对速度方向约束，小球离开轨道瞬间，相对凹槽的速度一定沿切线方向。这是完整凹槽与非完整凹槽的分水岭：完整凹槽出口在最高点，切线竖直，水平方向自然共速，两个方程即可解；任意角度出口则需引入这个方向约束，联立三个方程。

不必死记最终表达式，掌握这三条，临场推导足够。