高中物理模型一(等时圆,正反恒力等时复位模型 ,矢量圆模型,运动比例模型)

1．竖平面内的等时圆模型

▲模型：如图所示的两种情况中，小球由静止开始沿各条光滑轨道（轨道的一端为圆的最高点或最低点）运动的时间相等，且等于沿圆的直径做自由落体运动的时间。

即：（d为圆的直径，R为圆的半径）

【例1】如图所示，两根长度分别为L1和L2的光滑杆AB和AC在A点垂直焊接，当按图示方式固定在竖直平面内时，将一滑环从A点由静止释放，分别沿AB和AC滑到杆的底端所用的时间相同，则下滑时间为（       ）

A．          B．

C．     D．

【答案】C

【解析】据题意，A、B、C处在一个等时圆上，圆的直径

下滑时间，C对

▲变式：若轨道两端都不为圆的最高点或最低点，则可另外构造等时圆

【例2】如图，竖直平面内有一圆，AB为其竖直直径，在圆上有两条光滑斜面轨道PM与PN，M、N两端等高。现让一个小滑块从P点由静止开始，分别沿PM、PN下滑，到达另一端所用时间分别为t1、t2，则

C．t1＞t2                        D．无法确定t1与t2的大小关系

【答案】A

【解析】因为P不是圆的最高点，不符合等时圆规律

可按PN或按PM重新构造等时圆，如图所示

根据另两轨道的末端位置，易得A正确

▲由等时圆规律，得到两种（光滑斜面）“最速线”：

①45°最速线：光滑斜面底边长度d一定，倾角为45°时，由静止从斜面顶端运动到底端的时间最短

②角平分最速线：从斜面外一点A引出一光滑斜轨道到达斜面，当轨道沿竖线和垂线的角平分线时，由静止从轨道顶端运动到底端的时间最短

2．妙招：匀变速直线运动的比例规律在n为非整数也成立

▲模型：物体做初速为0的匀加速直线运动

（1）在相等的各段时间内的位移之比

:::…:＝1:3:5:…:（2n-1）（n为非整数也成立）

（2）通过各段相等的位移所用的时间之比

:::…:＝1:（-1）:（-）:…:（-）（n为非整数也成立）

【例3】一物体从某一初速度开始做匀减速直线运动，加速度大小a＝1m/s2，最后停止下来。若物体在最初5s内通过的路程S1与最后5s内通过的路程S2之比S1∶S2＝11∶5，则物体（       ）

A．运动的总时间可能大于10s

B．运动的总时间为8s

C．初速度为10m/s

D．路程之差S1-S2＝15m

【答案】B

【解析】设运动总时间为n个5s，则S1∶S2＝11∶5＝（2n−1）∶1

解得n＝1.6，总时间为t＝8s，A错B对；

用逆程法得初速度v0＝at＝8m/s，C错；

由位移公式得，用逆程法得

则，D错

3．正反恒力等时复位模型（3倍力2倍速规律）

▲模型：物体受恒力F1作用从静止开始做匀加速直线运动，经时间t速度大小为v1；此后受力变为反向的恒力F2，经等长时间t速度大小变为v2并返回出发点。则F2＝3F1（a2＝3a1），v2＝2v1。

【例4】质量为m的带正电小球由空中A点无初速度自由下落，在经时间t加上竖直向上、范围足够大的匀强电场，再经过时间t小球又回到A点，不计空气阻力且小球从未落地，重力加速度为g。则（       ）

A．整个过程中小球电势能变化了

B．整个过程中小球动量增量的大小为

C．从加电场开始到小球运动到最低点时小球动能变化了

D．从A点到最低点小球重力势能变化了

【答案】BD

【解析】A：由等时复位规律，得所加电场力F电＝4mg。（加电场后，合力为重力的3倍，则电场力为重力的4倍）

自由下落高度，则加电场后经时间t上升的高度

电势能的变化量，A错；

B：由等时复位规律，知整个过程末速度大小，则动量增量大小，B对；

C：开始加电场时，运动到最低点时速度为0，则动能变化量，C错；

D：由等时复位规律，知A点到最低点的高度，

则重力势能减小量，D对。

【例5】如图所示，足够长的光滑细杆倾斜37°固定，一质量m＝0.3kg的小环套在杆上位于杆的底端O点。现对小环施加一个竖直向上的恒定拉力F，作用时间t1＝3s后撤去该力，小环再经时间t2＝3s恰好返回杆的底端O点。取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，下列说法正确的有（       ）

A．恒力F＝4N

B．滑块返回O端时的速度为6m/s

C．滑块上滑时间为4s

D．力F做功36J

【答案】AC

【解析】小环重力沿杆方向的分力Gx＝mgsin37°＝1.8N。

沿杆方向为等时复位模型，则

，A对；

有F时，由动量定理得

则返回O端时的速度，B错；

上滑时间，C对；

有F时的位移，F做的功，D错。

▲注意：若出现“增加一个力”或“撤去一个力”情况，往往会出现“4倍力”等关系

（原来受F1作用，经时间t反方向增加一个力F2，再经时间t复位）

4．“恒力对恒角”动态平衡规律：对角垂直力最大

▲模型：三共点力的动态平衡，如果存在一组恒力对恒角情况，则可用“对角垂直力最大”秒杀

▲推导：拉密定理

【例6】如图所示，两根轻绳的一端系于结点O，另一端分别系于圆环上的A、B两点，O为圆心。O点悬挂一物体M，绳OA水平，拉力大小为FA；绳OB与OA的夹角θ＝150°，绳OB的拉力大小为FB。将圆环在竖直平面内沿顺时针方向缓慢转过75°，则在转动过程中，下列说法正确的是（       ）

A．FA逐渐增大

B．FA先增后减

C．FB逐渐减小

D．FB先减后增

【答案】BC

【解析】转动过程中，

FA所对的角α从120°变到45°，中间取得90°时FA最大，所以FA先增后减，A错B对；

FB所对的角β从90°变到165°，逐渐远离90°，所以FB逐渐减小，C对D错。

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