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【小学数学模模型】14|和倍模型和除以倍数加一,先求小份
数学模型 · 小学数学 · 第 14 篇
14｜和倍模型
和除以倍数加一，先求小份
一、开门见山：这节课解决什么问题
果园里梨树和桃树一共 240 棵，梨树是桃树的 3 倍，两种树各多少棵？同学们，这样的题你一定见过——已知两个数的和与倍数关系，求这两个数。这就是应用题世界里出场率最高的「和倍问题」，小升初应用题的必考题型。它看着简单，可不少同学列式时一会儿除以 3、一会儿除以 4，算来算去把自己绕晕了。这节课我们用一个模型、一幅线段图，把这类题一次讲透：读完题就知道谁是「1 倍量」、一共几份、一步除法出答案。
二、知识清单：先把地基打牢
●倍的认识：「甲是乙的 3 倍」意思是甲里面有 3 个乙那么多。乙是「1 倍量」（也叫 1 份量），甲是「3 倍量」。
●线段图的画法：用一段线段表示 1 倍量，几倍就画几段同样长的线段。和倍模型百分之九十的功夫在线段图上，图一画，答案就「看见」了。
●除法平均分的意义：总数 ÷ 份数 = 每份。和倍模型的最后一步永远是「和 ÷ 总份数」。
●份数思想：把「1 倍量」看作 1 份，大数就是几份，和就是「倍数 + 1」份——这是模型的核心，比背公式更重要。
●验算习惯：求出两个数后，加一加看是否等于和、除一除看是否满足倍数，十秒钟保平安。
三、概念讲透：这个模型到底在说什么
和倍模型的内容一句话：把小数看作 1 倍量，和 ÷（倍数 + 1）= 小数，小数 × 倍数 = 大数。 画线段图时，小数画 1 段，大数画同样长的几段。
为什么是「倍数 + 1」？我们来推一推，同学们千万别死记。设小数是 1 份，大数是小数的 n 倍，那就是 n 份。两个数合起来，总共 1+n 份，而「和」这个数恰好被这 n+1 份平分——所以每一份（也就是小数）= 和 ÷(n+1)。你看，所谓的公式其实就是「总数 ÷ 总份数 = 每份数」，这是二年级就学的平均分！和倍模型并没有发明新东西，它只是教你把倍数关系翻译成份数。例题里梨树是桃树的 3 倍：桃树 1 段、梨树 3 段，一共 4 段装着 240 棵树，每段 240÷4=60 棵——一目了然。
那什么时候用？题干特征：①同时出现「共」「一共」「总和」这样的和；②又出现「是……的几倍」「占……的几分之几」这样的倍数（比例）关系。两条都有，就是和倍问题。要区分两个易混模型：如果题目给的是「甲比乙多 36」这类差，那要用我们下一讲的差倍模型（差 ÷ (倍数 − 1)）；如果和与差同时给，那是「和差问题」。「和用加一、差用减一」，方向千万别串。另外提醒：倍数不一定是整数，「甲是乙的 1.5 倍」同样按 1.5 + 1 = 2.5 份处理；「甲是乙的 13」就把乙看作 1 份、甲 13 份，或者干脆把甲看作 1 份、乙 3 份——哪种份数是整数就用哪种。
四、核心公式（每个字母都要认识）
●小数：被比的那个量，标准「1 倍量」，占 1 份。谁是 1 倍量？看「谁是谁的几倍」这句话里后半句的那个谁。
●和：两个数的总和，被「倍数 + 1」份平分。
●倍数：大数是小数的几倍（可以是小数、分数）。
●倍数 + 1：总份数，最容易错的地方——不是除以倍数本身！
●大数 = 和 − 小数：也可以用「小数 × 倍数」，两种算法互为验算。
●变形（带余量）：若「大数比小数的 n 倍多 a」，先从和中减去 a（变少则加回），再按 n+1 份分。
五、图形长什么样
模型结构示意图
拿到和倍题，按四步走：
●第一步：定 1 倍量。找「是……的几倍」这句话，被比的那个量是 1 倍量（通常是较小的数）。
●第二步：画线段图。小数 1 段，大数 n 段，图上标出「和」对应的大括号，总份数 n+1 一眼可见。
●第三步：一步除法。小数 = 和 ÷ (倍数 + 1)。
●第四步：求大数并验算。大数 = 和 − 小数；用「小数 × 倍数」复核，再看两数之和是否等于原「和」。
六、标准解题流程
1设小数（1 倍量）为标准画线段图。
批注 线段图是和倍题的「开卷考试」，别嫌画图慢——段数画错，后面全错；被比的量才是 1 倍量，别把大数画成 1 段。
2大数画成倍数段，总段数 = 倍数 + 1。
批注 「+1」加的是小数自己那一段，题目问的是「两数之和」，别只数大数的段数。
3小数 = 和 ÷（倍数 + 1）。
批注 这一步是模型的心脏；除数是总份数，不是倍数，考场上写之前默念一遍「总共几份」。
4大数 = 和 − 小数 或 小数 × 倍数。
批注 优先用「和 − 小数」，数字小不易错；再用另一种算法验算，双保险。
七、例题精讲：从基础到变式
例1（基础）
题目
果园里梨树和桃树共 240 棵，梨树是桃树的 3 倍。两种树各有多少棵？
审题关键
圈出「共 240 棵」——这是和；圈出「梨树是桃树的 3 倍」——桃树是被比的量，是 1 倍量，画 1 段；梨树画 3 段。
规范解答
桃树是 1 倍量，画 1 段；梨树是桃树的 3 倍，画同样长的 3 段。240 棵对应 3+1=4 份，每份
桃树=240÷4=60（棵），梨树=60×3=180（棵）
验算：180+60=240 ✓，180÷60=3 ✓。
方法提炼
和倍题的第一动作永远是问「谁是 1 倍量」——「梨树是桃树的 3 倍」里，桃树是标准；定了标准，份数（4 份）自动浮出，一步除法定乾坤。
例2（变式）
题目
（变式）师徒共加工零件 120 个，师傅加工的比徒弟的 2 倍还多 15 个。徒弟加工多少个？
审题关键
圈出「比徒弟的 2 倍还多 15」——倍数关系不纯净，多出 15 个「尾巴」；先把 15 个从总量里剔除，变成纯和倍。
规范解答
先去掉多出的 15 个：120−15=105 个，这 105 个恰好对应徒弟 1 份、师傅 2 份，共 2+1=3 份：
徒弟=105÷3=35（个），师傅=120−35=85（个）
验证：35×2+15=85 ✓，35+85=120 ✓。
方法提炼
变式在标准模型上加了「多 15」的余量——「先剔除多余量，还原纯倍数关系」再分份。多的先减、少的先补，这是和倍模型的万能预处理。
八、小升初常考题型精讲
题型一：标准和倍型
题目
图书馆故事书和科技书共 320 本，故事书是科技书的 3 倍。故事书有 ____ 本。
审题关键
科技书是被比量 → 1 份；故事书 3 份；320 本对应 4 份。
规范解答
共 3+1=4 份，科技书 =320÷4=80（本），故事书 =80×3=240（本）。验算 80+240=320 ✓。
方法提炼
题目问大数时，也要先求 1 倍量再乘倍数——「先求 1 份，再求几份」，顺序不乱。
题型二：整数倍选择题
题目
水果店运来苹果和梨共 450 千克，苹果的质量是梨的 2 倍，梨有（ ）
A．150 千克 B．180 千克 C．225 千克 D．300 千克
审题关键
问的是梨（1 倍量）；选项 C 是 450 的一半，是忘了「2 倍 + 自己 = 3 份」的同学跳的坑。
规范解答
梨是 1 倍量，苹果 2 倍，共 2+1=3 份：
梨=450÷3=150（千克），苹果=150×2=300（千克）
方法提炼
「2 倍」不等于「平分」——有倍数关系时，份数是「倍数 + 1」，半分只有两数相等时才对。
题型三：分数倍型
题目
师徒两人共加工零件 120 个，徒弟加工的是师傅的 13，师傅加工了 ____ 个。
审题关键
倍数是分数 13——把徒弟看作 1 份，师傅就是 3 份；「是……的 13」反过来读：师傅是徒弟的 3 倍。
规范解答
把徒弟看作 1 份、师傅 3 份，共 4 份：每份 =120÷4=30，
师傅=30×3=90（个），徒弟=30（个）
方法提炼
分数倍数可以「倒过来看」——「甲是乙的 1n」等价于「乙是甲的 n 倍」，怎么画段数是整数就怎么设。
题型四：小数倍型
题目
甲乙两仓共存粮 600 吨，甲仓存粮是乙仓的 1.5 倍，乙仓存粮 ____ 吨。
审题关键
倍数是 1.5——总份数 1.5+1=2.5 份，小数倍照样按份数处理，别慌。
规范解答
乙仓 1 份、甲仓 1.5 份，共 2.5 份装 600 吨：
乙仓=600÷2.5=240（吨），甲仓=240×1.5=360（吨）
方法提炼
600÷2.5 可以先乘 2 再除 5：600×2=1200，1200÷5=240；份数是小数时，线段图上画「半段」帮助理解。
题型五：先补倍再分份型
题目
药店有中药和西药共 880 盒，中药比西药的 3 倍少 40 盒，西药有（ ）
A．230 盒 B．220 盒 C．240 盒 D．210 盒
审题关键
圈出「比西药的 3 倍少 40」——先给中药补上 40 盒，它恰好是西药的 3 倍，总量同步加 40。
规范解答
把中药补上 40 盒恰好是西药的 3 倍，总量也补成 880+40=920 盒，共 3+1=4 份：
西药=920÷4=230（盒），中药=880−230=650（盒）
验证：650+40=690=230×3 ✓。
方法提炼
「少 40」就先补 40（和同步加）、「多 15」就先去 15（和同步减），归整成纯倍数后再分份——「先补倍，再分份」。
九、真题再现：经典考题拆解
（经典考题）
题目
兄妹两人共有邮票 105 张，哥哥的邮票张数是妹妹的 2 倍。哥哥比妹妹多多少张邮票？
审题关键
表面问「差」，但给的条件是「和 + 倍数」——先用和倍模型求出两人各多少张，再做减法。
规范解答
妹妹 1 份、哥哥 2 份，共 2+1=3 份装 105 张：
妹妹=105÷3=35（张），哥哥=35×2=70（张）
差=70−35=35（张）
方法提炼
和倍、差倍常常「组合出题」——本题先和倍后作差。注意一个巧合：哥哥 2 倍时，多出的 1 份恰好等于妹妹的张数，答案一眼可查。
（改编自常见考题）
题目
一根绳子长 48 米，剪成两段，第一段是第二段的 3 倍。第二段比第一段短多少米？
审题关键
绳子「剪成两段」——两段之和 48 米；「第一段是第二段的 3 倍」给倍数。还是和倍 + 作差。
规范解答
第二段 1 份、第一段 3 份，共 4 份：
第二段=48÷4=12（米），第一段=12×3=36（米）
第二段比第一段短=36−12=24（米）
方法提炼
应用题千变万化，内核只有一句「和 ÷ 总份数」——认准「和 + 倍数」这对条件组合，无论问什么都能一步步问到位。
十、易错点与避坑指南
✗ 常见错误见「3 倍」就除以 3，240÷3=80 当小数。→
✓ 正确做法份数 = 倍数 + 1，不是倍数本身！除之前先画线段图数一数总段数，240÷4=60 才对。
✗ 常见错误「比几倍多 a」直接拿原始的和去除以份数。→
✓ 正确做法「比几倍多/少 a」要先加减 a 归整为纯倍数关系——多 a 就从和中减 a，少 a 就给和加上 a，归整完再分份。
✗ 常见错误把「梨树是桃树的 3 倍」里的大数梨树当成 1 倍量。→
✓ 正确做法被比的对象（「是谁的几倍」的谁）才是 1 倍量；谁被比，谁画 1 段，动笔前指认一遍。
✗ 常见错误算出小数就写答，忘了题目问的是大数。→
✓ 正确做法答前圈出题目问句——问大数就「小数 × 倍数」或「和 − 小数」，并用另一种算法验算。
