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Evan Chen 第四章 习题(1)
第四章 习题（1）
这一章确实有点难度，但是也很有趣。
证明：
看到圆加两个垂足的连线，直接无脑做第三个，利用 “西姆松定理” 即可。
这里做出第三个垂足 ，那么很显然， 共线，所以四边形 为矩形，对角线互相平分。
证毕。
证明：
由 “鸡爪定理”，，， 分别为 外接圆上劣弧 ，， 的中点，所以 就是 的外心。
证毕。
证明：
由射影定理，因为
所以
也就是说， 是 外接圆上 和 处切线的交点。
同理可得另外两个点也都是切线的交点。
所以我们就可以把视角放大了：
其实 就是 的内切圆，三个切点就是 ，，。
因此，，， 三线交于 的 Gergonne 点！
证毕。
注：不知道这个 Gergonne 点（又称 “切心”、“热尔岗点” 等等）是谁也没关系，我们在上一章中利用 塞瓦定理 已经轻松证明过这件事了。（见 习题 3.16）
当然，也可以直接看出那三条线是三条类似中线，然后直接断言这三条线交于重心的等角共轭点！
证明：
这个完全就是前面 “4.1 西姆松线再探” 的内容啊……
我直接把那个图复制过来了，显然这个定点就是 的垂心 。
证毕。
分析：这里面 比较好刻画，（死算都能算出来对吧）
主要是这个 实在不太好算，究其原因还是 这个点比较恶心。
那么我们就要看一看怎么处理这个 点：
与点 相关的元素只有直线 和直线 ，但是这二者之中显然直线 更好用，而 的性质就是垂直于 。
也就是说，点 最重要的性质就是这个垂直。
因此如果我们想要处理点 ，必须用上这个垂直的性质。
那么我们就要想想怎么利用垂直把这个 的长度给搞出来。
我们还有什么条件没用上呢？当然就是这个 了！
那么我们就发现了有一组平行线！
如下图所示，就可以轻松算出 和 之比了。
同理还能算出 和 之比，如下：
那么只要使用一点三角计算我们就可以得出答案了。
证明：
因为
所以
而
所以
因此
答案就是 。
注：这道题还有一个不太自然的纯几何做法，就是直接去证明 。
具体想法就是转化视角，以 为主体，这样 就是内心， 就是旁心。
所以用一下前面有关内心和旁心的性质即得结论。
分析：这里这个弓内切圆的构型非常明显，所以我们肯定要连一下 。
然后我们可以知道，
所以只需证
那么导比例这件事情，本身用得最多的方法就是 导相似，更何况这里直接出现了两个三角形 和 ，所以我们只需要证明它们俩相似即可！
而我们要证的结论是比例相等，所以我们证明相似要用的就是导角相等。
我们已经有一个角相等了，只需要选择剩下一个即可。
证明 有点困难，毕竟 这条线连接了两个最晚出现的点，比较“悬空”，非常难处理。
因此我们尝试考虑证明 ，也就是去证明 。
这件事情就比较简单了。
显然我们可以知道 与两个小圆都相切（因为 对两个圆等幂），因此只需要证明 是连心线即可。
而 是切点，肯定在连心线上，所以只需要说明 也在连心线上即可。
我们观察到 ，所以 ，所以 和 是对径点。而 和 也是！
所以这两个圆的位似中心就是 ，所以 在连心线上。
当然，这个题也可以用反演做，遇到这种弓内切圆的构型一般只要以 为位似中心， 为反演半径无脑反演即可，这边我就不讲思路了，直接贴出过程。
证明：
【法一】：
显然 共线，而且
所以
因此
因此 和 是对径点。而 和 也是！
所以 和 的位似中心就是 ，因而 在这两个小圆的连心线上。
而 是切点，显然也在连心线上。
所以直线 就是这两个圆的连心线！
而 对这两个圆的幂相等，所以 在这两个圆的根轴上，而这两个圆切于 ，所以 就是这两个圆的根轴（公切线）。
所以
所以
再结合
可知
所以
证毕。
【法二】：（反演）
【引理】：，， 共线。
显然 ，， 共线，而且 ，所以导比例易得 ，所以 ，， 共线。
（当然也可以利用 是两个圆的反向位似中心证明）
证毕。
以黑色的圆为基圆进行反演（ 为反演中心， 为反演半径）。
（此时变换后的点都用蓝色的标签标出了，红色圆与红色直线对应，紫色直线与紫色圆对应。）
首先显然的事情是：（“”表示反演变换后的对应关系）
所以再结合这两个小圆的相切关系在反演后不变可得
所以再结合这俩圆反演后还是相切的这一点可得：
因为
所以反演后：
并且 共线。
而我们前面也证过了
所以
因此
所以
这也就是说，反演前 经过反演中心 ，所以这个圆反演后的像 就是一条不过 的直线。
这也就是说，，， 共线。
而由引理， 也在这条直线上。
然后我们过 作 的垂线，与直线 交于点 。
这样就有
而我们易得四边形 就是个矩形，那么显然有
所以可得
证毕。
注：我们其实还可以发现 在这个反演的基圆上。
这是因为 ，所以 。
因此其实 长度就是反演半径！
所以我们还可以把这道题目再改得难一点，就是把题目结论里面的“”换成“”。
