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高中数学每日一题10月30日:隐零点与极值点偏移
👋同学们看过来！这道题是2025新高考II卷的导数压轴题，17分！很多同学看到就头大！别怕！其实就是考"隐零点"这一个核心方法，学会了就一通百通！
📌 现在跟着小贺老师来看这个题！
✏️ 记得拿笔，圈出关键部分！📚 基础知识点记得积累！
🎯 为什么要讲这个题？
✅ 这是新高考导数压轴题的典型考法！
✅ 隐零点是导数大题的必考题型！
✅ 学会这一道，类似的压轴题都会做！
💡 这个题可以学到什么？
✅ 学会隐零点的"设而不求"方法！
✅ 学会极值点和零点的证明套路！
✅ 学会比较大小的放缩技巧！
✅ 学会导数大题的答题规范！
已知函数 f(x)=ln(1+x)−x+½x²−kx³，其中参数 k 满足 0<k<1/3。
(1) 证明：f(x) 在区间 (0,+∞) 存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2) 设 x₁, x₂ 分别为 f(x) 在区间 (0,+∞) 的极值点和零点。
(i) 设函数 g(t)=f(x₁+t)−f(x₁−t)，证明：g(t) 在区间 (0,x₁) 单调递减；
(ii) 比较 x₂ 与 2x₁ 的大小，并证明你的结论。
🧠 先整体说一下：这道题考什么？
✅ 第(1)问：考隐零点的证明（极值点+零点唯一性）✅ 第(2)(i)问：考构造函数证明单调性✅ 第(2)(ii)问：考比较大小的放缩技巧
| 第一步 | ||
| 第二步 | ||
| 第三步 | ||
| 第四步 |
| 证明存在唯一零点 | |
| 隐零点/设而不求 | |
| f(x₁+t)−f(x₁−t) | |
| 比较x₂和2x₁大小 | |
| 极值点偏移 |
隐零点的"设而不求"方法！
什么是隐零点？就是导数方程解不出来，但是我们知道它存在！
证明唯一性的套路：先证存在性，再证唯一性
💡 三步法：求导 → 分析导数单调性 → 零点存在定理！
① 看到"唯一零点"，你想到什么？
👉 单调性 + 零点存在定理！
一个函数如果先增后减，那它最多有两个零点！要证明只有一个零点，就得用零点存在定理，证明在某个区间两端函数值异号！
② 看到"唯一极值点"，你想到什么？
👉 导函数f'(x)=0只有唯一解！
极值点就是导数变号的点，也就是f'(x)=0的点！要证明只有一个极值点，就得证明f'(x)=0只有一个解，而且f'(x)在这个点两边变号！
③ 导函数f'(x)=0有一个解，意味着什么？
👉 函数f(x)在这个点"拐弯"了！
如果f'(x)从正变负，那f(x)就是先增后减，这个点就是极大值点！函数从上升变成下降，就像一个小山丘的山顶！
④ 既然中间拐弯了，为什么还只有一个零点？
👉 因为我们知道f(0)=0，而且f(x)在(0,x₁)上是递增的！
所以f(x₁) > f(0) = 0，也就是最高点在x轴上方！然后f(x)在(x₁,+∞)上递减，而且x→+∞时f(x)→−∞，所以在(x₁,+∞)上只会穿过x轴一次！
f(0)=0（不算区间里），f(x₁)>0，右边下降穿过x轴，有唯一零点x₂！
如果右边下降但一直在x轴上方，就没有零点！所以要证明f(x)→−∞！
💡 一句话总结：f(0)=0不算在区间里！要证明(0,+∞)上有唯一零点，就要证明f(x₁)>0（最高点在x轴上方），而且f(x)→−∞（右边会落到x轴下方）！
通分化简：
因为 x>0，所以 x²>0，1+x>0，符号全由 1−3kx 决定！
令 f'(x)=0，解得 x = 1/(3k) > 0！
✅ 当 0 < x < 1/(3k) 时，1−3kx>0，所以 f'(x)>0，f(x)单调递增！
✅ 当 x > 1/(3k) 时，1−3kx<0，所以 f'(x)<0，f(x)单调递减！
👉 所以 x₁ = 1/(3k) 就是f(x)在(0,+∞)上唯一的极值点，而且是极大值点！
先看特殊值：f(0) = ln1 − 0 + 0 − 0 = 0！
因为f(x)在(0,x₁)上单调递增，所以 f(x₁) > f(0) = 0！
再看x→+∞时：−kx³ 是主导项，趋向于−∞！
👉 所以在 (x₁, +∞) 上，f(x)从正数递减到−∞，根据零点存在定理，存在唯一的 x₂ ∈ (x₁, +∞)，使得 f(x₂) = 0！
构造函数证明单调性！
看到 f(x₁+t)−f(x₁−t) 这种对称构造，第一反应就是求导！
💡 套路：构造新函数 → 求导 → 分析导数符号 → 得出单调性！
注意！这里是链式法则，里面的导数别忘了加负号！
把 f'(x) = x²(1−3kx)/(1+x) 代入g'(t)，然后利用 x₁ = 1/(3k)，也就是 3kx₁ = 1！
化简后得到：
因为 0 < t < x₁，所以：
✅ 分子里的t>0，x₁²>0，括号里的都是正数，所以分子整体是负的！
✅ 分母里的 (x₁+1)² − t² > (x₁+1)² − x₁² = 2x₁ + 1 > 0，所以分母是正的！
👉 所以 g'(t) < 0！g(t)在(0,x₁)上单调递减！
极值点偏移的判断！
比较x₂和2x₁的大小，就是看右边的零点和极值点的距离，跟左边f(0)到极值点的距离比一比！
如果x₂=2x₁，那右边的距离x₂−x₁就等于左边的距离x₁−0=x₁，也就是关于极值点对称！
💡 套路：利用g(t)的单调性 → 取t=x₁ → 比较f(2x₁)和f(0)的大小！
因为g(t)在(0,x₁)上单调递减，所以当 0 < t < x₁ 时，g(t) < g(0) = 0！
也就是：f(x₁+t) < f(x₁−t)！
代入上式：f(x₁+x₁) < f(x₁−x₁)！
也就是：f(2x₁) < f(0)！
而我们知道 f(0) = 0，所以 f(2x₁) < 0！
我们知道：f(x₂) = 0，而且 f(2x₁) < 0！
因为f(x)在(x₁, +∞)上是单调递减的！
f值越小，x值越大！
👉 因为 f(2x₁) < f(x₂) = 0，所以 2x₁ > x₂！
👉 也就是：x₂ < 2x₁！
✅ 基本初等函数求导公式（ln(1+x)、xⁿ）
✅ 导数的四则运算（通分化简）
✅ 利用导数判断函数单调性
✅ 函数极值点的概念（导数为0+左右变号）
✅ 零点存在定理（f(a)·f(b)<0→有零点）
✅ 隐零点的"设而不求"方法
✅ 构造函数证明单调性
✅ 利用单调性比较大小（放缩法）
✅ 极限思想（x→+∞时函数趋向）
什么是极值点偏移？
如果函数f(x)在x=x₁处取极大值，而且f(a)=f(b)=0（a<x₁<b），那如果b−x₁≠x₁−a，就叫极值点偏移！
👉 如果b−x₁ < x₁−a，就是"右偏"（右边的零点离极值点更近）！
👉 如果b−x₁ > x₁−a，就是"左偏"（右边的零点离极值点更远）！
那这道题呢？
我们知道f(0)=0，f(x₂)=0，而且x₁是极大值点！
左边f(0)这个点，距离极值点x₁的距离是x₁−0=x₁！
右边的零点x=x₂，距离极值点x₁的距离是x₂−x₁！
我们证明了x₂<2x₁，也就是x₂−x₁<x₁！
👉 所以：右边的距离 < 左边的距离！这就是极值点右偏！
极值点偏移三步法：
1. 构造对称函数：g(t)=f(x₀+t)−f(x₀−t)（x₀是极值点）
2. 求g'(t)，判断g(t)的单调性
3. 取特殊值，比较f(x₀+t)和f(x₀−t)的大小，利用单调性得出结论！
💡 你看！这道题的第(2)(i)问就是让你构造g(t)！第(2)(ii)问就是让你用g(t)的结论，取t=x₁，比较f(2x₁)和f(0)的大小！这不就是标准的极值点偏移考法吗！
| ① 题目直接让你构造f(x₀+t)−f(x₀−t) | |
| ② 比较两个零点和极值点的距离 | |
| ③ 比较x₁+x₂和2x₀的大小 | |
| ④ 已知f(a)=f(b)，比较a+b和2x₀ | |
| ⑤ 证明f(x₀+t)和f(x₀−t)的大小关系 |
第一步：找极值点x₀！
先求导，找到f'(x₀)=0的点，那就是极值点！
第二步：构造对称函数！
设g(t) = f(x₀ + t) − f(x₀ − t)！
这个函数的意思就是：在极值点左边t处和右边t处，函数值差多少！
第三步：对g(t)求导！
g'(t) = f'(x₀ + t) − f'(x₀ − t)·(−1) = f'(x₀ + t) + f'(x₀ − t)！
注意！这里是链式法则，里面的导数别忘了加负号！
第四步：分析g'(t)的符号！
因为x₀是极值点，所以f'(x₀)=0！
然后看f'(x)在x₀左边和右边的单调性，就能判断g'(t)的符号了！
第五步：取特殊值！
一般取t=x₀，那就是比较f(2x₀)和f(0)的大小！
然后利用f(x)的单调性，得出x₁和x₂的位置关系！
因为 g(0) = f(x₀) − f(x₀) = 0！
所以如果g(t)在t>0时单调递减，那 g(t) < g(0) = 0！
也就是：f(x₀+t) < f(x₀−t)！
👉 一句话总结：g(0)=0，减就是f(右)<f(左)，增就是f(右)>f(左)！
因为极值点偏移的本质就是：函数在极值点左边和右边的"增长速度不一样"！
对称函数g(t)就是在比较：同样走t的距离，左边和右边的函数值变化一样吗？
如果一样，那就是对称的，没有偏移！
如果不一样，那就是有偏移！哪边变化快，哪边的零点就更近！
💡 就像两个人跑步！左边跑t米和右边跑t米，谁跑得快？跑得快的那边，先碰到零点！
坑1：求导算错！
ln(1+x)的导数是1/(1+x)，别写成1/x！x³的导数是3x²，别漏系数！
坑2：忘记通分！
导数算出来是分式，一定要通分化简，不然看不出来符号！
坑3：比较大小搞反方向！
在递减区间，f值越大，x越小！别搞反了！
坑4：答题不规范！
一定要写清楚"由零点存在定理"、"因为f(x)在...上单调..."这些话，不然扣分！
✅ 隐零点是新高考导数压轴题的必考题型！
✅ 一般出现在第18-19题，难度较大，区分度高！
✅ 主要考：求导、单调性分析、零点存在定理、设而不求、放缩比较！
💡 这种题只要掌握方法，就是拉分题！
1. 先把求导练熟！基本初等函数导数表要烂熟于心！
2. 多练零点存在定理的证明题，掌握"先证存在，再证唯一"的套路！
3. 隐零点的题，一定要学会"设而不求"，别硬算！
4. 考试的时候，分步骤写，哪怕最后一问没做出来，前面的步骤分也要拿到！
已知函数 f(x) = eˣ − ax − 1，其中 a > 1。
(1) 证明：f(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点；
(2) 设x₀是f(x)在(0,+∞)上的零点，证明：x₀ > ln a。
💡 提示：和今天讲的方法一样！先求导，分析单调性，再用零点存在定理！
👉 第(1)问：证明存在唯一零点
求导！
分析导数符号，找极值点！
令 f'(x) = 0，解得 x = ln a！
✅ 当 0 < x < ln a 时，eˣ < a，所以 f'(x) < 0，f(x)单调递减！
✅ 当 x > ln a 时，eˣ > a，所以 f'(x) > 0，f(x)单调递增！
👉 所以 x = ln a 是f(x)在(0,+∞)上唯一的极小值点！
证明零点存在！
先算特殊值：f(0) = e⁰ − 0 − 1 = 0！
因为f(x)在(0, ln a)上单调递减，所以 f(ln a) < f(0) = 0！
再看x→+∞时：eˣ 是主导项，趋向于+∞！
👉 所以在 (ln a, +∞) 上，f(x)从负数递增到+∞，根据零点存在定理，存在唯一的 x₀ ∈ (ln a, +∞)，使得 f(x₀) = 0！
👉 第(2)问：证明 x₀ > ln a
利用单调性！
我们知道：f(x)在(ln a, +∞)上单调递增！
而且 f(ln a) < 0，f(x₀) = 0！
👉 因为f(x)在(ln a, +∞)上递增，f值越大，x值越大！
所以 f(x₀) = 0 > f(ln a)，就意味着 x₀ > ln a！
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