ARTICLE · 1326597
AI聊数学:第二章第一节:习题2-1第4-10题 同济大学《高等数学》第8版上册)
不断扩容的专业高质知识库，成为学生和教师检索信息、解决问题的智能化工具。特别擅长数学软件GeoGebra相关使用，为数学教与学首选智能体，安全起见，建议到本公众号扫码。
“学生身边的数学”ima知识库
以上“免费播客系列视频结构化链接”知识库极为方便地打开本公众号自创的各个免费数学播客系列视频，每个文件的摘要是掌握学习进度的助手。一年365天订阅费1元。
其他众多免费知识库提供教案、学案、教学PPT、考题、测试卷、专题讲义等大量数学教与学资源，以及英文资料、数学竞赛等拓展性资源，可通过本公众号菜单进入，或到ima中检索“学生身边的数学”知识号。
ima免费领新人算力福利地址：
https://ima.qq.com/copilot-invite-reward-token/assist/V_5sH_yCk-2uWxsf86efmg
同学们好，我是小棠！
我是小昊！今天我们来讲解习题2-1的第4到第10题，全部围绕导数的定义与基本运算。
这几道题含金量很高——有巧用定义求导的，有证明余弦导数的，还有左右导数和充要条件的讨论！
没错，每一道都值得细细品味。咱们开始！
第4题：巧用定义求f'(1)
第4题：设函数埃夫埃克斯等于括号埃克斯减1乘埃克斯减2一直乘到埃克斯减恩，除以括号埃克斯加1乘埃克斯加2一直乘到埃克斯加恩，求埃夫一撇1。
这道题如果硬求导再代入，太复杂了——分子分母都是恩个因式的连乘积！但如果我们回到导数定义，事情就变得简单了。
用极限定义来算？
对！埃夫一撇1等于当埃克斯趋于1时，埃夫埃克斯减埃夫1除以埃克斯减1。关键在于——埃夫1等于多少？把埃克斯等于1代入，分子第一项1减1等于0，整个分子为0！所以埃夫1等于0。
那极限就变成埃克斯趋于1时，埃夫埃克斯除以埃克斯减1了？
对！而埃夫埃克斯的分子正好有埃克斯减1这个因式！约掉之后，极限就等于把埃克斯等于1代入约分后的表达式——分子变成1减2乘1减3一直乘到1减恩，分母变成1加1乘1加2一直乘到1加恩。
分子是负1乘负2一直乘到负括号恩减1……
对！1减2是负1，1减3是负2，……，1减恩是负括号恩减1。一共恩减1个负号，所以分子等于负1的恩减1次方乘以1乘2一直乘到恩减1。分母就是2乘3一直乘到恩乘恩加1。
所以最终结果……
负1的恩减1次方，除以恩乘恩加1！
解题要点：连乘积型函数在零点处的导数，优先回到定义——埃夫1等于0让极限简化，分子恰好含埃克斯减1因式可约分，这就是"定义的威力"。
第5题：证明余弦的导数
第5题：证明扣赛因埃克斯的导数等于负赛因埃克斯。
用定义来证！扣赛因的导数等于极限，当德尔塔埃克斯趋于0时，扣赛因括号埃克斯加德尔塔埃克斯减扣赛因埃克斯，除以德尔塔埃克斯。
这个差怎么化简？
用和差化积！扣赛因阿减扣赛因贝等于负2赛因2分之阿加贝乘赛因2分之阿减贝。令阿等于埃克斯加德尔塔埃克斯，贝等于埃克斯，代入得到——
分子变成负2赛因括号埃克斯加2分之德尔塔埃克斯乘赛因2分之德尔塔埃克斯。
然后除以德尔塔埃克斯……
把赛因2分之德尔塔埃克斯除以2分之德尔塔埃克斯这个因子凑出来——这是经典的"赛因比自变量趋于1"的极限！整体就变成极限负赛因括号埃克斯加2分之德尔塔埃克斯，乘以赛因2分之德尔塔埃克斯比2分之德尔塔埃克斯。
当德尔塔埃克斯趋于0，第二个因子趋于1，第一个因子趋于负赛因埃克斯。所以最终等于负赛因埃克斯！
解题要点：用导数定义证三角函数的导数，关键是和差化积，再凑出"赛因比自变量"的标准极限。这是推导所有三角函数导数的通法。
第6题：识别极限与导数的关系
第6题：假定埃夫一撇埃克斯零存在，按照导数定义观察三个极限，指出诶表示什么。
这三道题的本质都是——把极限往导数定义的形式上去凑！
第1问：德尔塔埃克斯趋于0时，埃夫括号埃克斯零减德尔塔埃克斯减埃夫埃克斯零，除以德尔塔埃克斯。
这里分子是埃夫括号埃克斯零减德尔塔埃克斯，和定义中的埃夫括号埃克斯零加埃奇不一样——自变量的增量是负德尔塔埃克斯！所以令埃奇等于负德尔塔埃克斯，分母德尔塔埃克斯等于负埃奇。整个式子变成负的埃夫括号埃克斯零加埃奇减埃夫埃克斯零除以埃奇，趋于负的埃夫一撇埃克斯零。所以诶等于负的埃夫一撇埃克斯零！
第2问：埃克斯趋于0时，埃夫埃克斯除以埃克斯等于诶，其中埃夫0等于0且埃夫一撇0存在。
埃夫0等于0，所以埃夫埃克斯除以埃克斯等于埃夫埃克斯减埃夫0除以埃克斯减0——这就是埃夫在0处的导数！所以诶等于埃夫一撇0！
第3问：埃奇趋于0时，埃夫括号埃克斯零加埃奇减埃夫括号埃克斯零减埃奇，除以埃奇。
分子拆成两项——埃夫括号埃克斯零加埃奇减埃夫埃克斯零，减去埃夫括号埃克斯零减埃奇减埃夫埃克斯零。第一项除以埃奇趋于埃夫一撇埃克斯零；第二项前面有负号，埃克斯零减埃奇就是埃克斯零加负埃奇，所以埃夫括号埃克斯零加负埃奇减埃夫埃克斯零除以负埃奇也趋于埃夫一撇埃克斯零。第二项前面再乘负1，所以第二项整体趋于埃夫一撇埃克斯零。两项相加，诶等于2倍的埃夫一撇埃克斯零！
解题要点：识别极限与导数的关系，核心是把给定的极限往定义形式凑——注意增量是正还是负，分母和分子的增量要匹配。第3问的两个极限方向相同，都趋于埃夫一撇埃克斯零，所以结果是2倍。
第7题：分段函数的左右导数
第7题：设埃夫埃克斯在埃克斯小于等于1时等于3分之2埃克斯的立方，在埃克斯大于1时等于埃克斯的平方。问在埃克斯等于1处的左右导数情况。
分别算左导数和右导数。
左导数：埃克斯从左侧趋于1，用的是3分之2埃克斯的立方。极限当埃克斯趋于1负时，3分之2埃克斯的立方减3分之2，除以埃克斯减1。分子提取3分之2，括号埃克斯的立方减1除以埃克斯减1——用立方差公式，等于埃克斯的平方加埃克斯加1。代入埃克斯等于1，得3分之2乘3等于2。左导数存在，等于2。
右导数：埃克斯从右侧趋于1，用的是埃克斯的平方。极限当埃克斯趋于1正时，埃克斯的平方减3分之2除以埃克斯减1。当埃克斯趋于1，分子趋于3分之1，分母趋于0，所以趋于无穷大。右导数不存在！
所以选B——左导数存在，右导数不存在！
没错！这道题告诉我们——分段函数在分界点处的可导性，必须左右导数分别算，不能只看一边。
解题要点：分段函数在分界点处的导数，必须分别求左导数和右导数。左导数用左边的表达式，右导数用右边的表达式。只有两者都存在且相等，函数才在该点可导。
第8题：充要条件的判断
第8题：设埃夫埃克斯可导，大埃夫埃克斯等于埃夫埃克斯乘括号1加赛因埃克斯的绝对值。问埃夫0等于0是大埃夫在埃克斯等于0处可导的什么条件？
这道题要算大埃夫在0处的左右导数，看它们是否相等。
右导数：埃克斯趋于0正时，赛因埃克斯大于0，绝对值就是赛因埃克斯。大埃夫埃克斯等于埃夫埃克斯乘括号1加赛因埃克斯。用定义——大埃夫埃克斯减大埃夫0除以埃克斯，展开得到埃夫埃克斯减埃夫0除以埃克斯，加上埃夫埃克斯乘赛因埃克斯除以埃克斯。第一项趋于埃夫一撇0，第二项中赛因埃克斯除以埃克斯趋于1，所以第二项趋于埃夫0。右导数等于埃夫一撇0加埃夫0。
左导数：埃克斯趋于0负时，赛因埃克斯小于0，绝对值是负赛因埃克斯。大埃夫埃克斯等于埃夫埃克斯乘括号1减赛因埃克斯。同样展开，第一项趋于埃夫一撇0，第二项变成负的埃夫埃克斯乘赛因埃克斯除以埃克斯，趋于负埃夫0。左导数等于埃夫一撇0减埃夫0。
左右导数相等，需要埃夫一撇0加埃夫0等于埃夫一撇0减埃夫0，也就是2倍的埃夫0等于0……
对！所以埃夫0等于0！这意味着——埃夫0等于0时左右导数相等，可导；反过来，如果大埃夫在0可导，左右导数相等，也推出埃夫0等于0。互为充要条件！选诶！
解题要点：含绝对值的函数在零点处的可导性，需要分别算左右导数。绝对值在零点两侧的拆法不同，导致左右导数可能不等。充要条件的判断要证两个方向——充分性和必要性。
第9题：幂函数求导
第9题：求下列7个函数的导数。全都是幂函数的变体！
对，7道题都是用幂函数求导公式——埃克斯的缪次方的导数等于缪乘埃克斯的缪减1次方。关键在于先把函数化成标准的幂函数形式。
逐个来！
第1问：歪等于埃克斯的4次方。导数等于4乘埃克斯的3次方。
第2问：歪等于3次根号下埃克斯的平方，就是埃克斯的3分之2次方。导数等于3分之2乘埃克斯的负3分之1次方。
第3问：歪等于埃克斯的1.6次方。导数等于1.6乘埃克斯的0.6次方。
第4问：歪等于根号埃克斯分之一，就是埃克斯的负2分之1次方。导数等于负2分之1乘埃克斯的负2分之3次方。
第5问：歪等于埃克斯平方分之一，就是埃克斯的负2次方。导数等于负2乘埃克斯的负3次方。
第6问：歪等于埃克斯的立方乘5次根号下埃克斯，就是埃克斯的3次方乘埃克斯的5分之1次方，等于埃克斯的5分之16次方。导数等于5分之16乘埃克斯的5分之11次方。
第7问：歪等于埃克斯平方乘3次根号下埃克斯的平方，除以根号下埃克斯的5次方。先算指数——2加3分之2减2分之5，通分得6分之12加6分之4减6分之15等于6分之1。所以歪等于埃克斯的6分之1次方。导数等于6分之1乘埃克斯的负6分之5次方。
第7问指数的化简最容易出错！
没错！指数加减法一定要先通分，再合并。负指数的加减最容易搞错符号！
解题要点：幂函数求导三步走——先把根号、分式化成埃克斯的幂次形式，再用公式缪乘埃克斯的缪减1次方，最后化简。关键在第一步：根号用分数指数，分式用负指数，乘除变加减。
第10题：运动学中的导数
第10题：已知物体的运动规律为埃斯等于替的立方，求替等于2秒时的速度。
速度就是位移对时间的导数！歪等于德埃斯除以德替等于3乘替的平方。代入替等于2，得3乘4等于12，单位是米每秒。
很直接！导数就是变化率，速度就是位移的变化率。
解题要点：运动学中速度等于位移的导数。先求导得到速度的函数表达式，再代入具体时刻求瞬时速度。
总结
7道题讲完了，小昊来按题型分类总结！
好！这7道题可以分为四大题型——
第一，巧用导数定义——第4题和第6题。第4题在零点处回归定义，利用埃夫1等于0和分子因式约简；第6题是识别极限与导数的关系，关键凑定义形式，注意增量的正负方向。
第二，用定义证明导数公式——第5题。和差化积加标准极限，这是推导三角函数导数的经典方法。
第三，左右导数与可导性——第7题和第8题。第7题是分段函数分界点的左右导数，第8题是含绝对值函数的充要条件判断。共同点：必须分别计算左右导数，看是否相等。
第四，幂函数求导——第9题和第10题。第9题是7道幂函数变式，核心是先化成标准幂函数形式再套公式；第10题是导数的物理应用——速度等于位移的导数。
导数定义是整章的灵魂——不管题目怎么变形，回到定义就找到出路了！
说得好！定义是根，公式是枝。根扎得深，枝叶自然茂盛！
我是小棠！
我是小昊！咱们下次课再见！
