高中物理 · 高二通关 第 03 讲

带电粒子在电场中的运动：认不出它是平抛，这一讲就白学加速怎么一步到位、偏转怎么三步拆完、先加速后偏转怎么接得住

人教版必修第三册 · 第十章 第 5 节 + 综合

这一讲解决什么：前两讲把电场拆成了力的面孔（场强）和能的面孔（电势、电势能）；这一讲第一次把电场和力学合起来用——带电粒子在电场里到底怎么动。说穿了只有两种走法：顺着电场线走，是加速；横着冲进电场，是平抛。

读完你就能判断：这道题该用动能定理还是该分解；偏转位移和偏转角怎么一步算出来；为什么示波管里换一种粒子，打到屏上的位置居然不变。

先让孩子做这一道，看他现在在哪一档

电子以速度 v₀ = 4×10⁷ m/s 垂直电场线射入一对平行板之间。板长 L = 0.1 m，板间距 d = 0.02 m，两板电压 U = 100 V。求：① 电子穿出电场时的偏转位移 y；② 穿出时的偏转角 tanθ。

· 一眼看不出这是「平抛」 → 请先看第二节知识地图和3.2，这道坎就卡在这一眼

· 知道是平抛，但时间 t 不知道用哪个条件求 → 看 3.2 里「t = L/v₀」那一段，这是最常卡住的地方

· 两问都算出来了 → 直接跳到 3.3 推论三和3.5 两段题，那里才是拉开分差的地方

全篇约 7100 字，读完约 19 分钟。建议顺序：先自测 → 看 3.2 把类平抛立住 → 看 3.3 推论三 → 看 3.5 两段题 → 做例题 → 存速查表。中途想退出，请至少看完 3.2、3.3、3.5 和第四节速查表，这四处直接对应考试里的分。

上周有位二中高二的家长把孩子的月考试卷拍给我，第 15 题是带电粒子在电场里的计算题，12 分。孩子写了满满半页，最后得了 3 分。我一句一句看下去，问题特别典型：

第一段加速，他用 F = ma 求加速度，再用 x = ½at² 反解时间，算出了 v₀——绕了一大圈，其实一行动能定理就够了。第二段偏转，他把整段当成匀变速直线运动，用 v² − v₀² = 2ax 直接算位移。他根本没意识到：粒子进去的时候有个水平速度，出来的时候水平速度还在。

这 3 分不是算错的，是认错了。孩子手里有全套工具，只是没认出「这道题的芯子，是高一下学期那道平抛题，只是把 g 换成了 qE/m」。

所以我这一讲不从电场讲起，从孩子最熟的那道题讲起。下面三个问题，可以直接拿去问孩子：

一、这一讲在考试里的位置

先给一张分值表。这一讲的特殊之处在于：它不是一个孤立的知识点，而是所有「粒子在场里动」题目的总开关。后面学磁场里的圆周运动、学速度选择器、学质谱仪，用的都是这一讲的判断方式。

看清一件事：这一讲的失分，几乎全部集中在「判断」上，而不是「计算」上。该用能量的用了运动学，该分解的没有分解，该算重力的没算——决定用哪套工具的那一秒，才是真正拉开差距的地方。算错数丢 2 分，判错路丢 8 分。

还要提醒一句：安徽卷这几年对「两段拼接」特别偏爱——先加速、再偏转、有时再接一段匀速直线打到屏上。孩子只要在两段的接口处丢掉「速度」这个衔接量，后面全崩。所以这一讲我把 3.5 单独拎出来讲，那一节才是真正的分水岭。

二、知识地图：进电场的方式，决定用哪套方法

这一讲最好用的不是某个公式，而是一眼判断。孩子拿到题，先看粒子速度方向和电场线的关系——这一眼决定整道题的做法，看错了后面全白写。

再说透一层：为什么「顺着走」可以用动能定理？因为动能定理只问首末两个状态的速率，不问中间过程，所以不管是匀强电场还是非匀强电场、不管板间距多大，只要知道两点间的电势差，一步就能算。为什么「横着走」必须分解？因为有两个方向、两个不同的运动规律，混在一起无法用一个式子描述。

把高一的平抛摆过来对一下，孩子会立刻松一口气——除了加速度的来源，其它一模一样：

最后一行请务必让孩子记住：速度的反向延长线，一定过水平位移的中点。这不是新东西，就是平抛那条推论换了个字母，但它在这几年的选择题里反复出现，能省掉一整段计算。

三、逐个突破

3.1 加速：一行动能定理，别去绕运动学

粒子从静止经电压 U 加速，只要一步：qU = ½mv² − 0，解得 v = √(2qU/m)。如果初速不为零，就把右边的 0 换成 ½mv₀²。

三条要点，一条一条说清：

还有一个常被忽略的优势：动能定理不挑电场是否均匀。点电荷周围的非匀强电场里，粒子从 A 到 B，照样是 qU_AB = ΔE_k。这时候用牛顿定律根本没法做（力在变），但能量法一行搞定——这就是「顺着走用能量」的底气。

3.2 偏转：三步拆完，这是本讲的地基

粒子以 v₀ 垂直电场线射入，板长 L、间距 d、电压 U。这一类题只有三步，顺序不能乱：

把 a 和 t 代进去，得到两个必须会推的式子：

偏转位移：y = ½at² = ½ · qU/(md) · (L/v₀)² = qUL²/(2mdv₀²)

偏转角：tanθ = v_y/v₀ = at/v₀ = qUL/(mdv₀²)

这两个式子看出什么规律？做一张比例表，考试时能少算一遍：

这张表请让孩子自己验一遍：y 与 v₀² 成反比，所以速度一变，位移是按平方跳的；而它与 U 只是一次正比。考试里问「变成几倍」的题，错的人几乎都是把平方关系当成了一次关系。

再补两个判断，都是选择题的常客：

3.3 三条推论：考试里直接用的结论

推论不是新知识，是把 3.2 的式子往前推一步。但它们能省时间，而且直接对应选项。

推论一：tanθ = 2y/L。速度反向延长线过水平位移的中点。用法：题目给了 y 求 θ，或者给了 θ 求 y，都不用回到 a、t 里去。

推论二：出场速度 v = v₀/cosθ。因为 v₀ 是 v 在水平方向的分量，v₀ = v·cosθ。这一条在处理「出场后接磁场」的题里天天用——进磁场的速度大小就是它。

推论三（本讲最值钱的一条）：先由静止经 U₀ 加速，再进入偏转电压为 U 的偏转场，则

y = UL²/(4dU₀)，tanθ = UL/(2dU₀)

推起来只要两步：加速段 qU₀ = ½mv₀²，得 v₀² = 2qU₀/m；代进 y = qUL²/(2mdv₀²)，分子分母的 q 和 m 一起约掉：

y = qUL² / (2md · 2qU₀/m) = UL²/(4dU₀)

看清楚这意味着什么：结果里没有 q，也没有 m。也就是说——电子、质子、α 粒子、任意带电离子，只要经过同一组加速电压和偏转电压，偏转位移完全相同，打在屏上的位置也完全相同。

注意推论三的适用条件，缺一不可：① 粒子从静止开始加速；② 加速和偏转是两个独立的电场；③ 偏转场按「穿出」处理。如果粒子是「以某个初速射入偏转场」，推论三直接失效，必须回到 3.2。这是它最常见的误用。

三条推论合一张表，考前五分钟看这一张就够：

3.4 示波管：三段的账，最后一段最容易被忘

示波管把三个动作串起来：加速 → 偏转 → 匀速直线打到屏上。前两段 3.1、3.2 已经解决，第三段最容易丢分——很多孩子算完 y 就交卷了，忘了偏转板到屏之间还有一段直线飞行。

其中 L′ 是偏转板末端到荧光屏的距离。把第一、二段的衔接量带进去，还能写成更省事的一版：Y = tanθ·(L/2 + L′)——因为 tanθ = 2y/L，所以 y = tanθ·L/2，提出来就是这个式子。

这个式子的物理意思很漂亮：屏上的偏移，相当于粒子从「偏转板正中间」那一点，沿出场方向直线飞出去造成的偏移。孩子记住这句，比记公式牢。

3.5 先加速后偏转：两段题的标准写法（本讲的分水岭）

这是高考最爱考、孩子最容易崩的题型。难点不在任何一段，而在两段的接口——第一段结束时的速度 v₀，既是第一段的末速度，又是第二段的初速度。把这个量抓住，两段就接上了；抓不住，两段各算各的，必然错。

标准四步，写题时照抄顺序：

四步各对应哪个式子，摆成一张表，写题时照着填就行：

如果两段都用推论三，还可以整体一步出结果：y = UL²/(4dU₀)。但我不建议孩子一开始就用——先老老实实分两段写三遍，把衔接量练熟，再用推论提速。顺序反了就变成背公式，题型一变就废。

3.6 复合场：到底要不要算重力

这是本讲最后一个坑，而且是最冤的一个——不是不会算，是压根没意识到还有一个力。判断标准其实很干脆：

给个数量级让孩子有感觉：一个电子在 E = 10⁴ V/m 的电场里，电场力约 1.6×10⁻¹⁵ N，重力约 8.9×10⁻³⁰ N——差了 14 个数量级。这种情况下考虑重力，就像称体重时把一根头发也算进去。反过来，一个 1 克的带电小球，电场力与重力往往在同一量级，漏掉重力必然全错。

加了重力之后怎么办？不用重新学一套，直接把「重力 + 电场力」合成一个恒力，当成「新的重力」。

四、速查表：这一讲最容易错的地方

这张表建议截图存手机，做作业、考前五分钟都能用。最后一列专写易错点。

五、例题精讲 6 道

前四道给完整过程，后两道只给思路——后两道必须让孩子自己写一遍，写完翻到第六节对照。

六、例 5、例 6 完整解析

例 5 完整过程：

① 临界条件：恰好射出，说明粒子擦着极板边缘飞出，y = d/2 = 0.005 m。

② 由 y = UL²/(4dU₀)，反解 U = 4dU₀y/L²。代入：U_max = 4 × 0.01 × 2000 × 0.005 ÷ (0.05)² = 0.4 ÷ 0.0025 = 160 V。

③ 屏上偏移：tanθ = 2y/L = 2 × 0.005 ÷ 0.05 = 0.2；Y = y + L′tanθ = 0.005 + 0.1 × 0.2 = 0.025 m，即 2.5 cm。

注意三点：① 「恰好射出」对应 y = d/2，写错成 d 会让答案差一倍；② 反解时先把式子写成 U = 4dU₀y/L² 再代数，比一步步挪项稳；③ 一旦电压超过 160 V，粒子打在板上，后面的屏上位置就无从谈起——这也是题目为什么要问「最大」。

例 6 完整过程：

七、易错点 8 条

这 8 条可以直接做成清单贴在书桌前，每条后面都写了正确做法。

① 加速时把 U 当成场强。正确做法：U 是两点间电势差，动能定理里 U 恒取正；场强另算 E = U/d。

② 以为加速后的速度与板间距有关。正确做法：v = √(2qU/m)，式子里没有 d。d 变了，场强跟着变，正好抵消。

③ 偏转不分解，直接套匀变速直线公式。正确做法：先分解。水平匀速、竖直匀加速，两个方向各写一式，绝不合用。

④ 用 y 去反求时间 t。正确做法：t = L/v₀，时间只由板长和初速定。先写这一行，再往下算。

⑤ 以为 v₀ 减半、y 也减半。正确做法：y ∝ 1/v₀²，v₀ 减半，y 变 4 倍；而 U 加倍，y 才加倍。两个规律别混。

⑥ 判「是否打在板上」时拿 d 当界限。正确做法：界限是 d/2。粒子从正中间射入，能偏的最大距离就是半个板距。

⑦ 算屏上位置只算到 y。正确做法：题目出现荧光屏、光屏，就加第三段：Y = y + L′tanθ。

⑧ 复合场里重力该算不算搞反，或剪断后忘了电场力。正确做法：微观粒子（电子、质子、离子）不计重力；小球、油滴必须计。剪断细线只是撤掉了绳，电场力照旧。

八、给家长的四点提醒

第一，让孩子先说「这是顺着走还是横着走」。拿到题不要动笔，先说出这一句。说对了，方法就定了；说错了，写多少行都是废的。这一句判断值 8 分。

第二，检查他的草稿上有没有「t = L/v₀」这一行。这是本讲最灵的一个自查点。孩子卡在偏转题上，八成就是没写这一行，在 y 和 a 之间来回打转。

第三，让他推一遍 y = UL²/(4dU₀)，并说出「为什么没有 q 和 m」。推得出来，说明他真懂示波管；推不出来，说明整章还是背的。这道题我在课上问了十年，能当场推完的不超过三成。

第四，错题只记「我在哪一步判错了」。一句话：「我把 d 当成了界限」「我忘了环氧后还有一段直线」。不要抄整道题——抄十道不如写清一句。

最后说一句实在话：这一讲如果孩子学得吃力，八成不是电场的问题，是高一平抛没吃透。让他把平抛的 y = ½gt²、tanθ = 2y/x 重新推一遍，再回来看偏转，往往一小时就通了。反过来，硬在电场里死磕，磕三天也磕不出来。

最后

这一讲只做了一件事：把「带电粒子在电场里怎么动」，还原成高一那道平抛题。还原之后，孩子手里就只剩两句话——顺着走用能量，横着走用分解。其余全是老套路。

从下一讲开始，我们暂时离开电场，回到电路。那是九年级学过的老地方，但高二要重新走一遍，而且走得深得多——闭合电路里多了个内阻，所有「电压不变」的直觉都要重算。这一段如果高二没打牢，高三的电磁感应大题连第一问都写不出来。

孩子的物理有问题，或者这一讲做下来卡在哪儿了，直接发到后台，我尽量都回。也欢迎把孩子的草稿拍给我——我看草稿比看答案准，哪一步没分解、哪一行没写 t，一眼就能看出来。

瀚林学府

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