试卷分析 · 2026 秋新建路中学八年级上学期期中数学

这次期中，考查的是八年级上册前半程的内容：勾股定理、实数、位置与坐标、一次函数，外加一道几何综合压轴。

整张卷子 120 分，题量不算大，但层次拉得很开——前面的基础题送分到位，中间的中档题考细节，最后两道大题（第 25、26 题）才是真正拉开差距的地方

• 典型题讲评：拉开差距的四道题

第 8 题：长方体表面最短路径（选择压轴）

长方体长 10 cm、宽 4 cm、高 9 cm，D 是 BC 边中点，蚂蚁从下底面 A 爬到上底面 D，求表面最短路程。

思路：把相邻两个面展开到同一平面，两点之间线段最短，一共要算三种展开方式：

• 前＋右：AD＝√(12²＋9²)＝15；
• 前＋上：AD＝√(10²＋11²)＝√221；
• 下＋右：AD＝√(19²＋2²)＝√365。

三者比较，√221 最小，选C。

易错点：只想到一种展开方式就下结论。这类题必须把「能翻到一起的相邻面」都列出来，逐一算平方再比较。

第 14 题：等腰三角形里的最短路径（填空压轴）

△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC，E、F 分别是 AB、AD 上的动点，且 BE＝AF，求 BF＋CE 的最小值。

思路：条件 BE＝AF 提示构造全等。把线段 BF 通过全等转移到 GE，使 BF＋CE 转化为 GE＋CE；当 G、E、C 三点共线时取最小值。由等腰三角形三线合一，BD＝DC＝3，AD＝4，最终 GC＝√(6²＋5²)＝√61。

易错点：想不到「等量线段 → 全等转移 → 两点之间线段最短」这条链条，盯着两条动线段无从下手。

第 25 题：动点与直角三角形分类讨论（解答压轴之一）

Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，所以 BC＝8。动点 P 从 B 出发沿射线 BC 以 2 cm/s 移动，时间 t 秒。

第（2）问：4 秒内 BP＝AP＝2t，PC＝8－2t，在 Rt△APC 中用勾股：

6²＋(8－2t)²＝(2t)²，解得 t＝25/8，BP＝2t＝25/4 cm。

第（3）问：△ABP 为直角三角形，必须分两种情况：

• ∠APB＝90°：P 与 C 重合，BP＝8，t＝4；
• ∠BAP＝90°：P 运动到 BC 延长线上，PC＝2t－8，两次勾股联立，解得 t＝25/4。

易错点：只写了 t＝4，漏掉 P 在延长线上的第二种情况。动点题只要提到「射线」「直角三角形」，就要条件反射地分类讨论。

第 26 题：全等旋转＋一次函数（全卷压轴）

这道题分三小问，难度层层递进：

1. 第一问是铺垫：等腰直角三角形中，过直角顶点作直线 DE，AD⊥DE、BE⊥DE，由 AAS 全等直接得到 CD＝BE，AD＝CE。这组「一线三垂直」全等，是后两问的工具。
2. 第二问：直线 y＝2x＋6 与坐标轴交于 A(0, 6)、B(－3, 0)，线段 AB 绕 B 顺时针旋转 90° 得到 BC。借助第一问的全等求出 C(3, －3)，再由 A、C 两点定直线，得 y＝－3x＋6。
3. 第三问：M 是 y 轴上动点，Q 是 AC 上动点，△BMQ 以 BQ 为斜边构成等腰直角三角形。M 可能在 BA 上方，也可能在下方，两种位置分别求出 M(0, 9/4) 和 M(0, －3/2)，对应面积 27/8 或 9/4。

易错点：第三问只算一种位置；以及把「旋转 90°」的对应关系弄反，导致 C 点坐标求错。

• 这份卷子暴露出的常见问题

1. 运算不过关：二次根式化简、零指数幂、负指数幂、立方根这些基础运算（第 15、20、21、22 题），一旦符号或指数出错，后面整步全丢。
2. 图象与性质记不牢：一次函数 k、b 对图象走向的影响（第 5、6 题），平行则 k 相等（第 13 题），属于反复讲过的点，仍有同学混淆。
3. 分类讨论意识弱：第 25 题动点直角三角形、第 26 题双位置，都是「漏一种情况就丢一半分」。
4. 几何全等构造慢：第 14、26 题都需要主动构造全等，平时只做「现成全等」的题，见到需要自己添辅助线的就卡住。
5. 审题不细：第 23 题分段计费要先判断用电量落在哪一档；第 24 题点 C 在第一象限，坐标符号不能错。

• 给接下来的复习建议

基础层（目标：把该拿的分拿全）

• 过关实数运算：平方根、算术平方根、立方根、二次根式化简、零指数与负指数，每天限时练 4—6 小题；
• 背熟一次函数 k、b 的图象规律，能由解析式判断经过的象限、增减性、与坐标轴交点；
• 坐标特征练熟：x 轴上点纵坐标为 0，y 轴上点横坐标为 0，平行于坐标轴的线段上点的坐标关系。

中档层（目标：减少无谓失分）

• 勾股定理相关的展开图最短路径，养成「列全展开方式 → 分别计算 → 比较取最小」的习惯；
• 分段计费、方案类应用题，先画清分段区间，再写关系式，最后代值检验；
• 作图题（轴对称、建系）注意格点对应坐标，落笔前先把对应点坐标算准。

拔高层（目标：冲击压轴）

• 把「一线三垂直」全等模型吃透，能在旋转、等腰直角三角形背景下主动找全等、添垂线；
• 动点题固定流程：设变量 → 表示线段 → 判断位置是否需要分类 → 勾股/相似列方程 → 回代检验是否符合取值范围；
• 压轴第三问遇到「等腰直角三角形为斜边」这类条件，先画两种位置草图，再分别计算，避免漏解。

试题与解析