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班级 姓名 学号 分数
第七章 随机变量及其分布（A 卷·知识通关练）
核心知识1 条件概率
1．（2023·辽宁营口·高二统考期末）在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的
概率为 ，乙击中目标的概率为 ，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得目标被击中的概率为： ，
甲击中目标的概率为： ，
则在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为： ，
故选：C.
2．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且
， ， ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ，由 ， 是互斥事件知， ，
所以 ，
故选：A．
3．（2023·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末）甲袋中有3个白球和2个红球，乙
袋中有2个白球和4个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2
个球，第一次取出的球是红球的概率（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设第一次取到红球为事件 ，取到甲、乙、丙袋为事件 ,
由条件概率公式可得
,
故选:C.
4．（2023·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）端午节为每年农历五月初五，又称端阳节、
午日节、五月节等.端午节是中国汉族人民纪念屈原的传统节日，以围绕才华横溢、遗世独立的楚国大夫屈
原而展开，传播至华夏各地，民俗文化共享，屈原之名人尽皆知，追怀华夏民族的高洁情怀.小华的妈妈为
小华煮了8个粽子，其中5个甜茶粽和3个艾香粽，小华随机取出两个，事件A“取到的两个为同一种馅”，
事件B“取到的两个都是艾香粽”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意， ， ，所以 .
故选：B.
5．（2023·河南南阳·高二统考期末）设随机变量 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】随机变量 ，∴ ， 解得 ，∴ ，则 .
故选：D．
6．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）甲乙两人玩闯关游戏,该游戏一共要闯三关,每个人每一关能否
闯关成功是相互独立的,甲第一,第二,第三关闯关成功的概率分别是 ,乙第一,第二,第三关闯关成功的
概率都是 .规定每一关闯关成功记1分,未闯关成功记0分,用 表示甲在闯关游戏中的得分,用 表示乙在闯
关游戏中的得分,则在“ ”的条件下,“ ”的概率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设事件 为“ ”,事件 为“ ”,
所以 ,
又 ,
,
,
所以 ,所以 .
故选:D.
7．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）从有3个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球
不再放回，记 表示事件“第 次摸到红球”， ，2，…，6.
(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；
(2)记 表示 ， ， 同时发生的概率， 表示已知 与 都发生时 发生的概率.
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）求 .
【解析】（1） ，
所以第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率 ；
（2）（ⅰ）因为 ，
又因为 ，
所以 ，
即 .
（ⅱ）
+ +8．（2023·高二课时练习）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随
机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：
（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；
（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；
（Ⅲ）第二次摸到红球的概率.
【解析】设事件 ：第一次摸到红球；事件 ：第二次摸到红球，
则事件 ：第一次摸到白球.
（Ⅰ）第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，
所以 .
（Ⅱ）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共
9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.
所以 .
（Ⅲ） .
所以第二次摸到红球的概率 .
9．（2023·全国·高三专题练习）为了保障学生们的合法权益，并保证高考的公平性，重庆市施行的新高考
方案中再选科目的高考成绩采用赋分制.赋分制在一定程度上缩小了试题难度不同带来的分数差，也在一定
程度上减少了学科难度不一造成的分数差.2022年高考成绩公布后，重庆市某中学收集了部分学生的高考
成绩，其中地理成绩均在 （单位：分），将收集到的地理成绩按
分组，得到频率分布直方图如下.
(1)求 ，并估计该校2022年高考地理科的平均成绩；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(2)已知该校2022年所有参加高考的学生中历史类考生占20%，物理类考生占80%，历史类考生中选考地
理的占90%，物理类考生中选考地理的占5%，历史类考生中高考地理成绩不低于90分的占8%，若从该
校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，求选到历史类考生的概率（以
样本中各区间的频率作为相应事件的概率）.
【解析】（1）由题意可得： ，
解得 ，
估计该校2022年高考地理科的平均成绩为
.
（2）该校2022年所有参加高考的学生中任选1名，记“选到历史类考生”为事件A，“选到物理类考
生”为事件B，“选到选考地理的考生”为事件C，则有
，
∴ ，
记“选到高考地理成绩不低于90分”为事件D，则 ，
∴ ，
故 ，
若从该校2022年高考地理成绩不低于90分的学生中任选1名代表进行经验交流，选到历史类考生的概率
.
核心知识2 全概率公式与贝叶斯公式
10．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔
和3支圆珠笔．
(1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率；
(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；
(3)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．
【解析】（1）设事件 “2个盲盒都是钢笔盲盒”，事件 “2个盲盒都是圆珠笔盲盒”，则 与 为互斥事件，
∵ ，
∴2个盲盒为同一种笔的概率 ．
（2）设事件 “第 次取到的是钢笔盲盒”， ．
∵ ， ，
∴ ，
即第 次、第 次取到的都是钢笔盲盒的概率为 ．
（3）设事件 “第 次取到的是圆珠笔盲盒”， ．
∵ ， ， ，
∴由全概率公式，可知第 次取到的是圆珠笔盲盒的概率为
．
11．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲
厂生产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已
知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.
(1)任选一件产品，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.
【解析】（1）设 表示“取到的产品是次品”，
表示“产品由甲工厂生产”， 表示“产品由乙工厂生产”，表示“产品由丙工厂生产”，易知 ， ， 两两互斥，
根据题意得 ， ， ，
根据全概率公式可得
，
故取到次品的概率为 .
（2）“如果取到的产品是次品，计算分别出自三个工厂的概率”，
就是计算在 发生的条件下，事件 发生的概率.
同理可得 ，
所以如果取到的产品是次品，
此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率分别是 ， ， .
12．（2023·广东佛山·统考一模）近几年，随着生活水平的提高，人们对水果的需求量也随之增加，我市
精品水果店大街小巷遍地开花，其中中华猕猴桃的口感甜酸、可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水
果店，某种猕猴桃整盒出售，每盒20个.已知各盒含0，1个烂果的概率分别为0.8，0.2.
(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个猕猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒猕猴桃，否则不会购买此种
猕猴桃.求甲购买一盒猕猴桃的概率；
(2)顾客乙第1周网购了一盒这种猕猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当中有烂果，则隔
一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒猕猴桃的概率
【解析】（1）由题意可得：甲不购买一盒猕猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时抽到这个烂
果，
甲购买一盒猕猴桃的概率 .
（2）用“√”表示购买，“╳”表示不购买，乙第5周购买有如下可能：
第1周 第2周 第3周 第4周 第5周
√ √ √ √ √
√ ╳ √ √ √√ √ ╳ √ √
√ ╳ √ ╳ √
√ √ √ ╳ √
故乙第5周网购一盒猕猴桃的概率 .
13．（2023·高二课时练习）据某国的一份资料显示，该国居民患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%
的人是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，根据此资料求该国不吸烟者患肺癌的概率．
【解析】设事件 表示“从人群中任选一个人，这个人是吸烟者”，事件 表示“从人群中任选一个人，
这个人是不吸烟者”，事件 表示“从人群中任选一人，这个人患肺癌”，
由全概率公式可得
，
解得 ，即该国不吸烟者患肺癌的概率是0.025%．
14．（2023·高二课时练习）播种用的一等小麦种子中混有 的二等种子， 的三等种子， 的四等
种子，已知一等、二等、三等、四等种子长出的麦穗含有 颗以上麦粒的概率分别为 、 、 、
，求这批种子所结出的麦穗含有 颗以上麦粒的概率．
【解析】设“从这批种子中任选一颗，这颗种子是一等、二等、三等和四等种子”分别为事件 、 、
、 ，
它们构成样本空间的一个划分，则 ， ， ，
，
再设设“从这批种子中任选一颗，这颗种子所结出的麦穗含有 颗以上麦粒”为事件 ，
由题意知 ， ， ， ，根据全概率公式可得 .
15．（2023·全国·高三专题练习）甲胎蛋白是肝癌筛查的重要指标，研究资料表明，肝癌患者甲胎蛋白检
查呈阳性的概率是0.95，非肝癌患者甲胎蛋白检查为阴性的概率为0.9．已知某地肝癌发病率为0.04%，请
问该地区甲胎蛋白检查呈阳性的患者确实是肝癌患者的概率．
【解析】令C＝“被检验者患肝癌”，A＝“甲胎蛋白检验呈阳性”，
= “被检验者未患肝癌”， =“甲胎蛋白检验呈阴性”，
由题意知， ， ，
又已知某地居民肝癌发病率 ，
则该地区甲胎蛋白检查呈阳性的患者确实是肝癌患者的概率为：
故该地区甲胎蛋白检查呈阳性的患者确实是肝癌患者的概率为0.0038．
核心知识3 随机变量及其与事件的联系
16．（2023·全国·高二课时练习）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（
）．
A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数
【答案】B
【解析】根据随机变量的定义，选项B是随机变量，其可能取值为0,1,2,
其他三个选项均不能作为随机变量.
故选：B
17．（2023·全国·高二课时练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用 表示甲的得分，则 表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【解析】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故 表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
18．（2023·浙江省诸暨市第二高级中学高二期中）先后抛掷一个骰子两次，记随机变量ξ为两次掷出的点
数之和，则ξ的取值集合是（ ）
A．｛1，2，3，4，5，6｝ B．{2，3，4，5，6，7}
C．{2，4，6，8，10，12} D．{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}
【答案】D
【解析】因为随机变量ξ表示两次掷出的点数之和，
所以ξ的取值可能为：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，
故ξ的取值集合是{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，
故选：D.
19．（2023·黑龙江·哈尔滨三中高二期中）下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；
其中是离散型随机变量的为（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机
变量；
对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散
型随机变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.
故选：C
20．（2023·山东·梁山现代高级中学高二阶段练习）袋中有大小相同质地均匀的5个白球、3个黑球，从中
任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到1个白球 B．取到白球的个数
C．至多取到1个白球 D．取到的球的个数
【答案】B
【解析】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，
其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是 个，ACD错误；
故选：B.
21．（2023·广东·深圳市龙岗区德琳学校高二期中）甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3
分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用 表示甲的得分，则 表示
（ ）．
A．甲赢三场 B．甲赢一场、输两场
C．甲、乙平局三次 D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
【答案】D
【解析】由于赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，
所以 可以分成两种情况，即 或 ，
即甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次．
故选：D．
核心知识4 离散型随机变量的分布列
22．（2023·浙江·高二期中）已知下表为离散型随机变量X的分布列，则 （ ）
X 0 1 2 3
PA． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据 .
故选：C
23．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）随机变量X的分布列如下表，则 等于
（ ）
X 0 1
P a c
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由分布列可知 ，故 ，
故选：C
24．（2023·全国·高二课时练习）已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
X 0 1 2 3 4 5
P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1
则 等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
25．（2023·全国·高二课时练习）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮
1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（ ）
A．X 0 1 2
P 0.08 0.14 0.78
B．
X 0 1 2
P 0.06 0.24 0.70
C．
X 0 1 2
P 0.06 0.56 0.38
D．
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
【答案】D
【解析】易知X的可能取值为0，1，2， ， ，
，
故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.06 0.38 0.56
故选：D.
26．（2023·全国·高二单元测试）设离散形随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
若随机变量 ，则 等于（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ．故选：A．
27．（2023·全国·高二课时练习）设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取
值的数据是（ ）
A． ，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，
D． ， ，…，
【答案】D
【解析】根据分布列的性质可知，所有的概率之和等于1，且 ， ．
对于A，因为 ，满足 ，所以A选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于B，因为 ，且满足 ，所以B选项能成为X的分布列的一组概率取值的数
据；
对于C，因为 ，且满足 ，所以C选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于D，因为 ，所以D选项不能成为X的分布列的一组概率取值的数据．
故选：D．
28．（2023·江苏·金沙中学高二阶段练习）已知离散型随机变量 的分布列如表：
0 1 2 3
则实数 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知 ，解得 .
故选：A.
29．（2023·河南·南阳中学高二期末（理））下列表中，可以作为某离散型随机变量的分布列的是（其中
）（ ）A．
1 2 3
B．
1 2 3
C．
1 2 3
D．
1 2 3
【答案】C
【解析】对于A：因为 ，所以 ，故A错误；
对于B： ，解得 ，与 矛盾，故B错误；
对于D：因为 ，所以 ，故D错误；
对于C，由 显然恒成立，
因为 ，所以 ， ，故C成立．
故选：C
30．（2023·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））已知随机变量 的分布列如表所示：若 ，
则 的值为（ ）
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.4 0.2 0.1A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】A
【解析】因为 ，则当 时， ，所以 .
故选：A.
核心知识5 二项分布与超几何分布
31．（2023·高一课时练习）先后抛3枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】3枚都是反面的概率为 ，
所以“至少出现一次正面”的概率为 ，
故选：C.
32．（2023·江苏南通·高三统考期末） 、 两组各3人独立的破译某密码， 组每个人译出该密码的概
率均为 ， 组每个人译出该密码的概率均为 ，记 、 两组中译出密码的人数分别为 、 ，且
，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】由题意可知： 服从二项分布 ，所以 .
同理： 服从二项分布 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 .对于二次函数 ，对称轴 ，所以在 上函数单调递减，
所以当 时，有 ，即 .
故选：B
33．（2023·全国·高三专题练习）在四次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件
A至少发生一次的概率为 ，则事件A发生次数 的期望是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设事件A在每次试验中发生的概率为p，
由题意知，事件A一次也没发生的概率为 ，则 ，解得 ．
事件A发生的次数 服从二项分布 ，故 ．
故选:A．
34．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）近年来，我国加速推行垃圾分类制度，全国垃圾分类工作
取得积极进展．某城市推出了两套方案，并分别在A，B两个大型居民小区内试行．方案一：进行广泛的
宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类
垃圾桶的使用方式，垃圾投放时间等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾
分类，在小区内分别设立分类垃圾桶，垃圾回收前端分类智能化，智能垃圾桶操作简单，居民可以通过设
备进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作．建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾分类换积分，
积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地参与垃圾分类．经过一段时间
试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分
（满分100分），将数据分成6组： 并整理得到如下频率分
布直方图：(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类推广措施更受居
民欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
(2)估计A小区满意度得分的第80百分位数；
(3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分说明居民不太赞
成推行此方案．现从B小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行方案的人数，求X的分布列及数
学期望．
【解析】（1）设A小区方案一的满意度平均分为 ，
则 ，
设B小区方案二的满意度平均分为 ，
则 ，
因为 ，
所以方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎；
（2）因为前4组的频率之和为 ，
前5组的频率之和为 ，
所以第80百分位数在第5组，
设第80百分位数为x，则 ，解得 ，
所以A小区满意度得分的第80百分位数为85分；
（3）由题意可知方案二中，满意度不低于70分的频率为 ，低于70分的频
率为 ，现从B小区内随机抽取5个人，则 ，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，
， ，
， ，
， ，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
由二项分布知数学期望 ．
35．（2023·浙江湖州·高三安吉县高级中学校考期末）某运动品牌旗舰店在双十一线下促销期间，统计了5
个城市的专卖店销售数据如下：
款式/专卖店 甲 乙 丙 丁 戊
8
男装 60 60 130 110
0
12 6
女装 90 130 50
0 0
(1)若分别从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条进行追踪调查，求抽中的两条记录中至少有一次购买
的是男装的概率；
(2)现从这5家店中任选3家进行抽奖活动，用 表示其中男装销量超过女装销量的专卖店个数，求随机变
量 的分布列和数学期望 .
【解析】（1）从甲､乙两家店的销售数据记录中各抽一条，抽中购买的是男装的概率分别为
，故抽中的两条记录中至少有一次购买的是男装的概率 .
（2）这5家店中男装销量超过女装销量的专卖店有丁、戊，共两家，则 的可能取值有：0，1，2，可得：
，
故 的分布列为：
0 1 2
∴ .
36．（2023·高一课时练习）甲、乙两人共同抛掷一枚硬币，规定硬币正面朝上甲得1分，否则乙得1分，
先积得3分者获胜，并结束游戏．
(1)求在前3次抛掷中甲得2分、乙得1分的概率；
(2)若甲已经积得2分，乙已经积得1分，求甲最终获胜的概率．
【解析】（1）前3次抛掷中甲得2分、乙得1分的概率为 .
（2）若甲获胜时的比分为 ，则概率为 ；
若甲获胜时的比分为 ，则概率为 .
所以甲最终获胜的概率为 .
37．（2023·广东·高三校联考阶段练习）为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高
一和高二两个年级学生参加知识竞赛，
(1)两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间 上，现将成绩制成如图所示频率分布
直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该
组区间的中点值为代表）；(2)两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位
学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在
答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬
如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为 ，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对
比赛题目的概率是 ，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是 ，每轮答题比赛中，答对与否互不
影响，各轮结果也互不影响
（i）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记 为答对题目的数量，求
的分布列及数学期望
（ii）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率
【解析】（1）由频率分布直方图可知：
可得
∴平均分的估计值为
∴学生的成绩的平均分的估计值为73.8分
（2）（i）由题可得 ， 的可能取值为0，1，2，3
∴∴ 的分布列为
0 1 2 3
∴
（ii）将“在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出”记为事件 ，
“在第4轮结束时，学生代表乙答对0道题”记为事件 ，
“在第4轮结束时，学生代表乙答对1道题”记为事件
∴ ，
，
∴ .
∴在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率为 .
38．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）2022年底，新冠病毒肆虐全国，很多高三同学也都加入羊羊
行列．某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式．现随机抽取200名同学的数学成绩
做分析，其中线上人数占40%，线下人数占60%，通过分别统计他们的数学成绩得到了如下两个频率分部
直方图：其中 称为合格， 称为中等， 称为良好， 称为优秀， 称为优异．
(1)根据频率分布直方图，求这200名学生的数学平均分（同一组数据可取该组区间的中点值代替）；
(2)现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是
来自线下考试的可能性大．
(3)现从线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k的
值．
【解析】（1）线上同学平均分 分；
线下同学平均分 分；
又200名同学，线上人数占40%，线下人数占60%，
所以所有200名同学的平均分 分.
（2）线上同学成绩良好人数为 人，
线下同学成绩良好人数为 人，
所以抽取数学成绩为良好，且 ，故线下的可能性大.
（3）由线下成绩中等同学人数为 人，其它同学 人，
所以从线下学生中随机抽取10名同学，抽到k个学生的成绩为中等的概率 ，
且 ，要使 最大，则 ，即 ，
所以 ，则 ，故 .
39．（2023春·河南开封·高三统考开学考试）青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解
学生对预防近视知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：
100分）都在区间 中，并将数据分组，制成如下频率分布表：
分数
频率 0.15 0.25 0.30 0.10
(1)试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X为抽取的4人中得分在
的人数，求 的分布列与数学期望．
【解析】（1）由频率分布表可得 ，解得 ，
所以这200份问卷得分的平均值为
；
（2）由题意可得 的可能取值为 ，则 ，
又 ，
则 的分布列为：
40．（2023·全国·模拟预测）某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取 名学生，竞赛成
绩的频率分布表如下：竞赛成
绩
频率
(1)估计该校学生成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)已知样本中竞赛成绩在 的男生有 人，从样本中竞赛成绩在 的学生中随机抽取 人进行
调查，记抽取的男生人数为 ，求 的分布列及期望.
【解析】（1）平均数为 .
（2）由题意知：样本中竞赛成绩在 的共有 人，其中有男生 人，
则 所有可能的取值为 ，
； ； ；
的分布列为
数学期望 .
41．（2023·陕西·西安市西光中学校联考一模）中国职业男篮CBA总决赛采用七场四胜制，即若有一队先
胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队
获胜的可能性均为 .据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上
一场增加100万元.
(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；
(2)设总决赛中获得门票总收入为 ，求 的数学期望 .
【解析】（1）依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为400，公差为100的等差数列.
设此数列为 ，则易知 ， ，所以 .
解得 或 （舍去），所以此决赛共比赛了5场.则前4场比赛的比分必为 ，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为 .
所以总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率为 .
（2）随机变量 可取的值为 ， ， ， ，即2200，3000，3900，4900，
， ，
， ，
所以 的分布列为
220
3000 3900 4900
0
所以 .
42．（2023·广东深圳·高三统考期末）快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有
一定的差别，故随机采摘了100颗，分别称出它们的重量（单位：克），并以每10克为一组进行分组，发
现它们分布在区间 ， ， ， ，并据此画得频率分布直方图如下：
(1)求 的值，并据此估计这批果实的第70百分位数；
(2)若重量在 （单位：克）的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为 ，求 的分布列和数学期望.
注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.
【解析】（1）因为频率分布直方图的组距为10，
所以，落在区间 ， ， 上的频率分别为0.20，0.32，0.18，
所以， .
因为落在区间 上的频率为 ，
而落在区间 上的频率为 ，
所以第70百分位数落在区间 之间，设为 ，
则 ，解得 ，
所以估计第70百分位数为31.
（2）由（1）知，重量落在 的频率为0.2，由样本估计总体得其概率为0.2，
因为 可取0，1，2，3，且 ，
则 ， ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 的数学期望为 （或直接由 ）.
核心知识6 正态分布43．（2023·河南南阳·高二统考期末）已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
实数 ______．
【答案】3
【解析】随机变量 服从正态分布 ，正态曲线关于 对称，且 ，
由 ，可知 ，解得 ．
故答案为：3．
44．（2023春·江苏南京·高三校考开学考试）设随机变量 服从正态分布 ，若
，则 ____________．
【答案】0.15
【解析】∵随机变量 服从正态分布
∴正态曲线的对称轴是
∴
∴
∴
故答案为：0.15
45．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知随机变量X~N（1， ），且P =2P
，则P =__________.
【答案】
【解析】由题意可知 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
46．（2023·江苏南通·高三统考期末）已知某班高三模拟测试数学成绩 ，若
，则 ______.
【答案】0.34
【解析】因为 ，所以 .
故答案为：
47．（2023·高三课时练习）已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布 ，
且 ，从试验田中随机抽取10株，果实个数在 的株数记作随机变量X，且X服从二项
分布，则X的方差为_________．
【答案】2.1
【解析】 ,且 ， ，
,
,
由题意可得 ,
所以 的方差为 ，
故答案为:2.1
48．（2023·高三课时练习）在一次调研测试后，经统计发现数学成绩服从正态分布，其密度函数
，x∈R，则下列结论中正确的是_________．（写出所有满足要求的结论序号）
①这次测试的数学平均成绩为100；
②分数在120分以上的人数与分数在90分以下的人数相同；
③分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同；④这次测试的数学成绩的方差为10．
【答案】①③
【解析】由题意可得： ，其中 ，即正态分布的对称轴为 ，
对①：这次测试的数学平均成绩为100，①正确；
对②：分数在120分以上的人数与分数在80分以下的人数相同，②错误；
对③：分数在130分以上的人数与分数在70分以下的人数大致相同，③正确；
对④：这次测试的数学成绩的方差为100，④错误．
故答案为：①③.
49．（2023·河南南阳·高二统考期末）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如
下（单位： ）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为 ，
标准差为 ．
(1)求 和 ；
(2)已知这批零件的内径 （单位： ）服从正态分布 ，若该车间又新购一台设备，安装调试后，
试生产了5个零件，测量其内径（单位： ）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负
责人，以原设备生产性能为标准，试根据 原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
参考数据：若 ，则：
， ，
， ．
【解析】（1） ,
，
故 ；
（2）由题意得： ，
，即 ，所以五个零件的内径中恰有1个不在 的概率为 ，
又试产的5个零件中内径出现了1个不在 内，
所以小概率事件出现了，根据 原则，这台设备是否需要进一步调试.
50．（2023·高二课时练习）一研究机构从某市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，
对这50个社区某天产生的垃圾量 （单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两
万人左右且垃圾数量超过28吨/天的社区确定为“超标”社区．
垃圾量
（吨）
频数 5 6 9 12 8 6 4
(1)通过频数分布表估算出这50个社区这一天的垃圾量的平均值 ；（精确到0.1）
(2)若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布 ，其中 近似为（1）
中的样本平均值 ， 近似为样本方差 ，经计算得 ，请利用正态分布知识估计这320个社区中
“超标”社区的个数；
(3)通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，研究机构决定对这8个
“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设
为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求 的分布与数学期望．
【解析】（1）由频数分布表，
可得 ，
所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨．
（2）由已知及（1）知 ， ，于是 ．
因为 ，
所以估计这320个社区中“超标”社区的个数为51．
（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，于是 的可能取值为1、2、3、4，且 ， ， ，
，所以 的分布列如下：
，
由此得 的数学期望 ．
51．（2023·高二课时练习）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布
（单位： ）．
(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于 的概率约为多少？
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于 ，检测员根据抽检结果，判断
出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．
【解析】（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为 ，
由题意可知： ；
，
由正态分布的对称性及“ ”原则可知： .
（2）检测员的判断是合理的．
如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包白糖检测，质量都小于 的概率约为
，为极小概率事件，几乎不可能发生；但这样的事件竟然发生了，
有理由认为生产线出现异常，即检测员的判断是合理的.
52．（2023·高二课时练习）已知随机变量 ，且正态分布密度函数在 上是严格增函数，
在 上是严格减函数， ．(1)求参数 、 的值；
(2)求 ．（结果精确到0.01%）
【解析】（1）由题意得，正态曲线关于直线 对称，即参数 ．
又 ，结合 ，可知 ．
（2） ．
因为 ，所以 ，可得 ．
又因为 ，所以 ．
所以 ．
53．（2023·山西太原·高三统考期末）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量
指标值，整理测量结果得到如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均值 和样本方差 （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 近
似为样本方差 ．
（ⅰ）利用该正态分布，求 ；
（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间
的产品件数．利用（ⅰ）的结果，求 ．
附： ；若 ，则 ．【解析】（1）由题意得
，
（2）由题意得 ，
（ⅰ）∵ ，
∴ ；
（ⅱ）由（ⅰ）得从该企业购买了1件这种产品，其质量指标值位于区间 的概率为 ，
∴ ，
∴ ．
核心知识7 随机变量的数字特征
54．（2023·全国·高二单元测试）甲、乙两种零件某次性能测评的分值 ， 的分布如下，则性能更稳定的
零件是______．
8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
【答案】乙
【解析】由题意知： ，
，
所以 ，
，因为 ，所以乙更稳定．
故答案为:乙．
55．（2023·全国·高二单元测试）从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，
即 ，则X的方差 为______．
【答案】
【解析】由题意，得 ， ，故X的分布为 ，
所以 ，所以 ，
故答案为： ．
56．（2023·全国·高二课时练习）袋中有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个小球除颜色外完全相同，
每次不放回地从中取出1个球，取出白球即停，记X为取出的球中黄球数与红球数之差，则 ______.
【答案】0
【解析】 ，
，
，
故 .
故答案为：0
57．（2023·全国·高二专题练习）小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可
能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分．现3人共进行了4
次游戏，记小明4次游戏得分之和为X，则X的均值为________．【答案】3
【解析】3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，
规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分，
现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为 ，
则 的可能取值为0，1，2，3，4，
设其他两位同学为 ， ，小明为 ，列表得
手心 手心 手背
手心 手背 手背
手心 手心 手心
手心 手背 手心
手背 手心 手背
手背 手心 手心
手背 手背 手背
手背 手背 手心
共有8种情况，小明得1分结果有6种情况，
小明每局每得分的概率 ，
，
．
故答案为： ．
58．（2023·全国·高二课时练习）某同学上学路上要经过 个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是 ，且
在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记 为遇到红灯的次数，若 ，则Y的方差 ______．
【答案】
【解析】 同学上学路上要经过 个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是 ，
且在各路口是否遇到红灯是相互独立的．记 为遇到红灯的次数，则 ，
，
， ．
故答案为： ．
59．（2023·全国·高二课时练习）袋中装有大小与质地相同的5个红球、m个白球，现从中任取2个球．若
取出的两球都是红球的概率为 ，记取出的红球个数为X，则 ______．
【答案】
【解析】由题意知： ，整理得 ，
∴ ，
由 ，则 ， ， ，
∴ .
故答案为： .
60．（2023·上海市嘉定区安亭高级中学高二期中）已知共15张卡牌由5张红卡、10张其它颜色卡组成，
混合后分3轮发出，每轮随机发出5张卡．
(1)求事件“第1轮无红色卡牌”的概率 ；
(2)求事件“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率 ；
(3)求事件“每轮均有红色卡牌”的概率 ．
【解析】（1）由题意，“第1轮无红色卡牌”的概率 .（2）由题意，“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率 .
（3）要使每轮都有红色卡牌，有如下情况：
第一轮抽到1张红牌，则第二轮红牌有1张、2张、3张，
此时每轮都有红牌的概率为 ，
第一轮抽到2张红牌，则第二轮红牌有1张、2张，
此时每轮都有红牌的概率为 ，
第一轮抽到3张红牌，则第二轮红牌有1张，
此时每轮都有红牌的概率为 ，
综上，3轮中“每轮均有红色卡牌”的概率 .
61．（2023·浙江金华第一中学高二阶段练习）2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定
举办一次共青团史知识擂台赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过
后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛
的概率均为 ，通过初赛后再通过决赛的概率依次为 ， ， ，假设他们之间通过与否互不影响．
(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
(2)设这3人中参加市赛的人数为 ，求 的分布列；
(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：
方案1：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为 ，且每次抽奖互不影
响，中奖一次奖1000元；
方案2：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖600元，进入了市赛的选手奖1200元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
【解析】（1）3人都没通过初赛的概率为 ，所以这三人中至少有1人通过初赛的概率 ．
（2）依题意 可能取值为0，1，2，3．
设事件A表示“甲参加市赛”，事件B表示“乙参加市赛”，事件C表示“丙参加市赛”，
则 ，
则 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2 3
P
（3）方案1：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则 ，
且 ，所以 元，
方案2：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，
方法1：则Z的所有可能取值为1800，2400，3000，3600，
由（2）知，Z的分布列为：
Z 1800 2400 3000 3600
P
则 ，
因为 ，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．
方法2：由（2）知， ，方案2等价于只要参加了选拔赛即奖励600元，
进入了市赛的选手再奖600元．则 ，
因为 ，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．
62．（2023·贵州六盘水·高二期末（理））为迎接 年 月 日至 月 日在六盘水市举行的贵州省第
十一届运动会，运动员们正艰苦训练，积极备战.某运动员射击一次所得环数 的分布列如下：
现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 .
(1)求此人两次命中环数相同的概率；
(2)求 的分布列和数学期望 .
【解析】（1） 此人连续两次命中 环的概率为 ；连续两次命中 环的概率为 ；
连续两次命中 环的概率为 ；
此人两次命中环数相同的概率为 .
（2）由题意可知： 所有可能的取值为 ，
； ；
；
的分布列为：
则数学期望 .
63．（2023·上海市杨浦高级中学高二期末）某网站规定：一个邮箱在一天内出现3次密码尝试错误，该邮
箱将被锁定24小时.小王发现自己忘记了邮箱密码，但是可以确定该邮箱的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该邮
箱被锁定.
(1)求当天小王的该邮箱被锁定的概率；
(2)设当天小王尝试该邮箱的密码次数为 ，求 的分布列及 ， 的值.
【解析】（1）设“当天小王的该邮箱被锁定”为事件 ，
则
（2）由题意， 可能取到1，2，3，
则 ， ， ，
所以 的分布列为：
1 2 3
所以 ，
64．（2023·全国·高二课时练习）某企业计划加大技术革新力度，需更换一台设备．现有两种品牌的设备
可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投人90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进
行了抽样调查：
A品牌的使用
2 3 4 5
年限
概率 0.4 0.3 0.2 0.1
B品牌的使用
2 3 4 5
年限
概率 0.1 0.3 0.4 0.2
更换设备技术革新后，每年估计可增加效益100万元，请从年均收益的角度分析，为该企业提出建议．
【解析】设更换为A品牌设备使用的平均年限为X，
则 （年），
更换为A品牌设备年均收益为 （万元）；
设更换为B品牌设备使用的平均年限为Y，则 （年），
更换为B品牌设备年均收益为 （万元）．所以建议更换为 品牌设备．
65．（2023·福建·厦门海沧实验中学高二期中）某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师办
理流量套餐．为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用
流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如下：
若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题．
(1)从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过300M的概率；
(2)现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：
套餐名称 月套餐费/元 月套餐流量/M
A 20 300
B 30 500
C 38 700
这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就自动帮
用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20
元，以此类推，如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购其中一款流量套
餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订
购哪一款套餐最经济？说明理由．
【解析】（1）记“从该校随机抽取1位教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D．依题意，
．
从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则 ，所以
从该校教师中随机抽取3人，至多有1人手机月使用流量不超过300M的概率为．
（2）依题意，从该校随机抽取1位教师，该教师手机月使用流量 的概率为
， 的概率为 ．
当学校订购A套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为 元，则 的所有可能取值为20，35，50，且
， ， ，所以 的分布列为
20 35 50
P 0.3 0.6 0.1
所以 （元）．
当学校订购B套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为 元，则 的所有可能取值为30，45，且
， ，
所以 的分布列为
30 45
P 0.9 0.1
所以 （元）．
当学校订购C套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为 元，则 的所有可能取值为38，且
，所以 （元）．
因为 ，所以学校订购B套餐最经济．
核心知识8 概率的综合应用
66．（2023·湖南·模拟预测）党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对抗赛，组委会将
参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委会随机从百年党史题库抽取 道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等 比赛细则为：选手抢到试题且回答正确得 分，对方选手
得 分 选手抢到试题但回答错误或没有回答得 分，对方选手得 分 道题目抢答完毕后得分多者获胜
已知甲、乙两名选手被分在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为 ，乙回答正确的概率为 ，
两名选手每道试题回答是否正确相互独立．
(1)求乙同学得 分的概率
(2)记 为甲同学的累计得分，求 的分布列和数学期望．
【解析】（1）由题意，乙同学得 分的基本事件有 乙抢到两题且一道正确一道错误 、
甲乙各抢到一题都回答正确 、 甲抢到两题且回答错误 ，
所以乙同学得 分的概率为
（2）由题意，甲同学的累计得分 可能值为0，50，100，150，200，
，
，
，
，
，
分布列如下：
所以期望 ．
67．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）某地开展生态环境保护主题的知识竞赛，满分为100分，现
从参赛者的答卷中随机抽取100份作为样本，经统计得到如下成绩分布表．
竞赛分数份数 8 32 40 20
若规定对竞赛的得分类别作如下规定：得分大于90分的为“优秀”，得分大于80不大于90分的为“良
好”，
(1)估计所有参赛者的得分的平均数和中位数；
(2)从获得“良好”和“优秀”等第的样本试卷中，按分层抽样抽取6份，再从中随机抽取3份，获“优
秀”者奖励200元购书券，获“良好”者奖励100元购书券，记购书券总金额为X(单位：元)，求 的分
布列和数学期望．
【解析】（1）由表可估计所有参赛者的得分的平均数为 ，
因为前两组的频率之和为 ，第四组为 ，
故估计中位数为 .
（2）由题意可知“良好”和“优秀”的比例为 ，
故按分层抽样抽取6份，“良好”试卷由4份，“优秀”试卷有2份，
则X的取值可能为300元、400元、500元，
则 , , ,
则X的分布列如下：
X 300 400 500
P
故 （元）.
68．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）某大型国有企业计划在某双一流大学进行招聘面试，面试共分
两轮，且第一轮通过后才能进入第二轮面试，两轮均通过方可录用．甲、乙、丙、丁4名同学参加面试，
已知这4人面试第一轮通过的概率分别为 ， ， ， ，面试第二轮通过的概率分别为 ， ， ， ，
且4人的面试结果相互独立．
(1)求甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率；
(2)记甲、乙、丙、丁4人中最终被录用的人数为X，求X的分布列和数学期望．【解析】（1）由题意得，甲被录用的概率为 ，
乙被录用的概率为 ，
丙被录用的概率为 ，
丁被录用的概率为 ；
事件“至少有1人被录用”与事件“没有人被录用”互为对立事件，
没有人被录用的概率为
设甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用为事件M，
则 ，
即甲、乙、丙、丁4人中至少有1人被录用的概率为
（2）由题意得，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
∴ ，
，
，
，
，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P∴期望值 ．
69．（2023·浙江宁波·高三期末）甲、乙两位棋手，与同一台智能机器人进行国际象棋比赛，相互独立，
互不影响，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得1分；如果甲输而乙赢，则甲得 分；
如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.6，乙赢机器人的概率0.5.记甲在一轮比
赛中的得分记为X，在两轮比赛中的得分为Y.
(1)若甲单独与机器人进行三次比赛，求甲恰有两次赢的概率；
(2)求X的分布列；
(3)求Y的均值.
【解析】（1）设甲恰有两次赢的概率为 ，
；
（2）X的可能取值为 ，0，1.
根据记分规则，得 ，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1
P 0.2 0.5 0.3
（3）两轮比赛甲的得分Y的可能取值为 .
由于两轮比赛的结果是独立的，所以
，
，
，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09故 .
70．（2023·广东茂名·统考一模）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班的学生报名表，
分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机
选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛.
(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；
(2)比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积 分.现抽中
甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为 ，乙赢概率为 ，比赛共进行二轮.
（i）在一轮比赛中，求这两名学生得分的分布列；
（ii）在两轮比赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.
【解析】（1）设 “抽到第一袋”， “抽到第二袋”，
B＝“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”
由全概率公式得
（2）（i）设在一轮比赛中得分为 ，则 的可能取值为－2，0，2，则
得分为 的分布列用表格表示
－2 0 2P
（ii）设在二轮比赛中得分为 ，则 的可能取值为－4，－2，0，2，4，则
得分为 的分布列用表格表示为
－4 －2 0 2 4
P
71．（2023·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）为了让幼儿园大班的小朋友尝试以客体区分左手和右
手，左肩和右肩，在游戏中提高细致观察和辨别能力，同时能大胆地表达自己的想法，体验与同伴游戏的
快乐，某位教师设计了一个名为【肩手左右】的游戏，方案如下：
游戏准备：选取甲、乙两位小朋友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡
片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的“左”字，另一张纸板正反两面打印有
相同的“右”字．
游戏进行：一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小
朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指
令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停！”．小朋友如果听
到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停！”．
最先完成指令动作的小朋友喊出“停！”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完
成情况进行评分，至此游戏完成一次．
游戏评价：为了方便描述问题，约定：对于每次游戏，若甲小朋友正确完成了指令动作且乙小朋友未完成
则甲得1分，乙得－1分；若乙小朋友正确完成了指令动作且甲小朋友未完成则甲得－1分，乙得1分；若
甲，乙两位小朋友都正确完成或都未正确完成指令动作，则两位小朋友均得0分．当两位小朋友中的一位比另外一位小朋友的分数多8分时，就停止本轮游戏，并判定得分高的小朋友获胜．现假设“甲小朋友能
正确完成一次游戏中的指令动作的概率为 ，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为 ”，
一次游戏中甲小朋友的得分记为X．
(1)求X的分布列；
(2)若甲小朋友、乙小朋友在一轮游戏开始时都赋予4分， 表示“甲小朋友的当前累计得分
为i时，本轮游戏甲小朋友最终获胜”的概率，则 ， ， ，其中
， ， ．假设 ， ．
（i）证明： 为等比数列；
（ii）根据 的值说明这种游戏方案是否能够充分验证“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概
率为0.5，乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．
【解析】（1）由题意知 所有可能的取值为 ，
，
，
，
所有分布列为：
0 1
（2）（i）证明：因为 ，
所以 ，
，
，因为 ，
所以 ，
整理得： ， ，
所以 ， ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（ii）由（i）知
所以 ，
累加求和得 ，
所以 ，
所以
表示甲小朋友当前累计得分为 分时，本轮游戏最终甲获胜的概率，
由计算结果可以看出，假设一次游戏中甲小朋友完成指令动作的概率为0.5，
乙小朋友完成一次游戏中的指令动作的概率为0.6，
本轮游戏中甲小朋友获胜的概率 ，
这种情况发生的概率比较小，能够说明这种游戏方案能够充分验证
“甲小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的概率为0.5，
乙小朋友能正确完成一次游戏中的指令动作的率为0.6”的假设．72．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）某公司计划在2020年年初将100万元用
于投资，现有两个项目供选择．
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种
情况发生的概率分别为 和 ；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不
赚，且这三种情况发生的概率分别为 ， ， ．
(1)针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
(2)若市场预期不变，该投资公司按照（1）中选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），
问大约在哪一年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番？
（参考数据 ， ）
【解析】（1）若投资项目一，设获利为 万元，
则 的分布列为
30 -15
P
．
若投资项目二，设获利为 万元，
则 的分布列为
50 0 -30
P
．
．
，
，，
这说明虽然项目一、项目二获利的均值相等，但项目一更稳妥．
综上所述，建议该投资公司选择项目一进行投资．
（2）假设n年后总资产可以翻一番，
依题意， ，即 ，
两边取对数，得 ，
，
大约在2023年年底总资产可以翻一番．
