(280)--第三章-二维随机变量及其分布答案解析_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

第三章 二维随机变量及其分布
巩固练习
1.【答案】
1
1
7
8
【解析】由题设，知 k
3
 1
P { X  k }  1 ， P { X  k } 
1
3
，根据全概率公式得
P  Y  2 .5  

k
1
3
3
 1

P
1


Y
1 

2
2 .5
.5
3
,

X

 k
8 .5
9



1
1
k
7
8
3
 1
.
P  X  k  P  Y  2 .5 | X  k 
2.【答案】
1
4
F ( y ) 
3
4
F ( y  1 )
【解析】 X
1
~ B

1 ,
3
4

，即
X
P
1
0
1
4
1
3
4
．
由全概率公式，得
F
Y
( y ) 


P
P
1
4


P
X
X

1
1
X


2
X
0


2
P
y



y
X


2
3
4


P
P
y



X
X

2

1
P


y
X
X

2
1
1



y
1

,

1
4
X
P
1

F

X
( y
0
2
)




y
3
4
P

F
 X
 1
( y
1


1
X
) .
2
 y , X
1
 1 
3.【答案】 0 .3
【解析】方法一：根据归一性
0.10.20.10.20.61，
即0.4.又
0.5 P  X2 Y2 1   P  X2 0,Y2 1  P  X2 1,Y2 0 
 PX 0,Y 1PX 0,Y 1PX 1,Y 0
0.10.10.2
故0.3也就有0.1；  2 2 P X Y 1 P
P
0


.2
X
X
2
1
1
,
, Y
Y
0
2
.3
1
.

1 
P  X 1 , Y 1 

 

 





    .
方法二：本题所给条件 X 2 ，Y2，所以也可以转换成：已知
Y 2
0 1
X2
0 0 .2 0.1
1 0 . 1 0 . 2  
且P  X2 Y2 1  0.5，求 P  X 2 Y 2  1  ．
显然 0 . 1 0 . 2 0 . 7       ，则 0 .4     ，
又 P  X 2 Y 2 1  0 . 1 0 . 1 0 . 5        ，
得0.3，则P  X2Y2 1  0.20.3．
4.【答案】
2

【解析】由于 ( X , Y ) ~ N (
1
,
2
; 21 , 22 ; 0 )     ，所以X,Y 相互独立，
F ( x , y )  F
X
( x ) F
Y
( y ) ， X ~ N (
1
, 21 ) , Y ~ N (
2
, 22 )     .
由正态分布密度函数对称性，
F
X
(
1
) P  X
1

1
2
     ，
F (
1
, y ) F
X
(
1
) F
Y
( y )
1
2
F
Y
( y )
1
4
     ，
就有 F
Y
( y ) 
1
2
，即y．
2
 1 1 1 1 
5.【答案】N

 , ; , ;0

 2 2 4 4 
【解析】 ( X , Y ) 的分布函数为(2x1)(2y1)，可知 X , Y 必独立．

(

2 x


x
1

) 
1
2

( 2
1
2
y



1

)

y 
1
2
1
2

 F
X
( x ) F
Y
( y )
由正态分布 X ~ N ( , 2 )  的标准化，可知
F
X
( x ) P  X x  P
X x x   
  
  
 

 
 
  
，
现 F
X
( x )  

x 

 1
2
1
2
 
 1 1
，所以X ~ N   , ．同理
 2 4
Y ~ N
 1
2
,
1
4

．
总之 ( X , Y ) ~ N


1
2
,
1
2
;
1
4
,
1
4
; 0

．
6.【答案】  ( x )
【解析】将事件“Y  1”和“Y 1”看成一完备事件组，则由全概率公式
F(x) PZ  x PXY  x
 PX  x,Y 1PX  x,Y 1
 PX xPY 1PX  xPY 1
1 1
 PX x PX  x
2 2
由对称性可知： P  X   x   P  X  x  ，所以
F ( x ) 
1
2
 ( x ) 
1
2
 ( x )   ( x ) ．
7.【答案】0
【解析】P 
1
m
P
P
P
1
2
a
P



x (

m
X
X
1
2
X
m
a
, Y
a x
x (
1
2
)
( X
X , Y
, Y
 P
1
2
, Y
)


)
Y
0

.
P



P

m
P

i n
1

X
P
(
m

X
i
X
P
n
, Y )
 m
( X
, Y
i n
, Y

(
)
P

X


,
Y
Y

)


 
 
 
   
   













 











 






 
8.【答案】A
【解析】如果 F
Z
( z ) 在 z  a 有间断点，即 F
Z
( a )  F
Z
( a  0 )  0 ，也就有
PZ a F (a)F (a0)0．
Z Z
由全概率公式知，对任意实数 a ，
P





P
P
P
1
2
X





X
X
X
P
Y



 X

Y
a
a
a





a , Y
1 , Y
 1 P
a  1




1
Y

1



P


1

P
P

X


 X
X
P



a

X

Y
a
1




1
a

a
, Y


, Y
1
1
2


(


P
0

1


1

Y
0


) 
 1
0

,
所以 X  Y  Z 的分布函数 F
Z
( z ) 是连续函数，
答案选（A）．
9.【答案】D
【解析】显然我们可以通过计算每个选项中的随机变量的分布来确定正确选项，这样会有大
量计算．我们也可以利用指数分布的一些性质来判断．
如果 X ~ E ( )
1
 ，则EX  ．

E ( X Y ) E X E Y
2
2
1
 
     ，
1
E(X Y) EX EY 0 ，
2
所以（A）不对，（B）也不对；当X,Y 独立时，max(X,Y)的分布函数为Pmax(X,Y) x
 PX  x,Y  x PX  xPY  x
(1ex)2, x0


PX  x

2 
 0, x0
显然不等于 E ( 2 )  的分布函数；
当X,Y 独立时，min(X,Y)的分布函数为
P 
1
1
m
1
i n (
 P
 P
e
0
X
m
X
2
,
, Y
i n
x ,
)
( X
x 
x
x
x
, Y
P

)
 Y
0
0
x 
x 
1
1
P 
[ 1
X
F (
x
x
, Y
) ] 2
x 







 









 
 
即min(X,Y)~ E(2)，
所以选择（D）．
10.【答案】A
【解析】 ( X , Y ) ~ f ( x , y ) 
2
1

e
 x 2 2 y 2

1
2 
e
 2 x2

1
2 
e
 2 y2
，
本题可以看成 X ~ N ( 0 , 1 ) ， Y ~ N ( 0 , 1 ) ，且 X 与 Y 相互独立，
1  x2
f (x) e 2 ，
X 2
f
Y
( y ) 
1
2 
e
 2 y2
， f(x,y) f (x)f (y)
X Y
f
∣X Y
( x | y ) 
f (
f
Y
x
(
,
y
y
)
)

f
X
( x
f
Y
)
(
f
Y
y
(
)
y )
 f
X
( x ) ,
显然 f
Y
( y )  0 ，答案应选（A）．
11.【答案】D
【解析】二维正态分布应具有密度函数f ( x , y )
( x
2
21
1
)
1
2
1
2
2
1
( x
2
e x
)
1
1
p
(
2
y
2 (1
)
2
1
(
2
y
)
22
2
) 2
  
    
  












  
其中
1
，， 0，
2 1 2
0   ， 1 1     均为常数，记作 ( X , Y ) ~ N (
1
,
2
; 21 , 22 ; )      ．
显然本题的 f ( x , y ) 不具这种形式，因此 ( X , Y ) 不服从二维正态，所以（A）（B）不正
确．由于 s i n x e

2 x2
是奇函数，因此 
 
 
s i n x e

2 x2
d x  
 
 
s i n y e

2 y2
d y  0 ．
而
f
X
( x ) 



2
2
 
 
1

1

e
e
f


( x
2 x2
2 x2
,


y

) d y
 
e
 
2 



 

 
2 y
d y 2
1
2
1




e
s i n
2
 
s
 
2 x 
2
x

i n
s
x
i n
s i
y
n

y
e
e


2 x  y
2
2 y
d 2
2
y
d

y
即X ~ N(0,1)，同理可证 Y ~ N ( 0 , 1 ) ，由此可知，虽然联合分布 ( X , Y ) 不服从二维正态分
布，但其边缘分布 X 与 Y 均为正态分布，故选（D）．
12.【答案】A
【解析】 X ~ B

1 ,
1
2

， X 取值只能为X 0或 X  1 ，将X 0和 X  1 看成完备事件组，
用全概率公式有P






P
P
P
1
2
1
2
X



P


Y
Y
Y

1
3
Y



Y


1
3
1
3
1
3

1
2
1 
3 
, X
, X

P 
1 
3 
 0





X
0
0
1
2
1
6



P
.


0

P
P

Y




1
Y
P




Y
Y
2
3




2
3
1
3
,

,
X
2
3
X



1
P
1



X  1 
13.【答案】B
【解析】设 ( X
1
, X
2
) 的分布为 F
1
( x
1
, x
2
) ， ( Y
1
, Y
2
) 的分布为 F
2
( y
1
, y
2
) ，
F
2
( y
1
, y
2
) 

P
P


Y
1
X

1

y , Y
1
y
1
2
2
,

X
2
y
2


3

y
2
P



2 X
F
1
1


y
2
1
y ,
1
, 3
1
3
y
2
X

2
 y
2

3  y 
所以 f (y ,y ) f  1,3y ，故选（B）．
2 1 2 2 1  2 2 
14.【答案】 F
U
( u ) 
 0 , u
3 u  3
, 0
8
3 u
 , 1
4 8
1 , u




0
u
u
2
,


.
1
2
,
,
【解析】由 X
0, x0,

3
的分布函数为F (x) , 0 x1，可知X 为离散型随机变量，
X 4

1, x1,

P ( X  0 ) 
3
4
， P ( X  1 ) 
1
4
；则
F (u) P(U u) P(X Y u)
U
 P(X Y u,X 0)+P(X Y u,X 1)
 P(Y u,X 0)+P(Y u1,X 1)当u0时， F
U
( u )  0 ；
当 0  u  1 时，
F
U
( u ) 

P
P
(
(
U
X


u
0
)
)

P (
P
Y
( X
 u

)
Y


3
4
u

)
u


2
P
1
( X

3

u
0

8
, Y
3
 u )
当 1  u  2 时，
F
U
( u )  P ( X  0 , Y  u )  P ( X  1 , Y  u  1 ) 
3
4

1
4

u
2

3
4

u
8
当u2，F (u)1. 所以
U
F
U
( u ) 
 0 , u
3 u  3
, 0
8
3 u
 , 1
4 8
1 , u




0
u
u
2
,


.
1
2
,
,
ex,x0 2e2y,y 0
15.【答案】（1） f (x) ； f (y) （2）
X 0, x0 Y 0, y0
X , Y 相互独立
【解析】（1） f
X
( x )  
 
 
f ( x , y ) d y
当 x  0 时， f (x)0；
X
当 x  0 时，
f
X
( x )  
 
 
f ( x , y ) d y  

0

2 e  ( x  2 y )d y  e  x 

0

e  2 y d ( 2 y )  e  x
ex,x0
则 f (x) .
X 0, x0
f
Y
( y )  
 
 
f ( x , y ) d x ，
当 y 0时， f (y)0；
Y
当 y 0时，
 
f (y) 2e(x2y)dx2e2y exdx2e2y，
Y
0 0则 f
Y
( y ) 
 2
0
e
,
 2 y , y
y


0
0
.
（2）因为 f ( x , y )  f
X
( x ) f
Y
( y ) ，所以随机变量 X , Y 相互独立.
16.【答案】（1） f ( x , y ) 
 1
x
0 ,
,
其
0 
他
y
.
 x  1 ,
（2） f
Y
( y ) 
 
0
l n y
,
,
其
0 
他
y
.
 1 ,
【解析】（1）因为 X ~ U ( 0 , 1 ) ，所以
1,0 x1
f (x)
X 0,其他
又在X  x(0 x1)下，Y U(0,x)，所以
f
Y |X
( y | x ) 
 1
x
0 ,
,
其
0 
他
y  x
1
 ,0 y x1,
故 f(x,y) f (x)f (y|x)x
X Y|X
 0,其他.
(2) f
Y
( y )  
 
 
f ( x , y ) d x ，当 y  0 或 y  1 时， f
Y
( y )  0 ；
11
当0 y1时， f (y) dxln y ，故
Y y x
f
Y
( y ) 
 
0
l n y
,
,
其
0 
他
y
.
 1 ,
17.【答案】 f
U
( u ) 
 0
e
e
,
2
2
u
 2 u , 1
 2 u 4  2 u  e , u



1 ,
u
2

.
2 ,
【解析】由Y ~ E(4)可得 f
Y
( y ) 
 4
0
e
,
 4 y ,
其
y 
他
0
.
,F
U
( u ) 




P
P
P
P
0
( U
( X

Y


Y

.5 P





Y
u
2
u
u
) 
Y

2

2


1
1
u
P
u
,


2
(
,
X
P
1
X 
X 
 1
( X



2
1


0
Y
)

1
.5


P
)
P
u
P



)
( X
Y
P
Y



Y


2
u

u
Y

2

2
 u
2
, X
u  2
2
2 
, X


P


2
(
2

X
)
 2 )
当u1时，F (u)0；
U
当 1  u  2 时，
F
U
( u )  0 . 5 
u
0
2 1
4 e  4 x d x 
1
2
( 1  e 2  2 u ) ；
当u 2时，
F
U
( u ) 

0
1
2
.  5
(1
u
0

 1
2
e
4
2 
e
2

u
4
)
x d

x
1
2
 0
(1
.

5 
e
u
0
4 
2
2
2
u
4
)
e  4 x d x
0, u1,

故 f (u) F(u)e22u, 1u2,
U U

e22u e42u,u 2.

18.【答案】（1） F ( x ) 
 0 , x
2 x
x  , 0
2
1 1
2  ( x  1 ) , 1
2 2
1 , x




0
x
x
2
,


1
2
,
,
（2）X,Z 不相互独立
【解析】（1）随机变量(X,Y)的联合密度为
1,(x,y)D
f(x,y) .
0,(x,y)D
U 的分布函数为
F(x) P(U  x)
 P(X Z  x,Z 0)P(X Z  x,Z 1)
 P(X  x,X Y)P(X  x1,X Y)当x0时， F ( x )  0 ；
当x2时， F ( x )  1 ；
当 0  x  1 时，
F ( x ) 

P
P
(
(
X
X


Z
Y

, X
x )


x
P
)
(

Z


x
0
d
0
u
,

X
1
u
d

v
x

)

x
0
( 1  u ) d u  x 
x
2
2
当1x2时，
F(x) P(Z 0,X  x)P(Z 1,X  x1)
 P(X Y,X 1)P(X Y,X  x1)
1 x1 u 1 1
  du dv  (u1)2
2 0 0 2 2
故 U 的分布函数为 F ( x ) 
 0 , x
2 x
x  , 0
2
1 1
2  ( x  1 ) , 1
2 2
1 , x




0
x
x
2
,


1
2
,
,
(2) 设 ( X , Z ) 的分布函数为 F ( x , z ) ，
F
 1
2
, 0



P
P


X
X


1
2
1
2
,
,
Z
X


0
Y




P


12
0
X
d u


1
u
1
2
d
,
v
Z



0
12
0

( 1  x ) d x 
3
8
F
X
 1
2

 P

X 
1
2


1
2
， F
Z
( 0 )  P  Z  0   P  Z  0   P  X  Y  
1
2
，
因为 F
 1
2
, 0

 F
X
 1
2

F
Z
( 0 ) ，所以 X , Z 不相互独立.综合测试
1.【答案】 e  2
【解析】 X 和 Y 的分布函数为 F ( x ) 

10 , e  x , xx  00 ,,
又X 和 Y 独立，故
P  m i n ( X , Y )  1  

P
e 

1
X
 e

 1
1

, Y
e 

2 .
1   P  X  1  P  Y  1 
2.【答案】 1  e  1  2 e

12
【解析】应用公式P(X,Y)D f(x,y)dxdy即可求得结果.事实上，
D
P { X  Y 

1 }
1
 2
0

( e
 
x  y
 x
 1

f
e
( x
x  1
,
)
y
d
)
x
d

x d
1
y


e 

1
12
0

d
2
x
e


1  x
x
1
. 2
e  y d y
3.【答案】D
【解析】由于 X ~ E ( )

ex, x0,
 ，所以密度函数为 f(x) 分布函数为
0, x0,

1ex, x0, 1 1
F(x)  E(X) ,D(X) ，因为
0, x0,  2
E ( X Y )
2
, E ( X Y ) 0

    ，
而maxX,Y
的分布函数是
P ( m a x { X , Y } x ) P
F
(
2
X
( x )
x , Y
1
0 ,
e
x )
2 x ,
P
x
x
( X
0
0
,
,
x ) P ( Y x )

 



 





 
所以（A）（B）（C）项都不对，答案选（D）.
事实上，minX,Y
的分布函数为
P(min{X,Y} x)1P(min{X,Y} x)1P(X  x,Y  x)
1P(X  x)P(Y  x)1[1F(x)]2
1e2x, x0,

0, x0.
4.【答案】B【解析】由于 X ~ U (  2 , 4 ) , 因此 X 的概率密度为 f ( x ) 
 1
6
0 ,
, 
其
2
他

.
x  4 ,
又随机变量
X , Y 相互独立，故
PXY 2 PY 2PXY 2|Y 2PY 2PXY 2|Y 2
 PY 2PX 1PY 2PX 1
3 11 1 41 3 1 1 3 1
  dx  dx     .
4 2 6 4 1 6 4 6 4 6 4
5.【答案】（1） f
Y
( y ) 

b
0
1

,
a
l n
b
b


a
y
, a
其

他
y
.
 b ,
（2）1ln2
【解析】（1）由题意，X ~U(a,b)，故 X 的概率密度为
f
X
( x ) 

b
0 ,
1
 a
, a
其

他
x
.
 b ,
对于任意给定的x(a,b)，在 X  x 的条件下，Y 的条件概率密度为
 1
 , x y b,
f (y|x)bx
Y|X
 0, 其他.
故X 和 Y 的联合概率密度为
f ( x , y )  f
Y |X
( y | x ) f
X
( x ) 

(0 b,  a
1
) ( b  x )
, a
其

他
x
.
 y  b ,
于是， Y 的概率密度为
f
Y
( y ) 





 
 
y

a
0 ,
1
b 
0 ,
f
(
(
b
a
x

l
,
n
y ) d
1
a ) ( b
b 
b 
x

a
y
x
,
)
d
a
其
x ,

他
a
其
y
.


他
b
y
.
,
 b ,
（2）P  X  Y  a  b  





a
a
a
a
a
a
2
2
2
b
b
b
d
(

x
a
b
b
a

x


2

 b  x
b 
a ) ( b

a
( b
2

b

x
x
1

a
d
)
x
1
) (
x

d 
b

x



x
a
a
1
d
)
 b
2

y
(
l
a
n

( b
( b
b


) 
a )
x )
2 ( b
( b 
a  b
2
a

x

x
)
1
)
d

x
l n 2 .
6.【答案】 F ( x , y ) 
 011 ,
22 ee 

y
y
 ee 

2
2
y
x
,
2 e  ( x  y ) ,
x00  0yx 或 yxy , 0 ,
【解析】如图所示，①当 x  0 或者 y 0时，F(x,y)0；
②当 0  y  x 时，
F ( x , y )  
x
 
d s 
y
 
f ( s , t ) d t  2 
y
0
e  td t 
t
0
e  s d s  1  2 e  y  e  2 y ；
③当 0  x  y 时，
F ( x , y ) 


1
x
 

d
2
s
e


y
 
y 
f
e
( s
 2
,
x
t )

d t
2 e


2
( x
x

0
 y )
e  s d s 
y
s
e  td t
于是，(X,Y)的分布函数为
F ( x , y ) 
 011 ,
22 ee 

y
y
 ee 

2
2
y
x
,
2 e  ( x  y ) ,
x00  0yx 或 yxy ,. 0 ,拓展提升
1.【答案】（1） a   1 ；（2） f
Z
( z ) 
 1
2
1
2
0 ,
( 1
( 1


 2 e
z  e
z ) e , z
2 ) , 0
其


他
0
z
,
 2 ,
+
【解析】（1）由 f (y)dy 1，知
Y

a  0 ，且


0

e a y d y 
1
a
e a y

0

 l i
y 
m

 1
a
e a y 
1
a

 1
若成立，必有 l i
y 
m

1
a
e a y  0 ，解得a1.
（2）
方法一（公式法）：由（1）知 Z  2 X  Y ，且 X , Y 相互独立，故
f
Z
( z ) = 
 
 
f
X
( x ) f
Y
( 2 x  z ) d x , （*）
积分区域为
 0
2

x 
x 
z
1

,
0 ,
即
 0
2

x 
x 
z ,
1 ,
于是
【注】（*）处来自如下公式.设 ( X , Y ) ~ f ( x , y )
  1 e(2xz)dx, z 0,

0


f (z) 1 e(2xz)dx, 0 z 2,
Z z

2

 0, 其他
1
(1e2)ez, z 0,

2


1
(1ez2), 0 z 2,

2


0, 其他
，则Z aX bY(ab0)的概率密度为
1   zby  1   zax
f (z)  f

,y

dy   f

x,

dx
Z a   a  b   b 进一步，若 X , Y 相互独立，且 X ~ f
X
( x ) , Y ~ f
Y
( y ) , 则
f
Z
( z ) 
1
a

 
 
f
X
 z 
a
b y 
f
Y
( y ) d y 
1
b

 
 
f
X
( x ) f
Y
 z 
b
a x 
d x .
方法二（分布函数法）：由（1）知 Z  2 X  Y ，且 X , Y 相互独立，故
f ( x , y ) 
 e
0

,
y , 0
其

他
x  1 , y  0
F
Z
( z )  P  Z  z   P  2 X  Y  z 
当z 2时， F
Z
( z )  1
当0z2时，
1 2xz 1
F (z)1 dx eydy 1 (1ez2x)dx
Z z z
0
2 2
1
 ez2x  z 1 ez2
1x    
 2  z 2 2 2
2
当 z  0 时，
F
Z
( z )  
1
0
d x 
 
2 x  z
e  y d y  
1
0
e z  2 x d x  
e z 
2
2 x 1
0

e z 
2
e z  2
所以概率密度为
f
Z
( z ) 
 1
2
1
2
0 ,
(
(
1
1


e
e

z
2

)
2
e
)
z
,
, z
0
2



0
z
z
,

.
2 ,
2.【答案】A
【解析】题设二次型 g ( x
1
, x
2
, x
3
) 对应的矩阵为A 
 1
1
X
1
2
0
X
0
Y

注意到 A 的顺序主子式： 
1
 1  0 , 
2

1
1
1
2
 1  0 , 
3
 A ，故若要 A 正定，当且仅
当
1 1 X
A  1 2 0 Y 2X2 0
X 0 Y
故g(x ,x ,x )正定的概率为
1 2 3
P  Y 2X2 0   1 dx 2 1 dy  2 .
1 2x2 4 3
3.【答案】
4 
4
2 

2
2

 ( 2 )
【解析】由于 f
X
( x ) 
 1
2
0 ,
, 0
其

他
x
,
 2 ,
f
Y
( y ) 
 2
0
e
,
 2 y , y
其

他
0 ,
,
且 X , Y 相互独立，故
e2y, 0 x2,y 0,
f(x,y)
0, 其他,
方程a2  XaY 0有实根，则需要X2 4Y 0，即 Y 
X
4
2
.故方程有实根的概率为P

Y 
X
4
2 






 
2 x
y 
4
2
 d
0
1

2
1 
1 
1 
f ( x
2 x
 x 4
0
2
 ( e
0
2 
2
2 
2
2 
4
, y )
 2 e
2 x 
2
2

0
[ 

d x d y
y d y 
 1 ) d
1
e
2 
( 2 ) 
2 

2
  
0  x  22
x 0  y 
4
1 2
  (
2 0
1
x  1 
2
2 x 
d x 2
 ( 0 ) ]
4
( 2 ) 
e
e
 2 y d
 2 y
2
 e
0

4
x d
2 x
) 40
2 x 
2
2 
y
d
d
x
x

2
2

 ( 2 ) .
4.【答案】（1） f ( x , y ) 
 1
0
, 0
, 其

他
x 
.
1 且  x  y  x ,
（2） F
W
( w ) 
 0 ,
1
21
21
,
(

w
1
2
 1
w
)
2
2
,
,
w

0
w

1




w
1
1
w

.
,

1
0
,
,
 1
 , x y x,
【解析】（1）由题意得，当0x1时， f (y|x)2x
YX
 0, 其他,
则
f ( x , y ) 

f
X
1 
0 
(
,
,
x )
0
其
f
Y |X

他
(
x
.
y

|
1
x
且
)
 x  y  x ,
（2）
F (w) PW w PX [Y]w
W
 PX [Y] w,[Y]1PX [Y] w,[Y]0
 PX w1,1X Y 0PX  w,0Y  X 1
若w1，则F (w)0
W若1w0，则 F
W
( w )  
w
0
 1
d x 
0
 x
1 d y  0 
1
2
( w  1 ) 2
若 0  w  1 ，则 F
W
( w )  
1
0
d x 
0
 x
1 d y  
w
0
d x 
x
0
1 d y 
1
2

1
2
w 2
若 w  1 ，则 F
W
( w )  1
F
W
( w ) 
 0 ,
1
21
21
,
(

w
1
2
 1
w
)
2
2
,
,
w

0
w

1




w
1
1
w

.
,

1
0
,
,
5.【答案】（1） f ( x , y ) 
 2
0
e
,
 x  y , 0
其

他
x
.
 y , ez, z 0
（2） f (z)
Z 0, z 0
【解析】（1）(X,Y)的联合分布函数为
F ( x , y )  P  X  x , Y  y   P  Y  y   P  X  x , Y  y 
当 0  y  x 时，
F ( x , y )  P  X
1
 y , X
2
 y   0  P  X
1
 y  P  X
2
 y   ( 1  e  y ) 2
当 0  x  y 时，
F ( x , y ) 


P
P
(1



X
X
e
1
1



y )
y
y
2
,


X
P
(
2

 e

X
x
y
2



e


y
y
P

) 2



x
P
1



X
x
2
1

e

X
 y
y
1

, x

e

 y
 2 x
X
P

2

2

x
e
y

 x 

X
y ,
2
 y 
故(X,Y)的联合概率密度为 f ( x , y ) 
 2 F

( x
x 
,
y
y )

 2
0
e
,
 x  y , 0
其

他
x
.
 y ,
（2）方法一：Z 的分布函数为
F (z) PZ  z PY X  z  f(x,y)dxdy,
Z
yxz
当 z  0 时，F (z)0；
Z
当z0时，
 xz
F (z) dx 2exydy1ez
Z
0 x
ez, z 0,
故Z 的概率密度为 f (z)
Z 0, z 0.方法二：由卷积公式得 f
Z
( z )  
 
 
f ( x , x  z ) d x ，其中 f ( x , x  z ) 
 2
0
e
,
 2 x  z , x
其

他
0
.
, z  0 ,
当 z  0 时， f
Z
( z )  0 ；
当 z  0 时， f
Z
( z )  

0

2 e  2 x  z d x  e  z ；
ez, z 0,
故Z 的概率密度为 f (z)
Z 0, z 0.
【注】二维连续型随机变量线性组合的卷积公式：
设 Z  a X  b Y ，则
 1  zax  1  zby 
f (z) f

x,

dx f

,y

dy.
Z  b  b   a  a 
6.【答案】（1） f
Z
( z ) 
 3
0
( 1
,
 z ) , 0
其

他
z
.
 1 ,
（2）
1
2
3
4 0
【解析】（1）方法一：Z 的分布函数为
F (z) PZ  z PXY  z  f(x,y)dxdy.
Z
xyz
当z0时， F
Z
( z )  0 ；
当 z  1 时， F
Z
( z )  1 ；
当 0  z  1 时， F
Z
( z )  1  3 
1
z
y d y 
y
zy
d x  1  3 
1
z
( y 2  z ) d y  3 z  2 z
32
；
故Z 的概率密度为 f
Z
( z ) 
 3
0
( 1
,
 z ) , 0
其

他
z
.
 1 ,
 1  z 
方法二：由卷积公式得 f (z) f ,y dy，
Z  y   y  
其中 f
 z
y
, y


 3
0
y
,
, 0
其

他
z  y 2 , 0  y  1 ,
 1 1
  3ydy =3(1 z), 0 z1,
故Z 的概率密度为 f (z) z y
Z

0, 其他.（2）由 E ( X Z )  E ( X 2 Y )  
 
 

 
 
x 2 y f ( x , y ) d x d y  3 
1
0
y 2 d y 
y
0
x 2 d x  
1
0
y 5 d y 
1
6
,
E X  
 
 

 
 
x f ( x , y ) d x d y  3 
1
0
y d y 
y
0
x d x 
3
2

1
0
y 3 d y 
3
8
,
E Z  E ( X Y )  
 
 

 
 
x y f ( x , y ) d x d y  3 
1
0
y 2 d y 
y
0
x d x 
3
2

1
0
y 4 d y 
1
3
0
,
或
E Z  
 
 
z f
Z
( z ) d z  3 
1
0
z ( 1  z ) d z 
1
3
0
,
得
C o v ( X , Z )  E ( X Z )  E X  E Z 
1
2
3
4 0
.
【注】二维连续型随机变量积、商的卷积公式：
 1  z  1  z 
（1）设Z  XY ，则 f (z) f  x,  dx f  ,y  dy
Z  x  x  y  y 
（2）设 Z 
Y
X

，则 f (z) |x| f x,xzdx.
Z 