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第四章 不定积分
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第四节 有理函数积分
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主讲 武忠祥 教授
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大一、有理大函数积分 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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P (x)
有理函数 n
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大 真分式大 n m 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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x 3 1 x 1
假分式
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x
O
1
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【例1】
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x 1 A B
【解】
A 4, B 3.
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武忠祥考研
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【例2】 dx
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【解O】 O O O O O O O O O O
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学 (2x 学1)(x 2 x 1 ）学 2x 1 学x 2 x 1 学 学 学 学 学 学 学
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A 2, B 1, D 0.
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【例3】
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【解O】 O O O O O O O O O O
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A 1, B 2, D 1.
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武忠祥考研
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大二、可化大为有理函数大积分 大 大 大 大 大 大 大 大
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1) 三角有理式积分
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2
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【例1】
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国【例2】 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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sin x(1 cos x)
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【学解】令 ta学n t 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 2 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1 1
C原式 C t 2 dCt C C C C C C C C
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武忠祥考研
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中
2)简单
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中
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中
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【解】令 t
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大 大 x 1 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 【例4】 国 dx 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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x
C C C C C C C C C C C
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dx
【例5】
(1 3 x) x
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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武忠祥考研
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国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
内容小结
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 1) 有理函O数积分
R(
O
x)d x
O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
（1）一般法（部分分式法）；
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
（2）特殊方法（加项减项拆或凑微分绛幂）；
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 2) 三角有学理式积分 学 R(sin x,co 学 s x)d x 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x
（1）一般方法(万能代换） 令 tan t
2
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
M O M O M O 2tM O 1 t 2 2M O M O M O M O M O M O M O
学 R学(sin x,cos x)d学x R( 学 , ) 学 dt 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 1国 t 2 1 t 2 1国 t 2 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
（2）特殊方法 （三角变形，换元，分部）
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM ax MM b MM ax b MM 武忠 MM 祥考研 MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 3)简单无大大理函数积分大大 R(x,n 大大 )d x 令 大大 n 大大t 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
cx d cx d
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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M作业 M 单号小M题 M M M M M M M M
P218;
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M M M M M M M M M M M
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M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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武忠祥考研
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国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中
