(43)--5.3笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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第五章 定积分
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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第三节 定积分的换元法和分部积分法
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主讲 武忠祥 教授
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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一、定积分换元法
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定C理 设函数 C在有限区间C 上连续，C x (t) 在C C C C C C C
O Of O I O O O O O O O O
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大 [,] 大上有连续导数大，且， R( 大 )  I ，则 大 大 大 大 大 大 大
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b 
 f (x)dx   f ((t)) (t)dt 其中 a () b ()
C C C C C C C C C C C
O a O  O O O O O O O O O
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a
【例1】计算
中 中 
a
2 中
x
2
dx (a
中
0).
中 中 中 中 中 中 中
0
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武忠祥考研
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【例2】计算
中 中  si中n 3 x  sin 5 xd中x. 中 中 中 中 中 中 中
0
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中 中
x
中
2
中 中 中 中 中 中 中 中
4
【例3】计算 
dx.
0 2x  1
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O O O O O O O O O O O
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国【例4】设国 在 国上连续，试国证 国 国 国 国 国 国 国
f ( x) [0,1]
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
 
1)  2 f (sin x)dx   2 f (cos x)dx
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 0 O 0O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国特别的  2 s国in n xdx   2国cos n xdx 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
0 0

 
2）  xf (sin x)dx   f (sin x)dx
C C C C C C C C C C C
O 0 O 2 0 O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 并利用 大 此结论计算 大  大 dx 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 0 1  co中s 2 x 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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武忠祥考研
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O O O O O O O O O O O
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国【例5】设国 为连续国的周期函数国，其周期为 国 ,试证 国 国 国 国 国 国
f ( x) T
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
aT T
 f (x)dx   f (x)dx
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O a O 0 O O O O O O O O O
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n
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
由此计算  1  s in 2xdx
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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大 大  x 2 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 ,  1  x中  0, 中 中 中 中 中 中 中

【例6】设 f ( x)   1  x 2 计算  2 f (x  1)dx.
1
0

C C , C0  x  1. C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O e x  1 O O O O O O O O O
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二、定积分的分部积分法
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C b C b C C C C C C C C C
O  udv  Ouv | b  vduO O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1
【例1】计算 
x arctan xdx
0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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1
【例C2】计算  lCn(1  x)dx C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M0 M M M M M M M M M
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CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
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国【例3】计
中
算国
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国
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国
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国
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武忠祥考研
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1
中 【例4】计中算  x 4 1  中 x 2 dx 中 中 中 中 中 中 中 中
0
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内容小结
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
计算O 定积分常用O的5种方法O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 国 1) 中 牛 国 顿-莱布尼 中 兹 国 公式  b f中 国 (x)d x  F 中( 国 b)  F(a) 中 国 中 国 中 国 中 国 中 国 中 国
a
C C bC C  C C C C C C C
O 2）换元法 O Of (x)d x  O f (t))Otd t. O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M a M  M M M M M M M
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国 国 国 国 b 国 国 国 国 国 国 国
b b
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
3）分部积分法  ud v  uv   v d u.
a a
a
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 4）利用M奇偶性，周M期性 M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
为奇函数，
中 中 中 0, 中 f (x) 中 中 中 中 中 中 中

a
 f (x)d x   a
 为偶函数
2 f (x)d x, f (x) .
a 
CC CC  CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO0 OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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 f (x)d x   f (x)d x.
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
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a 0C C C C C C C C C C C
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大 5）利大用公式 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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n  1 n  3 1
 , n偶
C  C  C C C C C C C C C
O O O O n n  2 O 2 2 O O O O O O
O (1)  2 sin On x d x   2 O cos n x d x O  O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 0 学 学0 学 n  1 n  学3 2 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大  大  , 大 n奇 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中  n 中n  2 3 中 中 中 中 中 中

π 
C (2)  x fC(sin x)d x  C  f (sin xC)d x C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 0 O O 2 0 O O O O O O O O
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武忠祥考研
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