(44)--5.4笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

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第五章 定积分
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第四节 反常积分
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主讲 武忠祥 教授
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OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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一、无穷限的反常积分
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O t O O O O O O O O
M 定义1  M f (x)dx  M lim  f (x)dx M M M M M M M M
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大 大 a 大 t a 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
b b
定义2  f (x)dx  lim  f (x)dx.
C  C tC t C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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大 大 大
0
大

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国 定义3 国 f (x)dx 国   f (x)d 国 x   f (x)d 国 x 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
  0
C C C C C C C C C C C
O  O 1 O O O O O O O O O
例O1 计算  O O O O O O O O O O
M M dx M M M M M M M M M
大 学 大 学 0 1  x 2 大 学 大 学 大 学 大 学 大 学 大 学 大 学 大 学 大 学
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武忠祥考研
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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 1
中 例3 判定中  dx( p 中  0) 的敛散中性 中 中 中 中 中 中 中
p
a x
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O O O O O O O O O O O
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二、无界函数的反常积分
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O定义1 设点O a 为函数 Of (x) 的瑕点 O O O O O O O O
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中 中 b 中 b 中 中 中 中 中 中 中 中
 f (x)dx  lim  f (x)dx
a ta  t
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
M O 定义2 设 M 点 O b 为函数 M O f (x) 的瑕点 M O M O M O M O M O M O M O M O
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b t
 f (x)dx  lim  f (x)dx.
a tb  a
C C C C C C C C C C C
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M定义3 设M点 c 为函数 Mf (x) 的瑕点 M (a  c  bM) M M M M M M
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b c b
 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx
a a c
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武忠祥考研
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1
国 国 1 国 国 国 国 国 国 国 国 国
例1 计算 
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0 x
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1
中 例2 计中算  中 中 中 中 中 中 中 中 中
ln xdx.
0
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武忠祥考研
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dx dx
国 国 b 国 b 国 国 国 国 国 国 国 国
例3 判定  和 
中 中 中 中 的敛散性中 (a  b, p 中 0). 中 中 中 中 中
a (x  a) p a (b  x) p
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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内容小结
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M 积分M 区间无限M M M M M M M M
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1. 反常积分 定积分的极限
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
被积函数无界
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 2. 两个M重要的反常M积分 M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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P  1 收敛
 1
C  dxC  C (a  0)C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O a x P O P  1 O 发散 O O O O O O O O
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1 1 P  1 收敛
b b
 
dx, dx 
CC a (x  aCC) P a (b  CCx) P P CC1 发散 CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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O O O O O O O O O O O
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练习题
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题
P262 1 (1) , (7) , (8) , (9)
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武忠祥考研
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