(45)--5.5笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

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C C C C C C C C C C C
第五章 定积分
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
第五节 反常积分的审敛法
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C C C C C C C C C C C
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主讲 武忠祥 教授
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
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O O O O O O O O O O O
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一、无穷限的反常积分的审敛法
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
定C理1(比较判别C 法) C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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国 大 设 f (x 国) 大 , g(x) 在 [a 国, 大 ) 上连续 国 大，且 0  国f 大 (x)  g(x) 国 ，大则 国 大 国 大 国 大 国 大 国 大
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中


1）  g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛
C a C C C C C C C C C C
O O Oa O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M  M M  M M M M M M M M
学2）  f (学x)dx 发散 学  g(x)d学x 发散 学 学 学 学 学 学 学
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国 a 国 国 a 国 国 国 国 国 国 国 国
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例1 判定下列积分的敛散性
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M  M dx M M M M M M M M M
学 1）  学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 1国 1  x 4 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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 xdx
2 CC ）  CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM OO 1 MM1 OO  x 4 MM OO MM OO MM OO MM OO MM OO MM OO MM OO MM OO MM OO
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
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国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
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大 定理2(比较大判别法的极大限形式) 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
f (x)
设 f ( x), g( x) 在 [a,) 非负连续， g(x)  0, lim  
C C C C x gC(x) C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O  O O O O O O O O O
学 M1）当  学0 M时， f 学 ( M x)dx 与  学 M g(x)dx 同 学 M敛散; 学 M 学 M 学 M 学 M 学 M 学 M
大 大 a 大 大a 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中  中 中 中 中 中 中 中
2）当  0 时，  g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛;
a a
C C  C C  C C C C C C C
3）O当   O时，  g(x O )dx 发散 O  f (x)d O x 发散. O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
a a
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例2 判定下列积分的敛散性
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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C1）  C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 1 M1  x 4 M M M M M M M M M
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中 2） 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中

1 1  x 4
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO  x arOOctan x OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM 3）  MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
dx
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大大 0 大大3 1  x 4 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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大定理3（绝大对收敛准则）大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
 
 f (x)dx 收敛   f (x)dx 收敛
a a
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M绝对收敛：M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大

国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 若 中 f (x)dx 收 中 敛，则 称 中  f (x)dx中 绝对收敛 中 中 中 中 中 中
a
0
C C C C C C C C C C C
例3O 判定敛散性O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大

国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中  e  中 ax cos bxdx 中 (a  0) 中 中 中 中 中 中 中 中
0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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M M M M M M M M M M M
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二、无界函数的反常积分审敛法
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1
C C x C C C C C C C C C
O  O t 1 O 1 dt O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M  fM(x)dx   a fM( ) (aM 0) M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
2
大 a 大 0大 t t 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1
t
b xa  1 dt
 f (x)dx   f (a  )
1
C a C C t t 2 C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O ba O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 例 判定下国列积分 的敛国散性 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
dx
1
1） C  C C(k 2  1) C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 0 (1  xO2 )(1  k 2 x 2 )O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 2） 1 中1 中 中 中 中 中 中 中 中 中

dx
0 x  x 2
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
1 1
学学
3） 
1 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大sin dx 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
0 x x
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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内容小结
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 1. 两类反M常积分的比M 较审敛法M和比较审M敛法的极限M形式 . M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
若在同一积分式中出现两类反常积分 可通过分项
2. ,
使每C一项只含C一种类型的C反常积分C 只有各项C都收敛时C C C C C C
, ,
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大才可保证给大 定的积分大收敛 . 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
P270 1 (2), (4), (5),(7) ;
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中