(45)--5.5笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C 第五章 定积分 O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O 第五节 反常积分的审敛法 M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 主讲 武忠祥 教授 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 一、无穷限的反常积分的审敛法 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 定C理1(比较判别C 法) C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 国 大 设 f (x 国) 大 , g(x) 在 [a 国, 大 ) 上连续 国 大，且 0  国f 大 (x)  g(x) 国 ，大则 国 大 国 大 国 大 国 大 国 大 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中   1）  g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛 C a C C C C C C C C C C O O Oa O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M  M M  M M M M M M M M 学2）  f (学x)dx 发散 学  g(x)d学x 发散 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 a 国 国 a 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 例1 判定下列积分的敛散性 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M  M dx M M M M M M M M M 学 1）  学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 1国 1  x 4 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中  xdx 2 CC ）  CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM OO 1 MM1 OO  x 4 MM OO MM OO MM OO MM OO MM OO MM OO MM OO MM OO MM OO 学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 定理2(比较大判别法的极大限形式) 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 f (x) 设 f ( x), g( x) 在 [a,) 非负连续， g(x)  0, lim   C C C C x gC(x) C C C C C C O O O O O O O O O O O O O  O O O O O O O O O 学 M1）当  学0 M时， f 学 ( M x)dx 与  学 M g(x)dx 同 学 M敛散; 学 M 学 M 学 M 学 M 学 M 学 M 大 大 a 大 大a 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中  中 中 中 中 中 中 中 2）当  0 时，  g(x)dx 收敛   f (x)dx 收敛; a a C C  C C  C C C C C C C 3）O当   O时，  g(x O )dx 发散 O  f (x)d O x 发散. O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M a a 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 例2 判定下列积分的敛散性 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中  dx C1）  C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M 1 M1  x 4 M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国  xdx 中 2） 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中  1 1  x 4 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO  x arOOctan x OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM 3）  MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM dx 学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学 大大 0 大大3 1  x 4 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 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O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大定理3（绝大对收敛准则）大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中    f (x)dx 收敛   f (x)dx 收敛 a a C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M绝对收敛：M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大  国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 若 中 f (x)dx 收 中 敛，则 称 中  f (x)dx中 绝对收敛 中 中 中 中 中 中 a 0 C C C C C C C C C C C 例3O 判定敛散性O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大  国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中  e  中 ax cos bxdx 中 (a  0) 中 中 中 中 中 中 中 中 0 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O 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OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 1 1 学学 3）  1 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学 大大 大大sin dx 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 0 x x 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O 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中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 内容小结 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M 1. 两类反M常积分的比M 较审敛法M和比较审M敛法的极限M形式 . M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 若在同一积分式中出现两类反常积分 可通过分项 2. , 使每C一项只含C一种类型的C反常积分C 只有各项C都收敛时C C C C C C , , O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大才可保证给大 定的积分大收敛 . 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大作业 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 P270 1 (2), (4), (5),(7) ; C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 C C C C C C C C C C C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O M M M M M M M M M M M 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM 学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中