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O第八章O 向量O代数与O空间解O 析几何O O O O O O
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第二节 数量积 向量积 混合积
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主讲 武忠祥 教授
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数量积 向量积 *混合积
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C C一、两向C量的数量C积 C C C C C C C
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二、两向量的向量积
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*三、向量的混合积
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引O 例 设一物O 体在常力O 作用下O沿与力夹O角为 O O O O O O
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学 1. 定义学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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1 2
记作
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为 a 与 b 的数量积 ( 点积 ) .
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 当 a 中0 时 , b 在 a中上的投影为中 中 中 中 中 中 中 中
b
记作
C C C C C C C C C C C
O b
coOs
POr j b O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
a
M M M M M M M M M M M
a
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 故 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 a b a P 中 r j b 中 中 中 中 中 中 中 中
a
a 0, b 0
同理 , 当 b 0 时 ,
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M 则M a b 0 M M M M M M
学 a 学 b b Pr j 学a 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国b 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2. 性质
π
C C2 C C C C C C C C C
O(1) a a Oa O O (aO, b) O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
2
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国为两个非国零向量 则 国 有 国 国 国 国 国 国 国
(2) a ,b ,
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC a b CC 0 a CC b CC a b CC a b cos CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
交换律
(C1) C a b b a C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 (2) 结合大 律 (,大 为实数 ) 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
(a ) b a (b) ( a b )
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O (a ) O (b ) O a (b) O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
( a b)
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
分配律
(3) a b c a c b c
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
设 则
C a a Ci a j Ca k , b bC i b j Cb k , C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O Ox y O z O x y O z O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 a b国 ( a i a国 j a k国) (b i b 国 j b k ) 国 国 国 国 国 国
中 中 x 中 y z 中 x 中y z 中 中 中 中 中 中
i i j j k k 1, i j j k k i 0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 a b 学 a b a 学 b a b 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
x x y y z z
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
两向量的夹角公式
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
当
学 a , 学b 为非零向学量时 , 由于学 a b a 学 b cos, 得学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
a b a b a b
a b
x x y y z z
cos
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
a b 2 2 2 2 2 2
OO OO OO a OOa a bOO b bOO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 x 学学 y z 学学 x y 学学z 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大
设
a , b大
的夹角为
大
，定义
大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
方向 : c a , c b 且符合右手规则
向量
C c C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O 模 : c O a s O in O O O O O O O
M M M b M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 称 为中 向量 与中 的向量积中 记作 中 中 中 中 中 中 中
c a b ,
叉积
C cC a b C( ) C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
a
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO S ＝ 1OOa b OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM2 MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
b
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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大 大 大 大 a b 大 a 大 sin 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 b 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
(1) a a 0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学
为非零向量
学
则
学 学∥ 学 学 学 学 学 学
大 (2) a , 大b 大 , a b大 0 大a b 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
证明
: 当 a 0, b 0 时 ,
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O a b O0 a O b sin O0 O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国sin 0 ， 国 即 0 或 国π a国 ∥ b 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
3. 运算律
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M (1) a bM b a M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
分配律 证明略
(2) ( a b ) c a c b c ( )
OO CC (3) 结合律 OO CC (a ) bOO CC a (b ) OO CC( a b )OO CC OO CC OO CC OO CC OO CC OO CC OO CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
设 则
O a a O i a j O a k , b b O i b j O b k , O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M Mx y M z M x y M z M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 a b 国 ( a i a 国 j a k ) 国(b i b 国j b k ) 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x y z
x y z
C a bC( i i ) aCb ( i j ) C a b ( i kC ) C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O xOx O x y O x z O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 a b ( 国j i ) a b国( j j ) 国a b ( j k国) 国 国 国 国 国
中 中 y x 中 y 中 y 中 y z 中 中 中 中 中 中
C aC b ( k i )C a b ( k C j ) a b C( k k ) C C C C C C
O O z x O z y O z O z O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国(a b a 国b ) i (a b国 a b ) 国j k 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
y z z y z x x z
(a b a b ) k j
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO x y y OOx OO OO i OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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(a b a b ) k
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i j k a a i a j a k
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
b b b
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b b b b b b
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 1. 定义M已知三向量M a , b , c , M称数量 M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 记作 中 中 a b 中 中 中 中 中 中
( a b ) c a b c
为 Oa C , b , c 的混 O C合积 . O C O C O C O C O C O C O C O C O C
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学
几何意义
学 学 学 学c 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
b
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
以 为棱作平行六面体 则其
a , b , c , a
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
高
M O 底面积 M O A a bM, O h Mc O cos M O M O M O M O M O M O M O
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
故平行六面体体积为
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
V A h a b c cos ( a b ) c
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学
a b c
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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y z x z c c
a b c ( a b ) c c
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O O O O O x y O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O 三个非O零向量 O 共面的O 充要条件O是 O O O O O O
M (1) M aM, b , c M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 a 中 b c 0 中 中 中 中 中 中 中 中
C 轮换对称C性 C C C C C C C C C
(2) :
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 [大 ] 大[ ] 大 [ ]大 大 大 大 大 大 大
国 国 a b c 国 b c a 国 c a b国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
可用三阶行列式推出 a
( )
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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b
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c
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OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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学 设 a (学a , a , a )学, b (b ,b学,b ), c 学(c , c , c )学 学 学 学 学 学
大 大 x y z大 x 大y z 大 x y z大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1. 向量运算
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 加减学 : a b 学 (a b , a 学 b , a 学 b ) 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 x x国 y y 国z z 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
数乘 : a (a ,a ,a )
x y z
C C C C C C C C C C C
O 点积 : O a b a O b a b O a b O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M x x y My z z M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 i j 中k 中 中 中 中 中 中 中
叉积 : a b a a a
CC CC CCx y z CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 b b b学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 x y 大大z 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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2. 向量关系:
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O O O Ob b Ob O O O O O O
M O a // b M O a b M O 0 M O x y M O z M O M O M O M O M O M O
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a b a b 0 a b a b a b 0
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学 a ,b ,学c 共面 学 ( a b )学 c 0 学 学 学 学 学 学 学
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