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O第八章O 向量O代数与O空间解O 析几何O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
第四节 直线及其方程
M M M M M M M M M M M
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主讲 武忠祥 教授
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CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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空间直线及其方程
C C C C C C C C C C C
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一、空间直线的一般方程
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O O二、空间O直线的对O称式方程O与参数方O程 O O O O O
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三、两直线的夹角
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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四、直线与平面的夹角
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五、杂例
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
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OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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O 直线可O视为两平面O交线，因此O 其一般式O方程 O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
二、空间直线的对称式方程与参数方程
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
已知直线上一点 M (x , y , z )和它的方向向量
C C C C C C C C C C C
0 0 0 0
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
学 M s (m , n 学 , M p), 设直线 学 M上的动点 学 为M M (x, y,学 M z) 学 M 学 M 学 M 学 M 学 M 学 M
大 大 大 大 大 s大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 则 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
M M // s
0
M (x, y, z)
C C C C C C C C C C C
O x Ox y y O z z O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
故 M 有 M 0 M 0 0 M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
M (x , y , z )
大 大 m 大n p大 大 大 大 大 大 大 大
0 0 0 0
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
此式称为直线的对称式方程 也称为点向式方程
( )
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O说明 某些O分母为零O时 其分子O也理解为零O z O O O O O O
M : M M , M M . M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 例如 , 国当 m n 国 0, p 0 时国 , 直线方程国为 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
y
x x 0
CC CC 0 CC CC CC O CCy CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
x
OO OO y y OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM x 0 MM MM MM MM MM MM
0
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C x x C y y Cz z C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O设 O 0 0 O 0 tO O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
m n p
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
得参数式方程
:
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O x x Om t O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
0
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 y y 国 n t 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
0
z z p t
C C 0 C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x y z 1 0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M 2x y M3z 4 0M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
解:先在直线上找一点.
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
y z 2
,得
令C 解C方程组 C C y 0, Cz 2 C C C C C C
O x = 1, O O O O O O O O O O
O O O y 3z 6 O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 故
(1, 0,
中
2 )
是直线中上一点
.
中 中 中 中 中 中 中 中
再求直线的方向向量
s .
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
交已知直线的两平面的法向量为
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
n (1, 1, 1), n (2, 1,3)
1 2
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO s n OO , OO s n OO OO s n OO OO n OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM 1MM 2 MM 1MM 2 MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
i j k
C s n C n 1 C1 1 (4C, 1, 3) C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
1 2
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 2 1 3 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x 1 y z 2
故所给直线的对称式方程为 t
C C C 4C 1 C 3 C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 x 学 1 4t 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 参数式中方程为 中 y t 中 中 中 中 中 中 中 中
z 2 3t
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
解题思路 先找直线上一点;
大 大 : 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
(1,0, 2)
再找直线的方向向量.
是直线上一点
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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中 三、中两直线的中夹角 中 中 中 中 中 中 中 中
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特别有
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1 2
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国 解 : 直国线 L 的方向国向量为 s国 (1, 4, 国1) 国 国 国 国 国 国
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1 1
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国 四、直国 线与平面国 的夹角 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O当直线与平O面不垂直O时, 直线和O它在平面上O 的投影直O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国
线所夹锐
国
角 称为直
国
线与平面
国
间的夹角;
国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
π
当直线与平面垂直时,规定其夹角为 . L
n
2
s
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O设直线 的O 方向向量O为 O O O O O O O O
M L M M s (mM, n , p) M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 平面中
的法向中量为
n (
中
A, B ,C )
中 中 中 中 中 中 中
则直 C 线与平面 C 夹角 满足 C C C C C C C C C
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CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
2 2 2 2 2 2
OO s OOn m OO n p OO A B OOC OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
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大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
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中 特别中有: 中 中 中 中 中 中 中 中 中
A B C
(1) L s // n
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O Om n pO O O O O O O
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国 (2) L /国/ 国s n 国 A m B国n C p 国0 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
垂
2x 3y z 4 0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学直的直线方学程. 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
n
解: 取已知平面的法向量
n (2, 3, 1)
C C C C C C C C C C C
为O所求直线的O方向向量O. O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 则直线国的对称式国方程为 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x 1 y 2 z 4
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO 2 3 OO 1 OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
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国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
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五、杂例
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x y z 1 0
在平面
C C C C x yC z 0 C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
x y z 1 0
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
上的投影直线方程
.
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
解：过已知直线的平面束方程
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M x y M z 1 M (x y z M 1) 0 M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 即 (1 中 )x (1 中 ) y (中 1 )z 中 (1 ) 中 0 中 中 中 中 中
从中
C
选择 使
C
其与已知平
C
面垂直,
C
故应有：
C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 (1 大 ) 1 (1 大 ) 1 (1大 ) 1 0大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
得 从而得投影直线方程
1,
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO y OO z 1 0 OO 这是OO投影平面OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 x大大 y z 大大0 大大 这是给定的 大大 平面 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 内容中小结 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 A 中 x B y C 中 z D 0 中 中 中 中 中 中 中
一般式 1 1 1 1
A x B y C z D 0
C C C C C C C C C C C
O O 2 2O 2 O2 O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 x x 大 y y 大 z z 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 对 中 称式 中 0 0 中 0 中 中 中 中 中 中 中
m n p
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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