(65)--9.2笔记小记_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

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第九章 多元函数微分法及其应用
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第二节 偏导数
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主讲 武忠祥 教授
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大一、偏导大数的定义及大计算 大 大 大 大 大 大 大 大
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1）偏导数的定义
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O O O O O O O O O O O
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大 大 大f (x  x, y大)  f (x , y 大) d 大 大 大 大 大 大
国 f ( 国x , y )  lim 国 0 国0 0 国0  f (x, 国y ) 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
x 0 0 x0 x dx 0 xx 0
C C f (x C, y  y)  fC(x , y ) dC C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O f (x , Oy )  lim O 0 0 O 0 0  O f (x , y) O O O O O O
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f (x , y )  0 0  z (x , y ) 
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O x 0O 0 xO x 0O 0 x O O O O O O O
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(x , y )
中 中z 中 中 中 中 中 中
f (x , y )  0 0  z (x , y ) 
y 0 0 y y 0 0 y
CC CC CC CC (x ,y CC) CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO 0 OO0 OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
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国 【例1】求 国z  x 2  3x y国 y 2 在点 国(1,2) 处的偏 国 导数. 国 国 国 国 国 国
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z z
学
z
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大 【例2】设 z大 x 2 sin2 y 大 ，求 , 大 及 .大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中
x
中
y x
中 中 中 中 中 中 中
(1, )
2
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O O O O O O O O O O O
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大 大 大  大 , (x, y 大 )  (0,0), 大 大 大 大 大 大
国【例3】已知国二元函数 国 国 国 求国 国 国 国 国 国
中 中 中f (x, y)  中x 2  y 2 中 中 f (0,0), f 中 (0,0). 中 中 中 中
x y

0, (x, y)  (0,0)
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
【例O4】求 r  Ox 2  y 2  z 2O的偏导数 .O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2）二元函数偏导数的几何意义
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
z
O O O O O O O O O O O
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M
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
0
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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y
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
0
y
O
C C C C Cx C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O 0 O O O O O O
M M M M M M(x , y ) M M M M M
学 学 学 学 学 学 0 0 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 x 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大二、高阶大偏导数 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
的二阶偏导数共有四个：
z  f ( x, y)
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学  f 学  2 f 学  学f 2 f 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 ( 国)   国f 国 ( )  国  f 国 国 国 国 国 国
中 x 中 x x 2 中 xx 中y x y中 x xy 中 中 中 中 中 中
 f  2 f  f  2 f
C C C C C C C C C C C
O ( )  O  f O ( O)   f O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M x y M xy yx M y My y 2 M yy M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
【例】求二元函数 z  e xy  x 2 y 3 的所有二阶偏导数.
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 2国z 国 国 国 国 国
中 定理 如中果函数
z 
中
f (x, y)
的中两个二阶混合中偏导数 中 中 中 中 中 中
xy
C  2 z C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
及 在区域 内连续，则 在该区域内
O O D O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学
yx学
学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2 z  2 z

C C
xy yxC
C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 内容小国 结 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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O1. 偏导数O的概念及有O 关结论 O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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定义; 记号; 几何意义
中 • 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
函数在一点偏导数存在 函数在此点连续
•
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混合偏导数连续 与求导顺序无关
大 • 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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2. 偏导数的计算方法
先代后求
C C C C C C C C C C C
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M 求一M点处偏导数M的方法 M先求后代M M M M M M M
•
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利用定义
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求高阶偏导数的方法 逐次求导法
•
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学学 (与求学学导顺序无学学关时, 应选学学择方便的学学求导顺序)学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
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