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第九章 多元函数微分法及其应用
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第八节 多元函数的极值及其求法
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主讲 武忠祥 教授
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CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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大一、多元大函数的极值大及最值 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
定义 若在点 的某邻域内恒成立不等式
(x , y )
C C C C C C C C C C C
O O 0 0 O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 f (x, 学 y) f (x , y 学 ) ( f (x, y) 学 f (x , y )) 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
0 0 0 0
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
则称 f 在点 (x , y ) 取得极大值（极小值), 点 (x , y ) 称为
0 0 0 0
C C C C C C C C C C C
O的极大值点O（极 小值点O）,极大值与O极小值统称O为 O O O O O O
f
O O O O O O O O O O O
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极值，极大值点与极小值点统称为极值点.
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
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O O O O O O O O O O O
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大定理1（极值大的必要条件大) 设 z f大 (x, y) 在点 大 (x , y ) 存在大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
0 0
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
偏导数, 且 为 f (x, y) 的极值点, 则
(x , y )
0 0
C C C C C C C C C C C
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学 f (x学, y ) 0, f学 ( x , y ) 0学. 学 学 学 学 学 学 学
大 x 大0 0 大y 0 0 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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定理 C 2（极值的充 C 分条件) 设 C z f (x, yC) 在点 P ( xC, y ) C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O 0 O 0 0 O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大的某邻域内大有二阶连续大偏导数, 又大
f
( x , y )
大
f
( x , y )
大
0,
大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
x 0 0 y 0 0
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
记 A f (x , y ), B f (x , y ), C f (x , y ), 则
C xx 0 C0 xyC 0 0 C yy 0 0 C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 A 0 学 ; 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大极小值 大 大 大 大 大 大
（1）当 时,有极值
国 国 AC B 2 国 0 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
A 0 .
极大值
（2）当 AC B 2 0 时,无极值.
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
（3）当 时,不一定(一般用定义判定).
大大 大大AC B 2 大大0 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 例1 求函 国 数 f (x, y) 国x 3 y 3 3x国 2 3 y 2 9x国 的极值. 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
解 f 3x 2 6x 9 0
C x C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 f 学3 y 2 6 y 0学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 y 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
得驻点: (1,0),(1,2),(3,0),(3,2)
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O f (x, y) O6x 6, Of (x, y) 0O, f (x, yO) 6 y 6 O O O O O O
M xx M M xy M yy M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 在点(1 中 ,0) 处 A 中12, B 0,中C 6, 中 中 中 中 中 中 中
C ACC B 2 12C6 0, A C0, C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
为极小值;
大 大f (1,0) 5大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
在点(-3,2) 处 AC B 2 (12) (6) 0, A 0,
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学为极大值;学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大f (3, 2) 大大31 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 例2 某厂大要用铁板做大一个体积为大2立方米 的3有大盖长方体水大箱， 大 大 大 大 大
m
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O解 设水箱长O,宽分别为O O O O O O O O O
x, y.
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 则水箱中所用材料的中面积为 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C x C0 C C C C C C
2 2 2 2
O O O O O O O O O O O
O A 2(xyO y x O ) 2(xy O ) O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 xy 学 xy 学 x y 学 y 0 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
A 2( y 2 ) 0
x 2
x
令 得驻点
C C C ( 3 C2 , 3 2 ) C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M A M 2(x 2 ) M0 M M M M M M M M
学 y学 2 学 学 学 学 学 学 学 学 学
y
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
二、条件极值 拉格朗日乘数法
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1) 函数 在条件 条件下的极值.
C f ( xC, y) C(x, y) 0 C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
令
中 中 F ( x, y,)中 f ( x, y) 中 ( x, y) 中 中 中 中 中 中 中
C F Cf (x, y) C (x, y) 0, C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O xO x O x O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 F 学 f (x, y) 学 (x, y) 学 0, 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
y y y
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
F x, y 0,
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O2) 函数 O 在条O件 (x, y, z) O 0,(x, y, O z) 0 O O O O O O
M fM( x, y, z) M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 条件中下的条件极值中. 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO 令 OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO FOO( x, y, z,,)OO f ( x, y, z) OO ( x, y, z) OO ( x, y, z)OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 例3 要设国计一个容量为国 的长方 国 体开口水箱 国 ,试问 国 国 国 国 国 国
中 中 中 V 中 中 中 中 中 中 中 中
0
水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 解 设
x,
大
y, z
分别表示大长、宽、高大, 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国z 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
水箱表面积
y
S 2(xz yz) xy
C C C C C C C C C C C
O O O O xO O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 令 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大F 2(xz y大z) xy (x大yz V ) 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 0 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
F 2z y yz 0
x
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 F 学2z x xz学 0 学 学 学 学 学 学 学
大 解方大程组 y 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
F 2(x y) x y 0
z
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO F x yOOz V 0 OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM 0 MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 得唯一大大驻点 x y 大大 2z 3 2V 大大 , 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
0
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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大 内容小大结 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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1.函数的极值问题
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
如对二元函数 z f (x, y), 即解方程组
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
f (x, y) 0
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 x 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 f (x, y)中 0 中 中 中 中 中 中 中
y
第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
点 .
M M M M M M M M M M M
学 2. 函数学的条件极值学 问题 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
(1) 简单问题用代入
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO 法 OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
(2) 一般问题用拉格朗日乘数
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
法
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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作业
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
P121 4, 6, 9, 12,
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中
