(72)--9.9笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

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第九章 多元函数微分法及其应用
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第九节 二元函数的泰勒公式
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主讲 武忠祥 教授
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大一、二元大函数的泰勒大公式 大 大 大 大 大 大 大 大
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M一元函数M 的泰M勒公式 M M M M M M M M
f (x) :
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国 国 国 国  国 国 国 国 国 国 国
f (x )
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f (x  h)  f (x )  f  (x )h  0 h 2  
0 0 0
2!
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M
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f (n) ( M
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x ) f M
(On1)
(x M
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学
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n1
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(0   1)
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多元函数泰勒公式
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记号 设下面涉及的偏导数连续
( ):
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O  O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M • (h  k M ) f (x , M y ) 表示 h M f (x , y ) M  k f (x , M y ) M M M M M
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0 0 x 0 0 y 0 0
大  x 大  y 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
 
2 表示
(h  k ) f (x , y )
•
C C 0 C0 C C C C C C C C
O  x Oy O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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2 2
国 h 国f (x , y 国)  2hk f 国(x , y ) 国k f (x ,国y ) 国 国 国 国 国
中 中 xx 0 中0 x中y 0 0 中 y y 0中 0 中 中 中 中 中
 
C C C C C C C C C C C
O一般地 O Om O表示 O O O O O O O
•O , (Oh  k O) f (x , yO) O O O O O O O
M M M 0 M0 M M M M M M M
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m
中 中m 中 中 中 中 中 中 中
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 p p m p
C h k
m
p m p (x , y )
CC CC CC  x  y CC CC CC CC CC CC CC CC
OO pOO
0
OO OO 0 0OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
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定理1
中 中. 设 z  f 中 (x, y) 在点中 (x , y ) 的中某一邻域内中有直 中 中 中 中 中
0 0
到 Cn + 1 阶连C续偏导数 ,C(x  h , y C k) 为此邻 C 域内任 C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O 0 O0 O O O O O O O
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学
一点
则有学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 , 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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 
f (x  h , y  k)  f (x , y )  (h  k ) f (x , y )
0 0 0 0 x  y 0 0
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
M O M O  1 (hM O  k  ) 2 M O f (x , y ) M  O  M O M O M O M O M O M O
学 学 2! 学x  y 学 0 0 学 学 学 学 学 学 学
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 1 (h   k  ) n f (x , y )  R ①
n! x  y 0 0 n
C C C C C C C C C C C
其O O 中 R  O O 1 (h  O O k  ) n1 f O ( O x h, y O O k) ②O O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
n 0 0
学 学(n1)! x学  y 学 学 学 学 学 学 学 学
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国 国 国 国 (国0   1) 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
① 称为 f 在点 (x , y ) 的 n 阶泰勒公式 , ②称为其拉格
0 0
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
朗OO日型余项OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO . OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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P127 1 , 3 ,
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