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主讲 武忠祥 教授
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大一、格林大公式 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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定理1 设平面有界闭域 由分段光滑的曲线所围成
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大例3 设 大为不通过原大点的任意分大段光滑的逆时大针简单闭曲大线， 大 大 大 大 大
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计算积分
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大二、平面大上曲线积分大与路径无大关的条件 大 大 大 大 大 大 大
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大定理2 设 大 为一平面大单连域， 大 大有一阶连续偏大导数 大 大 大 大 大
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则,线积分 在 内与积分路径无关的充要条件是
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大三、二元大函数的全微大分求积 大 大 大 大 大 大 大 大
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定理2 设 为一平面单连域， 有一阶连续偏导数，
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推论 设 为一平面单连域， 有一阶连续偏导数
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M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大例1 验证 大 大 大 是某个大函数的全微大分， 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
并求该函数.
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
解法一（用线积分求）
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M解法二（用偏M积分求） M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
解法三（用凑全微分法求）
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
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大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
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C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 例2 设 国 为椭圆 国 上国由 国点到 国点的上 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
半椭圆.计算下列积分
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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例3 计算
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
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国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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大 内容小大结 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O1.格林公式 O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2.线积分与路径无关
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M 1) 判M定: M（区域 M单连通） M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2) 计算:
C C C C C C C C C C C
O • 改换O路径; O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 b大) 利用原函数大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 求原函数学学方法:①偏积学学分;②凑微分学学. 学学 学学 学学 学学 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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C C C C C C C C C C C
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M M M M M M M M M M M
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国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
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C C C C C C C C C C C
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C C C C C C C C C C C
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大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 作业国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
P216 2 (1) ; 3 ; 4 ；
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M 6 (1) , M (3) ；7 (2) M ,(4) ; M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
； （ ）；
中 中 8 (1中), (3); 9 中10 1 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中
