(89)--12.6笔记小结_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

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C 第C十二章C 无穷C级数 C C C C C C C
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大 第大八节 一大般周期大的傅里叶大级数 大 大 大 大 大 大
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主讲 武忠祥 教授
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
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国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
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国 一、周期国为 2l 的函国数的傅里叶国 级数 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
设 C f ( x) 周期 C 为 2l C Cl  x  l C C C C C C C
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学 学 学 l 学 学 学 学 学 学 学 学
大
令 z
大
x f (x)
大
 f ( z)  F
大
(z), 
大
z  
大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 l 中  中 中 中 中 中 中 中 中

a

F(z) ~ 0  (a cos nz  b sin nz)
C C C C C C C C C C C
O O n On O O O O O O O O
O 2 O O O O O O O O O O
M Mn1 M M M M M M M M M
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大 大1  大 大 1  大 大 大 大 大 大 大
国 a 国  F(z)co 国 s nzdz 国 b   F 国 (z)sin nzdx 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
n n
   
C C C C C C C C C C C
O O a  O nx O nx O O O O O O O
O O O O O O O O O O O

M fM(x) ~ 0  M(a cos M b sin M) M M M M M M
学 学 学 n 学 n 学 学 学 学 学 学 学
大 大 2 大 大l l大 大 大 大 大 大 大
国 国
国n1
国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
CC 1 CC nx CC CC1 CCnx CC CC CC CC CC CC
OO l OO OO OO l OO OO OO OO OO OO OO
OO a   OOf (x)cos OOdx b OO  f (x)sOOin dx OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
n n
学学 l 学学l 学学l 学学 l l 学学 l 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
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大 大 大 x 大1 0  x 大 2 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 例1 设 f中( x) 周期为 中 4， f (x)   中 中 中 中 中 中 中 中
x  2  x  0
C将 f ( x) 展C为Fourier级C数. C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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大 大 1 0大 1 2 大 大 大 大 大 大 大 大
国 解 l  2 国 a  国 xdx   ( 国x  1)dx  1 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
0
2 2 2 0
C 1 0 C nx 1C 2 Cnx C C C C C C C
O O a   xO O cos dx  O O (x  1)coO O s dx  0O O O O O O O O O O O O O O
M n M M M M M M M M M M
学 2  学2 2 学 2 0 学 2 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国  4 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 为偶 中 中 中 中 中
n

1
0
nx 1
2
nx  n
b   x sin dx   (x  1)sin dx  
n
C 2 2 C 2 2C 0 C 2 C6 C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O n 为奇O O O O O O
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学 学 学 学 学n 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 1 国 1 x国 4 2x 国 6 3x 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
f (x)   (6sin  sin  sin  ) 0  x  2
2  2 2 2 3 2
CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO 1 OO OO OO OO OO OO OO OO
MM x  0, x MM 2 处收敛MM于 MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 2 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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例2 将 在 上展为周期为8的余弦级数.
国 f 国( x)  x 0国  x  4 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
2
4
解 b  0 a   xdx  4
C n C 0 C C C C C C C C C
O O 4 0 O O O O O O O O O
O O O O 为偶 O O O O O O O
M M M 0, M n , M M M M M M M
学 学 2 nx 学  学 学 学 学 学 学 学 学
4
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 a 国   x cos 国 dx   16国 国 国 国 国 国 国 国
中 n中
4 0
中
4
中
, n
为中奇
,
中 中 中 中 中 中

n 22
C C C C C C C C C C C
O 16 O  1 O 3x O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
Mx  2  M(cos x  Mcos  )M 0 Mx  4 M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大  大 2 4 大3 2 4 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
C C C C C C C C C C C
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CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
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大 内容小大结 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
1C. 周期为C2l 的函数C的傅里叶级C数展开公C式 C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
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国 国  国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 中 a 中 n 中π x 中n π x 中 中 中 中 中 中
f (x)  0 
 
a cos  b sin
 (x 间断
n n
2 l l
点)
C C
n1
C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
学 学 1学 l 学n π x 学 学 学 学 学 学 学
国 大 国 大 a  国 大 f (x)c 国 o 大 s d x 国 大 (n  0,1, 国  大 ) 国 大 国 大 国 大 国 大 国 大
中 中 n 中 中 中 中 中 中 中 中 中
l l l
其中
1 l n π x
O C O C b   O Cf (x)sin O C d x (n O C  1,2,) O C O C O C O C O C O C
O O n O O O O O O O O O
M M l Ml Ml M M M M M M M
学 学 学 学 学 学 学 学 学 学 学
大 大 大 大 大 大 大 大 大 大 大
国 国 国 国 国 国 国 国 国 国 国
中 当f 中 (x)为奇(偶中 ) 为中 正弦 ( 余 弦中 ) 中 中 中 中 中 中
函数时, 级数.
CC CC CC CC CC 变换 CC CC CC CC CC CC
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO OO
MM 2. 在任MM意有限区间MM上函数的MM傅里叶展开MM法 MM MM MM MM MM MM
学学 学学 学学 学学 学学 学学 武忠学学 祥考学学研 学学 学学 学学
大大 大大 大大 大大 大大 延拓大大 大大 大大 大大 大大 大大
国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国 国国
中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中C C C C C C C C C C C
O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O
M M M M M M M M M M M
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中 中 中 中 中 中 中 中 中 中 中
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中 中 作中业 中 中 中 中 中 中 中 中
: P327 1
(3) ;
2
(1) ;
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中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中 中中