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2023 届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练
专题04 竖直上抛运动规律及相遇问题
导练目标 导练内容
目标1 竖直上抛运动的规律（公式、图像、对称性）
目标2 竖直上抛运动中的相遇问题（公式法和图像法）
【知识导学与典例导练】
一、竖直上抛运动的规律
1.研究竖直上抛运动的两种方法：
（1）分段法：将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段。
（2）全程法：将全过程视为初速度为v，加速度a＝－g的匀变速直线运动。
0
①速度时间关系： ；
②位移时间关系： ；
③速度位移关系： 。
④符号法则：
1）v>0时，物体上升；v<0时，物体下降；2）h>0时，物体在抛出点上方；h<0时，物体在抛出点下方。
（3）两个重要结论：
①最大高度： ；②到达最高点的时间：
2.竖直上抛运动的图像v-t图像 h-t图像
3.竖直上抛运动的对称性
物体上升到最高点所用时间与物体从最高点落回到原抛出点所用时间相等
时间对称
物体在上升过程中经过某两点之间所用的时间与下降过程中经过该两点之间所用的
时间相等
物体上抛时的初速度与物体又落回原抛出点时的速度大小相等、方向相反
速度对称
物体在上升阶段和下降阶段经过同一个位置时的速度大小相等、方向相反
竖直上抛运动物体在上升和下降过程中经过同一位置时的动能、重力势能及机械能
能量对称
分别相等
【例1】把一小球以一定初速度竖直向上抛出，上升过程中的最后2s内发生的位移是24m，力加速度g取
10m/s2，则下降过程的前2s内通过的位移是（设小球受到大小恒定的空气阻力）（ ）
A．8m B．16m C．20m D．24m
【答案】D
【详解】利用竖直上抛运动的对称性规律，可知上升过程中的最后2s内发生的位移与下降过程的前2s内
通过的位移通过的位移大小一样，所以D正确；ABC错误；故选D。
【例2】在足够高的塔顶上以v= 20m/s的初速度竖直上抛一个小球（不计空气阻力，g = 10m/s2），从抛
0
出至位移大小为15m这段时间内，小球（ ）A．平均速度可能为7.5m/s，方向竖直向上
B．平均速率可能为11m/s
C．通过的路程可能为55m
D．平均速度可能为2m/s，方向竖直向下
【答案】C
【详解】BC．当位移方向向上时，即位移 路程可能为 ，
设用时为t，由位移公式得 代入得 解得 当位移方向向下时，即
路程 设用时为 ，由位移公式得 代入得
解得 （另一值不合理舍去）根据平均速率 可得：平均速率可能为
； ，B错误，C正确；
AD．平均速度可能为 ， 方向竖直向上
方向竖直向下，AD错误。故选C。
3．俄罗斯“能源”火箭航天集团专家称，人类能在20年后飞往火星。若一物体从火星表面竖直向上抛出
（不计空气阻力，物体只受重力时的加速度为重力加速度）时的位移时间 图像如图所示，则有
（ ）A．该物体上升的时间为10s
B．该火星表面的重力加速度大小为1.6
C．该物体被抛出时的初速度大小为5.0
D．该物体从抛出到落回火星表面时的速度变化量大小为8
【答案】B
【详解】A．由图可知，物体上升的最高点距火星表面20m，上升时间为5s，故A错误；
B．由 可得该火星表面的重力加速度大小为 故B正确；
C．由 该物体被抛出时的初速度大小为 故C错误；
D．根据竖直上抛运动的对称性可知该物体从抛出到落回火星表面时的速度变化量大小
故D错误。故选B。
二、竖直上抛运动中的相遇问题
1. 竖直上抛运动与自由落体运动相遇问题公式法：(1)同时运动，相遇时间： ，解得：
(2)上升、下降过程中相遇中的临界条件：
①若在a球上升时两球相遇，临界条件： ，即： ，解得：
若在a球下降时两球相遇，临界条件： ，即 ，解得：
②
图像法：左图（在a球上升时两球相遇）； 右图（在a球下降时两球相遇）
2. 两个竖直上抛运动相遇问题例：a、b球先后相隔∆t时间竖直上抛，要在空中相遇，∆t应满足什么条件？
（1）公式法： ，求出时间 t。要在空中相遇，必须满足条件：
，求出Δt范围即可。
（2）图像法：
【例4】自高为 的塔顶自由落下一物体 ，与此同时物体 从塔底以初速度 竖直向上抛，且 、 两物
体在同一直线上运动，下列说法中不正确的（ ）A．若 ，则两物体在 上升过程中相遇 B．若 ，则两物体在地面相遇
C．若 ，则两物体在 下降途中相遇 D．若 ，则两物体不可能在空中相遇
【答案】B
【详解】若b球正好运动到最高点时相遇，则有b速度减为零所用的时间 ； ；
由 解得 当ab两球恰好在落地时相遇，则有 此时a的位移
解得
A．若 ，则两物体在b上升途中相遇，A正确；
B．若 ，则b球正好运动到最高点时相遇，B错误；
C．若 ，则两物体在b下降途中相遇，C正确；
D．若 ，则两物体不可能在空中相遇，D正确。故选B。
5．在 时刻从地面上方某处以某一初速度竖直向上抛出小球甲， s时刻在该处以另一初速度竖直
向上抛出小球乙， s时刻两小球在空中相遇，已知重力加速度 ，不计空气阻力小。下列说
法正确的是（ ）
A．两球可能在甲球上升阶段相遇
B．两球一定在乙球上升阶段相遇C．若两小球在抛出点相遇，则小球甲的初速度为20m/s
D．小球甲的初速度一定大于小球乙的初速度
【答案】AC
【详解】设甲球的初速度为 ，乙球的初速度为 ，由于 时两球在空中相遇则有
其中 联立解得 若两球恰在甲球最高点相遇，则有
解得 ； 此时小球乙的速度大于小球甲的速度；若两球恰在乙球的最高点相
遇，则有 解得 此时 所以当 时，两球在甲球上升阶段相遇；当
时，两球在乙球下落阶段相遇；若两球在抛出点相遇，则甲球运动 4s后回到抛出点，由竖直上
抛运动的对称性知，甲球向上运动的时间为2s，则 故选AC。
【多维度分层专练】
1．一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低的点a的时间间隔是Ta，两次经过一个较高点b的
时间间隔是Tb，则a、b之间的距离为
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据时间的对称性，物体从a点到最高点的时间为 ，从b点到最高点的时间为 ，所以a点
到最高点的距离 ；b点到最高点的距离 故a、b之间的距离为故A正确，BCD错误；故选A。
2．将一物体（距地面足够高）以20m/s的初速度竖直向上抛出，经过t时间时，物体到抛出点的距离为
15m。忽略空气阻力，取重力加速度大小g=10m/s2，则t可能为（ ）
A．1s B．2s C．3s D．
【答案】ACD
【详解】取竖直向上为正方向，当物体位于抛出点上方时，有 根据 代入数据解得
， 当物体位于抛出点下方时，有 根据 代入数据解得
， (舍去)故选ACD。
3．一物体从某一行星（该星球的半径为地球半径的 ）表面竖直向上抛出（不计空气阻力），t=0时抛出，
得到如图所示的s﹣t图象，物体上升用时为2.5s,（可能用到的数据：地球的半径为6400km，地球的第一
宇宙速度取8km/s，地球表面的重力加速度取10m/s2）则（ ）
A．该行星表面的重力加速度是8m/s2
B．物体落到行星表面时的速度25m/s
C．物体落到行星表面时的速度是20m/sD．该行星的第一宇宙速度是6.4×103m/s
【答案】ACD
【详解】ABC．由图可知，物体上升的最大高度为： ，上升时间为： ，对于上升过程有
则 又物体上升过程加速度 ，AC正确；B错误；
D．在该星球表面绕该星球做圆周运动的向心力由万有引力（即重力）提供，则 即
，D正确。故选ACD。
4．小球 A 从离地面 10 m 高处做自由落体运动，小球 B 从 A 下方的地面上以 10 m/s 的初速度做竖直
上抛运动．两 球同时开始运动，在空中相遇，取 g＝10 m/s2( )
A．两球在离地面 7.5 m 高处相遇
B．两球相遇时速度相同
C．两球在空中相遇两次
D．两球落地的时间差为
【答案】D
【详解】AB.根据位移关系 相遇的时间 ，相遇时，A球的速率v =gt=10m/s
A
B球的速率v =v-gt=0m/s离地的高度 故AB错误．
B 0
C.第一相遇后，A继续向下运动，B球从零开始自由落体，两球不可能发生第二次相遇，故C错误．
D. A落地的时间 ，B球落地的时间 两球落地的时间差为，故D正确．
5．如图所示，将小球 从地面以初速度 竖直上抛的同时，将另一相同质量的小球 从距地面 处由静止
释放，两球恰在 处相遇（不计空气阻力）。则（ ）
A．两球同时落地
B．相遇时两球速度大小相等
C．从开始运动到相遇，球 动能的减少量等于球 动能的增加量
D．相遇后的任意时刻，重力对球 做功功率和对球 做功功率相等
【答案】C
【详解】A．a球做的是竖直上抛运动，b球是自由落体运动，两球恰在 处相遇，它们的运动状态不同，
不可能同时落地，故A错误。
B．从题目内容可看出，在 处相遇，此时a球和b球的位移相同，时间相同，它们的加速度也相同，所以
ab两个球的运动的过程恰好是相反的，把a球的运动反过来看的话，应该和b球的运动过程一样，所以在
相遇时，a球的速度刚好为0，而b球的速度刚好为v，所以B错误。
0
C．由于两球运动时机械能守恒，两球恰在 处相遇，从开始运动到相遇，由动能定理可知，球a动能的减少量等于球b动能的增加量，选项C正确。
D．相遇后，ab两个球的速度的大小不同，而重力的大小是相同的，所以重力的功率不同，D错误。故选
C。
6．杂技表演中有一节目叫抛球，在抛球游戏的表演过程中，难度会越来越高，并且会有越来越多的小球，
而小球之间发生的碰撞，更会让玩家来不及反应，可谓挑战十足。小明在家练习抛球，他以初速度2v 竖
0
直上抛一小球A后，又以初速度v 在同一高度竖直上抛另一小球B，多次发现两球在空中相遇，则两球抛
0
出的时间间隔△t必须满足的条件是（ ）（不计空气阻力，重力加速度为g）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题中的条件可知球A上升到最高点的时间为 球A在空中运动的总时间为
球B上升和在空中运动的总时间分别为 ； 根据题中条件可知两球的位移随时间的变化规律满
足 作出两球的s-t图象，则两条图线的相交点的横坐标表示A、B相遇时刻，如图所示
纵坐标对应位移s =s 由图象可直接看出 t应满足关系式 故选A。
A B
△7．在杂技团抛球表演中，被抛出的小球近似做竖直上抛运动，演员每隔相同时间以相同的速度上抛一个
小球，从抛出第1个球开始计时，g取10 m/s2。所有小球运动的位移s随时间t的变化关系如图所示，由此
可知（ ）
A．每颗小球在空中运动的时间是0.8s
B．抛出的速度大小为4 m/s
C．在抛出点上方最多有9个球
D．在抛出点上方最多有4对球同时相遇
【答案】ABD
【详解】AB．由题图可知小球在空中运动时间为0.8s，则上抛速度 故AB正确；
C．由题图可知，总共有9个小球，当第一个小球回到抛出点时，第9个小球被抛出，在抛出点上方最多有
8个球，C错误；
D．两图线的交点表示位移相等，两球相遇，由题图可知，抛出点上方最多有4对球同时相遇，故D正确；
故选ABD。
8．沧州吴桥被称为“杂技之乡”，那里有很多让人拍手称奇的杂技表演。如图所示，某次表演中，在地
面O点上方高为 m处的A点将一软球以某速度 水平向右抛出，同时杂技演员在地面上的B点借助
弹射装置以初速度 m/s竖直向上弹出，OB的水平距离 m，然后杂技演员在上升的过程中将软球接住。空气阻力忽略不计，g取10 ，下列说法正确的是（ ）
A．经过时间 s杂技演员接住软球
B．杂技演员接住软球时，软球的速度大小为10m/s
C．杂技演员接住软球时，杂技演员的速度大小为10m/s
D．杂技演员接住软球时，杂技演员上升的高度为 m
【答案】AC
【详解】A．要使杂技演员接住软球，则需满足 ； 即 联立解得
故A正确；
B．杂技演员接住软球时，软球的速度大小为 故B错误；
C．杂技演员接住软球时，杂技演员的速度大小为 选项C正确；
D．杂技演员接住软球时，杂技演员上升的高度 故D错误。故选AC。
