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第1讲 功和功率
素养目标 1.认识功和功率的概念．(物理观念) 2.掌握功的计算公式以及功率的两个公
式P＝和P＝Fv.(物理观念) 3.掌握正、负功的判断方法．(科学思维) 4.理解机车启动的两种
方式并能进行相关计算．(科学思维)
一、功
1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对
物体做了功．
2．做功的两个要素
(1)作用在物体上的力．
(2)物体在力的方向上发生的位移．
3．公式：W＝Flcos α.如图所示．
(1)l为力的作用点的位移，α是力与位移方向之间的夹角．
(2)该公式只适用于恒力做功．
4．功的正、负
(1)当0°≤α<90°时，W>0，力对物体做正功．
(2)当α＝90°时，W＝0，力对物体不做功．
(3)当90°<α≤180°时，W<0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．
二、功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢．
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率．
(2)P＝ Fv cos _α(α为F与v的夹角)．
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．
1．思维辨析
(1)物体受力越大，位移越大，力对物体做功越多．( )
(2)功有正、负，但正、负不表示方向，而表示大小．( )
(3)摩擦力可以对物体做正功. ( )(4)合力的功等于各分力功的矢量和. ( )
(5)作用力做正功时，反作用力一定做负功. ( )
2．如图所示，质量分别为m 和m 的两个物体，m<m ，在大小相等的两个力F 和F
1 2 1 2 1 2
的作用下沿水平方向移动了相同的距离．若F 做的功为W，F 做的功为W，则( )
1 1 2 2
A．W>W
1 2
B．W<W
1 2
C．W＝W
1 2
D．条件不足，无法确定
3．如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的
光滑斜面下滑，B做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是 ( )
A．重力的平均功率P >P
A B
B．重力的平均功率P ＝P
A B
C．重力的瞬时功率P ＝P
A B
D．重力的瞬时功率P <P
A B
考点 功和功率的理解和计算
1．功的正、负的判断方法
2．恒力做功的计算方法
3．功率的理解与计算
(1)平均功率：＝.(2)瞬时功率：P＝F·v·cos α.
典例1 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，
斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为 μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g
＝10 m/s2，则 前 2 s 内重力的平均功率和 2 s 末重力的瞬时功率 分别为( )
A．48 W,24 W B．24 W,48 W
C．24 W,12 W D．12 W,24 W
1．[正负功的判断](多选)如图所示，木块M上表面是水平的，当木块m置于M上，
并与M一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑的过程中( )
A．M对m的支持力做负功
B．M对m的摩擦力做负功
C．m所受的合外力对m做负功
D．m的机械能守恒
2．[功率的理解和计算](多选)如图所示，四个小球质量分别为m ＝m ＝2m、m ＝m
A B C D
＝m，在距地面相同的高度处以相同的速率分别竖直下抛、竖直上抛、平抛和斜抛，不计
空气阻力，则下列关于这四个小球从抛出到落地过程的说法正确的是( )
A．小球飞行过程中单位时间内的速度变化量相同
B．C、D两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．从开始运动至落地，重力对四个小球做的功均相同
D．从开始运动至落地，重力对小球A做功的平均功率最大
考点 机车启动的两种模型
1．模型一：以恒定功率启动
(1)动态过程(2)这一过程的Pt图像和vt图像如图所示．
2．模型二：以恒定加速度启动
(1)动态过程
(2)这一过程的Pt图像和vt图像如图所示．
典例2 目前，上海有若干辆超级电容车试运行，运行中无需连接电缆，只需在乘客
上车间隙充电30 s～1 min，就能行驶3～5 km.假设有一辆超级电容车，质量 m＝2×103
kg，额定功率P＝60 kW，当超级电容车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力F 是车重
f
力的0.1倍，取g＝10 m/s2.
(1)超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
(2)若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程
能维持多长时间？
(3)若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，求此
过程中超级电容车的位移大小．
1．[对公式P＝Fv的理解]如图所示，高速公路上汽车定速巡航(即保持汽车的速率不
变)通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面．不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化．下列说法正确的是( )
A．在ab段汽车的输出功率逐渐减小
B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大
C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小
D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大
2．[以恒定加速度启动模型]某汽车从静止开始以加速度a匀加速启动，最后做匀速运
动．已知汽车的质量为m，额定功率为P，匀加速运动的末速度为v ，匀速运动的速度为
1
v ，所受阻力为f，如图所示是反映汽车的速度随时间及功率、牵引力和加速度随速度变化
m
的图像，其中不正确的是( )
课题研究 计算变力做功的常用方法
方法Ⅰ.微元法
质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W＝f·Δx ＋f·Δx
f 1 2
＋f·Δx＋…＝f(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝f·2πR.
3 1 2 3
典例1 (多选)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手．
设在摆球从A点运动到B点的过程中 空气阻力的大小 F 不变，则下列说法正确的是( )
阻
A．重力做功为mgL
B．悬线的拉力做功为0
C． 空气阻力做功为－ mgLD．空气阻力做功为－F πL
阻
方法Ⅱ.图像法
一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x ，图线与横轴所围面积表示拉力所
1
做的功W＝(F ＋F )x.
0 1 1
典例2 如图所示，建筑工地常使用打桩机将圆柱体打入地下一定深度，设定某打桩
机每次打击过程对圆柱体做功相同，圆柱体所受泥土阻力f与进入泥土深度h成正比(即 f ＝
kh，k为常量)，圆柱体自重及空气阻力可忽略不计，打桩机第一次打击过程使圆柱体进入
泥土深度为h，则打桩机第n次打击过程使圆柱体进入泥土深度为( )
1
A．h B．nh
1 1
C．h D．(－)h
1 1
方法Ⅲ.平均力法
弹簧由伸长x 被继续拉至伸长x 的过程中，克服弹力做功 W ＝ ·( x － x )．
1 2 2 1
典例3 (多选)如图所示，A、B质量分别为m和M，B系在固定于墙上的水平轻弹簧
的另一端，并置于光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为 k，将B向右拉离平衡位置x后，
无初速度释放，在以后的运动中A、B保持相对静止，则在弹簧恢复原长的过程中( )
A．A受到的摩擦力最大值为
B．A受到的摩擦力最大值为
C．摩擦力对A做功为
D．摩擦力对A做功为
方法Ⅳ.等效转换法
恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·.
典例4 (多选)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光
滑的定滑轮O.现以大小、方向不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运
动到 C 点时速度最大 ．已知滑块的质量为 m，滑轮O到竖直杆的距离为 d，∠OAO′＝
37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．则( )A．拉力F大小为mg
B．拉力F大小为mg
C．滑块由A到C的过程中轻绳对滑块做功mgd
D．滑块由A到C的过程中轻绳对滑块做功mgd
答案及解析
1．思维辨析
(1)物体受力越大，位移越大，力对物体做功越多．(×)
(2)功有正、负，但正、负不表示方向，而表示大小．(×)
(3)摩擦力可以对物体做正功. (√)
(4)合力的功等于各分力功的矢量和. (×)
(5)作用力做正功时，反作用力一定做负功. (×)
2．如图所示，质量分别为m 和m 的两个物体，m<m ，在大小相等的两个力F 和F
1 2 1 2 1 2
的作用下沿水平方向移动了相同的距离．若F 做的功为W，F 做的功为W，则( )
1 1 2 2
A．W>W
1 2
B．W<W
1 2
C．W＝W
1 2
D．条件不足，无法确定
答案：C
3．如图所示，质量相同的两物体从同一高度由静止开始运动，A沿着固定在地面上的
光滑斜面下滑，B做自由落体运动．两物体分别到达地面时，下列说法正确的是 ( )A．重力的平均功率P >P
A B
B．重力的平均功率P ＝P
A B
C．重力的瞬时功率P ＝P
A B
D．重力的瞬时功率P <P
A B
答案：D
考点 功和功率的理解和计算
典例1 如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，
斜面足够长，木块与斜面间的动摩擦因数为 μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g
＝10 m/s2，则 前 2 s 内重力的平均功率和 2 s 末重力的瞬时功率 分别为( )
A．48 W,24 W B．24 W,48 W
C．24 W,12 W D．12 W,24 W
解析：木块所受的合外力 F ＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N，木块的加速度 a＝＝2
合
m/s2，前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m，所以重力在前2 s内做的功为 W ＝
mgx sin θ ＝2×10×4×0.6 J＝48 J，重力在前2 s内的平均功率＝＝24 W，木块在2 s末的速
度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s,2 s末重力的瞬时功率P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W，选
项B正确．故选B．
1．[正负功的判断](多选)如图所示，木块M上表面是水平的，当木块m置于M上，
并与M一起沿固定的光滑斜面由静止开始下滑，在下滑的过程中( )
A．M对m的支持力做负功
B．M对m的摩擦力做负功
C．m所受的合外力对m做负功
D．m的机械能守恒
解析：分析木块m的受力可知，支持力与速度间夹角为钝角，摩擦力与速度间夹角为
锐角，故A正确，B错误．整体沿斜面加速下滑，木块m所受合外力对m一定做正功，故
C错误．由整体受力分析可知整体下滑的加速度大小为a＝gsin θ，方向平行于斜面向下，
整体所受合外力等于其重力沿斜面方向的分力，这表明木块m所受支持力、摩擦力的合力
与其重力垂直于斜面方向的分力等大、反向，即支持力与摩擦力的合力方向垂直于速度方
向，所以支持力与摩擦力对木块m所做的总功为零，即除重力外其他力对木块m做功为零，其机械能守恒，故D正确．
答案：AD
2．[功率的理解和计算](多选)如图所示，四个小球质量分别为m ＝m ＝2m、m ＝m
A B C D
＝m，在距地面相同的高度处以相同的速率分别竖直下抛、竖直上抛、平抛和斜抛，不计
空气阻力，则下列关于这四个小球从抛出到落地过程的说法正确的是( )
A．小球飞行过程中单位时间内的速度变化量相同
B．C、D两小球落地时，重力的瞬时功率相同
C．从开始运动至落地，重力对四个小球做的功均相同
D．从开始运动至落地，重力对小球A做功的平均功率最大
解析：由于四个小球在飞行过程中只受重力的作用，则四个小球的加速度均等于重力
加速度，则由Δv＝gΔt可知单位时间内，四个小球的速度变化量相同，A正确；由于小球
在运动过程中只有重力做功，则小球的机械能守恒，由机械能守恒定律得mgh＝mv2－
mv，解得四个小球落地瞬间的速度大小均为v＝，但由于C、D两球落地瞬间竖直方向的
分速度大小不等，则重力的瞬时功率不相等，B错误；由题意知，W ＝2mgh、W ＝
GA GB
2mgh、W ＝mgh、W ＝mgh，C错误；由题意可知，小球A做竖直下抛运动，则小球A
GC GD
在空中运动时间最短，而重力做功最多，所以平均功率最大，D正确．
答案：AD
考点 机车启动的两种模型
典例2 目前，上海有若干辆超级电容车试运行，运行中无需连接电缆，只需在乘客
上车间隙充电30 s～1 min，就能行驶3～5 km.假设有一辆超级电容车，质量 m＝2×103
kg，额定功率P＝60 kW，当超级电容车在平直水平路面上行驶时，受到的阻力F 是车重
f
力的0.1倍，取g＝10 m/s2.
(1)超级电容车在此路面上行驶所能达到的最大速度是多少？
(2)若超级电容车从静止开始，保持以0.5 m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程
能维持多长时间？
(3)若超级电容车从静止开始，保持额定功率做加速运动，50 s后达到最大速度，求此
过程中超级电容车的位移大小．
解析：(1)当超级电容车速度达到最大时，超级电容车的牵引力与阻力平衡，即F＝
F，F＝kmg＝2 000 N
f f
又P＝Fv
f m
解得v ＝30 m/s.
m
(2)超级电容车做匀加速运动，由牛顿第二定律得F －F＝ma
1 f
解得F ＝3 000 N
1设超级电容车刚达到额定功率时的速度为v，有P＝F v
1 1 1
解得v＝＝20 m/s
1
设超级电容车匀加速运动的时间为t，则v＝at，解得t＝40 s.
1
(3)从静止到达到最大速度的整个过程牵引力与阻力做功
由动能定理得Pt－Fx＝mv
2 f
解得x＝1 050 m.
答案：(1)30 m/s (2)40 s (3)1 050 m
1．[对公式P＝Fv的理解]如图所示，高速公路上汽车定速巡航(即保持汽车的速率不
变)通过路面abcd，其中ab段为平直上坡路面，bc段为水平路面，cd段为平直下坡路面．
不考虑整个过程中空气阻力和摩擦阻力的大小变化．下列说法正确的是( )
A．在ab段汽车的输出功率逐渐减小
B．汽车在ab段的输出功率比bc段的大
C．在cd段汽车的输出功率逐渐减小
D．汽车在cd段的输出功率比bc段的大
解析：在ab段，根据平衡条件可知，牵引力F ＝mgsin θ＋f，所以在ab段汽车的输
1
出功率P ＝F v，则P 不变；在bc段的牵引力F ＝f，bc段的输出功率P ＝F v<P ，故A
1 1 1 2 2 2 1
错误，B正确．在cd段的牵引力F ＝f－mgsin θ，汽车的输出功率P＝F v<P；在cd段汽
3 3 3 2
车的输出功率不变，且小于bc段，故C、D错误．
答案：B
2．[以恒定加速度启动模型]某汽车从静止开始以加速度a匀加速启动，最后做匀速运
动．已知汽车的质量为m，额定功率为P，匀加速运动的末速度为v ，匀速运动的速度为
1
v ，所受阻力为f，如图所示是反映汽车的速度随时间及功率、牵引力和加速度随速度变化
m
的图像，其中不正确的是( )
解析：定性分析，汽车开始做初速度为零的匀加速直线运动，当达到额定功率时，匀
加速结束，然后做加速度逐渐减小的加速运动，直至最后做匀速运动，即汽车运动过程中
开始加速度不变，后来加速度逐渐减小，最后加速度为零，故D错误，符合题意．定量分析，汽车做匀加速运动时有F－f＝ma，已知匀加速刚结束时速度为v ，有P＝Fv ，则匀
1 1
加速运动的末速度为v ＝；汽车最后做匀速运动时有F＝f、P＝Fv ，则最后匀速运动的速
1 m
度为v ＝.在vt图像中图线的斜率表示加速度，汽车开始加速度不变，后来逐渐减小，最终
m
为0，故A正确，不符合题意．开始汽车功率逐渐增加且加速度不变，则汽车的牵引力不
变，故P＝Fv，Pv图像中的图线为过原点的直线，后来功率恒定且为额定功率，故 B正确，
不符合题意．汽车牵引力开始大小不变，然后逐渐减小，最后牵引力等于阻力，故C正确，
不符合题意．
答案：D
课题研究 计算变力做功的常用方法
典例1 (多选)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手．
设在摆球从A点运动到B点的过程中 空气阻力的大小 F 不变，则下列说法正确的是( )
阻
A．重力做功为mgL
B．悬线的拉力做功为0
C． 空气阻力做功为－ mgL
D．空气阻力做功为－F πL
阻
解析：重力做功与路径无关，选项A正确；悬线拉力方向总与运动方向垂直，不做功，
选项B正确；空气阻力大小不变，方向总与运动方向相反，做的功等于力与运动路程的乘
积，选项D正确，C错误．
答案：ABD
典例2 如图所示，建筑工地常使用打桩机将圆柱体打入地下一定深度，设定某打桩
机每次打击过程对圆柱体做功相同，圆柱体所受泥土阻力f与进入泥土深度h成正比(即 f ＝
kh，k为常量)，圆柱体自重及空气阻力可忽略不计，打桩机第一次打击过程使圆柱体进入
泥土深度为h，则打桩机第n次打击过程使圆柱体进入泥土深度为( )
1
A．h B．nh
1 1
C．h D．(－)h
1 1
解析： 由题意可知，阻力f与深度h成正比，则fh图像如图所示，fh图像与横轴围成
的面积表示阻力所做的功，每次打桩机对圆柱体做的功相同，每次打击过程所对应的 fh图
像与横轴围成的面积相等，由数学知识可知，h∶h∶h∶…∶h ＝1∶∶∶…∶，所以打桩
1 2 3 n
机第n次打击过程使圆柱体进入泥土深度为h －h ＝(－)h，选项D正确．
n n－1 1答案：D
典例3 (多选)如图所示，A、B质量分别为m和M，B系在固定于墙上的水平轻弹簧
的另一端，并置于光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为 k，将B向右拉离平衡位置x后，
无初速度释放，在以后的运动中A、B保持相对静止，则在弹簧恢复原长的过程中( )
A．A受到的摩擦力最大值为
B．A受到的摩擦力最大值为
C．摩擦力对A做功为
D．摩擦力对A做功为
解析：刚释放时，A、B加速度最大，以整体为研究对象，根据牛顿第二定律得 kx＝
(M＋m)a ，解得a ＝，此时A受到的摩擦力最大，对A根据牛顿第二定律得F ＝ma
m m fm m
＝，故A错误，B正确；在弹簧恢复原长的过程，A受的摩擦力随位移增大而线性减小到
零，所以摩擦力对A做的功为W＝·x＝，故C错误，D正确．
答案：BD
典例4 (多选)如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，滑块用轻绳系着绕过光
滑的定滑轮O.现以大小、方向不变的拉力F拉绳，使滑块从A点由静止开始上升，滑块运
动到 C 点时速度最大 ．已知滑块的质量为 m，滑轮O到竖直杆的距离为 d，∠OAO′＝
37°，∠OCO′＝53°，重力加速度为g(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)．则( )
A．拉力F大小为mg
B．拉力F大小为mg
C．滑块由A到C的过程中轻绳对滑块做功mgd
D．滑块由A到C的过程中轻绳对滑块做功mgd
解析： 滑块到 C 点时速度最大 ，其所受合力为零，则有Fcos 53°－mg＝0，解得F＝
mg，故A正确，B错误；由能量守恒定律可知，拉力F做的功等于轻绳拉力对滑块做的功，
滑轮与A间的绳长L＝，滑轮与C间的绳长L＝，滑轮右侧绳子增加的长度ΔL＝L－L＝
1 2 1 2
－＝，拉力做功W＝FΔL＝mgd，故C正确，D错误．
答案：AC
