一元二次方程应用题常考类型精选精练 1
工程行程动态几何围栏数字问题
【类型一 工程问题】
1．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修
路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．
(1)求甲工程队每小时修的路面长度；
(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，
乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(𝑚+25)小时；甲工程队的修路速度比原计划每
小时下降了3𝑚米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值．
【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米
(2)m的值为18
【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面 x 米，则甲工程队每小时铺设路面(2𝑥+30)米，根据题意列出
方程求解即可；
（2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面(2𝑥+30)米，
根据题意得，32𝑥+32(2𝑥+30) =4800，解得：𝑥 =40，
则2𝑥+30=110，
∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米；
（2）解：根据题意得：40(32+𝑚+25)+(110−3𝑚)(32+𝑚)=4800+1000，
整理得，𝑚2−18𝑚 =0，
解得：𝑚 =18，𝑚 =0（舍去），
1 2
∴m的值为18．
【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出
方程．
2．2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿
化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购
买两种树共需38800元．
(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10𝑚元（𝑚 ≤10)），且两种
树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实
际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？
【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵
(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵
【分析】（1）设原计划购买小叶榕𝑥棵，则购买香樟50−𝑥棵，根据题意列出方程680𝑥+1000(50−𝑥)=
38800即可得出答案．
（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为(680−10𝑚)元每棵，(1000−10𝑚)元每棵，
再列出实际购买棵树的表达式，得到(680−10𝑚)×(35+2𝑚)+(1000−10𝑚)×(15+𝑚) =42400方程
式求出满足条件𝑚的值，即可得出答案．
【详解】（1）设原计划购买小叶榕𝑥棵，则购买香樟50−𝑥棵，
根据题意，可得680𝑥+1000(50−𝑥) =38800，
解得，𝑥 =35．
答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．
（2）根据题意，可得(680−10𝑚)×(35+2𝑚)+(1000−10𝑚)×(15+𝑚) =42400，
整理得，30𝑚2−1860𝑚+3600=0，
解得：𝑚 =2，𝑚 =60，
1 2
∵𝑚 ≤10，∴𝑚 =2，
∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，
答：物业管理公司实际购买两种树共56棵．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用和一元二次方程应用的问题，熟练掌握题中的等量关系列
出正确的方程解决本题的关键．
3．在今年3月5号的学雷锋活动中，八年级和九年级的共青团员去参加美化校园活动，如果八年级共青团员
单独做3小时，九年级共青团员再单独做2小时，那么恰好能完成全部任务的25%；如果九年级共青团员先
做4小时，剩下的由八年级共青团员单独完成，那么八年级共青团员所用时间恰好比九年级共青团员单独完
成美化校园所用时间多2小时，求八九年级共青团员单独完成美化校园活动分别各需多少小时．
【答案】八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为24小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时
间为16小时．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为𝑥小时，则八年级共青团员单独完成美化校园所用
𝑥(𝑥+2)
时间为 小时，根据“八年级共青团员单独做3小时，九年级共青团员再单独做2小时，那么恰好能完成
𝑥−4
全部任务的25%”，即可得出关于𝑥的分式方程，解之经检验后即可求出九年级共青团员单独完成美化校园所
𝑥(𝑥+2)
用时间，再将其代入 中可求出八年级共青团员单独完成美化校园所用时间．
𝑥−4
【详解】解：设九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为𝑥小时，则八年级共青团员单独完成美化校园
𝑥(𝑥+2)
所用时间为 小时，
𝑥−4
3 2
依题意得： + =25%，
𝑥(𝑥+2) 𝑥
𝑥−4
整理得：𝑥2−16𝑥 =0，
解得：𝑥 =0，𝑥 =16，
1 2
经检验，𝑥 =0是原方程的增根，舍去；𝑥 =16是原方程的解，且符合题意，
1 2
𝑥(𝑥+2) 16×(16+2)
∴ = =24，
𝑥−4 16−4
∴八年级共青团员单独完成美化校园所用时间为24小时，九年级共青团员单独完成美化校园所用时间为16小
时．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
4．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计
划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1
米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万．
6
(1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的 ，求甲最多施工多少米．
5
(2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每
1
合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖 𝑎米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天
6
2
少挖 𝑎米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多(7𝑎−12)万元．求a的值．
9
【答案】(1)甲最多施工2500米
(2)a的值为6
【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总
6
施工成本的 ，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每
1 2
天可多挖 𝑎米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖 𝑎米，即可得出关于 a 的一元二次方程，解
6 9
之即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，
6
依题意，得：12（5000-x）≥ ×10x，
5
解得：x≤2500，
答：甲最多施工2500米．
1 2
（2）依题意，得：(10+𝑎)(5+ 𝑎)+12(5− 𝑎) =12×5+10×5+(7𝑎−12) ，
6 9
整理，得：𝑎2−18𝑎+72=0，
解得：𝑎 =12，𝑎 =6，
1 2
当𝑎 =12时，总成本为：12×5+10×5+7×12−12=182（万元），
1
∵182＞150，
∴𝑎 =12不符合题意舍去；
1
当𝑎 =6时，总成本为：12×5+10×5+7×6−12=140（万元），
2
∵140＜150，
∴𝑎 =6符合题意；
2
答：a的值为6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数
量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
5．“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组
共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加
工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子；
(2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的
工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成
任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？
【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子
(2)400
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工𝑥袋、𝑦袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次
方程组，从而解决问题．
（2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲
组平均每天比原计划平均每天多加工100𝑎袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列
出方程．
【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工𝑥袋、𝑦袋粽子
10𝑥+8𝑦 =3200 𝑥 =200
由题意得：{ ，解得：{
3𝑥−2𝑦 =300 𝑦 =150
答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子．
（2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工100𝑎袋粽子
由题意得：2×(200+150)+(200+100𝑎)(8−𝑎)+150(6−𝑎)=3200+500
整理得：2𝑎2−9𝑎+10=0
解得：𝑎 =2，𝑎 =2.5，
1 2
又∵甲、乙两组加工的天数均为整数
∴ 𝑎 =2
∴200+100×2=400（袋）
答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子．
【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关
键．
6．某公司主营铁路建设施工．
(1)原计划今年一季度施工里程包括平地施工，隧道施工和桥梁施工共146千米，其中平地施工106千米，
隧道施工至少是桥梁施工的9倍，那么，原计划今年一季度，桥梁施工最多是多少千米？
(2)到今年3月底，施工里程刚好按原计划完成，且桥梁施工的里程数正好是原计划的最大值，已知一季度
平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本之比1：3：10，总成本为254亿元，预计二季度平地施工里
程会减少7a千米，隧道施工里程会减少2a千米，桥梁施工里程会增加a千米，其中平地施工，隧道施工每
1
千米的成本与一季度持平，桥梁施工每千米的成本将会增加 a亿元，若二季度总成本与一季度相同，求a
2
的值．
【答案】(1)4；
(2)2．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为(146−106−𝑚)千米，利用隧道施工至少是桥梁施
工的9倍，列不等式求解即可；
（2）求出一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工的里程数，设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千
米的成本分别为x，3x，10x，利用总成本为254亿元，列方程求出x，找出二季度平地施工，隧道施工和桥
梁施工的里程数及每千米的成本，利用二季度总成本与一季度相同，列方程求解即可．
【详解】（1）解：设桥梁施工最多是m千米，则隧道施工为(146−106−𝑚)千米，
∵隧道施工至少是桥梁施工的9倍，
∴146−106−𝑚≥9𝑚，
解之得：𝑚 ≤4，
∴桥梁施工最多是4千米．
（2）解：由（1）可知一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工分别为106千米，36千米和4千米，
设一季度平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为x，3x，10x，
∵总成本为254亿元，
∴106𝑥+36×3𝑥+40𝑥 =254，
解之得：𝑥 =1，
由题意可知：二季度平地施工里程为106−7𝑎千米，隧道施工里程为36−2𝑎千米，桥梁施工里程为4+𝑎千
1
米；平地施工，隧道施工和桥梁施工每千米的成本分别为：1，3，10+ 𝑎
2
∵二季度总成本与一季度相同，
1
∴106−7𝑎+(36−2𝑎)×3+(4+𝑎)(10+ 𝑎)=254，
2
即𝑎(𝑎−2) =0，
解之得：𝑎 =0（舍去）或𝑎 = 2，
故𝑎 =2．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用和一元二次方程的应用．（1）的关键是根
据各数量之间的关系，列出不等式求解即可；（2）的关键找出等量关系列出一元一次方程和一元二次方程
求解．
7．公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，
某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决
下列问题．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能
是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产
头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%
(2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；
（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．
依题意，得：2250(1+𝑥)2 =3240，
解得：𝑥 =0.2=20%，𝑥 =−2.2（不合题意，舍去）．
1 2
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）解：设增加x条生产线．
(900−30𝑥)(𝑥+1)=3900，
解得𝑥 =4，𝑥 =25（不符合题意，舍去），
1 2
答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可．
8．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴
灌时每亩用水量分别是漫灌时的30%和20%．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、
滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了𝑚%，漫灌试验田的面积减少
了2𝑚%．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了𝑚%．经
9
测算，今年的灌溉用水量比去年减少 𝑚%，求𝑚的值．
5
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投
入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费
为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
【答案】（1）漫灌方式每亩用水 100 吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水 10000、3000、2000 吨；（2）
20；（3）节省水费大于两项投入之和
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水𝑥吨，列出方程求解即可；
（2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程；
（3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可．
【详解】（1）解：设漫灌方式每亩用水𝑥吨，则：𝑥×100+100×30%𝑥+100×20%𝑥 =15000，
解得𝑥 =100，
漫灌用水：100×100 =10000，
喷灌用水：30%×10000= 3000，
滴灌用水：20%×10000= 2000，
答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨．
（2）由题意得，
100×(1−2𝑚%)×100×(1−𝑚%)+100×(1+𝑚%)×30×(1−𝑚%)+100×(1+𝑚%)×20×(1−
9
𝑚%) =15000×(1− 𝑚%)，
5
解得𝑚 =0（舍去），𝑚 =20，所以𝑚= 20．
1 2
9
（3）节省水费：15000× 𝑚%×2.5=13500元，
5
维修投入：300×30 =9000元，
新增设备：100×2𝑚%×100=4000元，
13500 >9000+4000，
答：节省水费大于两项投入之和．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确列式
计算是解题关键．
9．为了提升干线公路美化度，相关部门拟定派一个工程队对39000米的公路进行路面“白改黑”工程．该工
程队计划使用一大一小两种型号设备交替的方式施工，原计划小型设备每小时铺设路面30米，大型设备每
小时铺设路面60米
2
（1）由于小型设备工作效率较低，该工程队计划使用大型设备的时间比使用小型设备的时间多 ，当这个
3
工程完工时，小型设备的使用时间至少为多少小时？
（2）通过勘察、又新增了部分支线公路美化，结果此工程的实际施工里程比最初拟定的最少里程39000米
多了9000米，于是在实际施工中，小型设备在铺设公路效率不变的情况下，使用时间比（1）中的最小值
多3.2𝑎 0 ⁄ ，同时，因为工人操作大型设备不够熟练，使得大型设备铺设公路的效率比原计划下降了𝑎 0 ⁄ ，
0 0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司使用时间比（1）中大型设备使用的最短时间多( 1 𝑎+30) 0 ⁄ ，求𝑎的值．
0
2
【答案】（1）当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时；（2）32．
【分析】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为 x 小时，根据总工作量大于等于 39000 米列出不
等式求解即可；
（2）根据题意列出方程并求解，然后舍去不合题意的解即可．
2
【详解】（1）设这个工程完工时，小型设备的使用时间为x小时，则大型设备的使用时间为(1+ )x小时，
3
2
根据题意得：30𝑥+60(1+ )𝑥 ≥39000，
3
解得：x≥300，
答：当这个工程完工时，小型设备的使用时间至少为300小时；
2 1
（2）由题意得：300×（1+3.2𝑎%）×30+60×（1-𝑎%）×300(1+ )×（1+ 𝑎%+30%）=39000+9000，
3 2
整理得：𝑎(𝑎−32) =0，
解得：𝑎 =0或32，
∵𝑎﹥0，
∴𝑎=32，
故𝑎的值是32．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，正确理解，找出合适的等量关系或不
等关系，列出方程和不等式是解题的关键．
10．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去
年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且
两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．
（1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？
（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，
为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工
时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取
整数）
【答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．
（2）甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．
【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，等量关系为：“两
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”，据此列方程求解即可．
（2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1500万元，列不等式求解．
【详解】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，
根据题意，得𝑥(𝑥+5)=6(𝑥+𝑥+5)，
即𝑥2−7𝑥−30=0，
解得𝑥 =10，𝑥 =−3（不合题意，舍去）．
1 2
∴𝑥+5=15．
答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月．
（2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为1 m 个月，
2
由题意得，100m+（100+50）1 m≤1500，
2
4
解得：𝑚 ≤8
7
∵施工时间为整数，
∴m≤8，
答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意
设出未知数列出方程及不等式求解．
【类型二 行程问题】
11．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜
爱．
(1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的1.2倍，张大伯走5分钟，李大伯走10分钟，共走800米，求张大伯
和李大伯每分钟各走多少米？
(2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大
伯的速度每分钟提高了2𝑎米，时间都各自多走了10𝑎分钟，结果两人又共走了6900米，求𝑎的值．
【答案】(1)张大伯每分钟走60米，李大伯每分钟走50米
(2)𝑎的值为5
【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟𝑥米，则张大伯每分钟走1.2𝑥米，根据两人共走了800米列方
程，解得𝑥的值代入1.2𝑥中计算即可；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走(50+2𝑎)米，由已知条件可得张大伯走了(10𝑎+5)
分钟，李大伯走了(10𝑎+10)分钟，根据两人又共走了6900米列方程，解方程并根据实际意义确定𝑎值即可．
【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟𝑥米，得：5×1.2𝑥+10𝑥 =800
解得𝑥 =50
∴1.2𝑥 = 60（米）
所以，张大伯每分钟走60米，李大伯每分钟走50米；
（2）解：依题意，得：60(10𝑎+5)+(50+2𝑎)(10𝑎+10) =6900
整理得𝑎2+56𝑎−305=0
解得𝑎 =−61（舍），𝑎 =5
1 2
答：𝑎的值为5．
【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题
的关键．
12．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比
前1分钟多走1m，乙每分钟走5m．
(1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？
(2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行
走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？
【答案】(1)7分钟
(2)15分钟
【分析】（1）根据题意先设 n 分钟后第 1 次相遇，利用数列求和知识得到关于 n 的方程，解此方程即可得
甲、乙开始运动后几分钟相遇；
（2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多
少分钟．
𝑛(𝑛+3)
【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有 +5n＝70，
2
整理得n2+13n﹣140＝0，
解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去）
第1次相遇是在开始后7分钟．
答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司𝑛(𝑛+3)
（2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有 +5n＝3×70，
2
整理得n2+13n﹣420＝0，
解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去）
故第2次相遇是在开始后15分钟．
答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关
键．
13．从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站匀速开出，1小时后快车在慢车前12千米，
快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？
【答案】快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米
【分析】首先设慢车每小时走x千米，则快车每小时走（x+12）千米，再根据题意可得等量关系：慢车行驶
150千米的时间-快车行驶150千米的时间=25分钟，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设慢车每小时行驶x千米，则快车每小时行驶(x＋12)千米，
150 150 25
依题意得： － ＝ .
𝑥 𝑥+12 60
解得x1＝－72，x2＝60.
经检验，x1＝－72，x2＝60都是原方程的解．
但x1＝－72不合题意，应舍去．
故x＝60.
所以x＋12＝72.
答：快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米．
【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，根据时间差列出方程
是解题关键.
14．“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁
路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千米/小时，全程设计运行时
间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事
1
件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加 𝑚小时，求m的值．
10
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】（1）1600；（2）20．
【分析】（1）利用“从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速
提高了 l20 千米/小时，全程设计运行时间只需 8 小时，比原铁路设计运行时间少用 16 小时”，分别得出等
式组成方程组求出即可；
1
（2）根据题意得出：(80+120)(1−𝑚%)(8+ 𝑚)=1600进而求出即可．
10
8(120+𝑥)=𝑦 𝑥 = 80
【详解】（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：{ ，解得：{ ，
(8+16)𝑥 =320+𝑦 𝑦 =1600
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；
1
（2）由题意可得出：(80+120)(1−𝑚%)(8+ 𝑚)=1600，
10
解得：𝑚 =20，𝑚 =0（不合题意舍去），
1 2
答：m的值为20．
15．某市区东西走向的青年路与南北走向的江阴路相交于O处，．甲沿着青年路以4m/s的速度由西向东走，
乙沿着江阴路以3m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向
前行走，求两个人相距85m时各自的位置．
【答案】当两人相距85米时，甲在O点以东36米处，乙在O点以北77米处
【分析】分别用未知数表示出两人的路程，再根据勾股定理列出方程求出未知数的值．
【详解】设经过x秒时两人相距85m，
根据题意得（4x）2+（50+3x）2=852，
去括号得25x2+300x=4725，
即25x2+300x-4725=0，
化简得x2+12x-189=0，
∴（x-9）（x+21）=0，
解得x1=9，x2=-21（不符合实际情况，舍去），
当x=9时，4x=36，50+3x=77．
∴当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处．
故当两人相距85米时，甲在O点以东36米处，乙在O点以北77米处．
【点睛】考查了方向角，一元二次方程的应用和勾股定理等知识点．要注意的是方向角问题中，南北和西
东是垂直的．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相比，王老师第二次锻
炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为
𝑥(0<𝑥 < 0.5)．
项目 第一次锻炼 第二次锻炼
步数(步) 10000
平均步长(米/步) 0.6
距离(米) 6000 7020
注：步数×平均步长＝距离．
(1)根据题意完成表格填空；
(2)求x；
(3)王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为
24000步，求王老师这500米的平均步长．
【答案】(1)10000（1+3x）；0.6（1-x）
(2)0.1
(3)0.5米．
【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的 3倍，得出第
二次锻炼的步数；
②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米/步）；
（2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案；
（3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长．
【详解】（1）解：①根据题意可得：10000（1+3x）；
②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1﹣x）；
故答案为10000（1+3x）；0.6（1﹣x）；
（2）由题意：10000（1+3x）×0.6（1﹣x）=7020
17
解得：x1= ＞0.5（舍去），x2=0.1．
30
则x=0.1，
答：x的值为0.1；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）根据题意可得：10000+10000（1+0.1×3）=23000，
500÷（24000-23000）=0.5（米）．
答：王老师这500米的平均步幅为0.5米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，理解题意，列出方程是解题的关键．
17．某汽车生产厂经过检测发现：该厂的某种型号汽车在高速公路上行驶，遇到紧急情况刹车时，汽车的
反应距离（司机做出反应后到踏下制动器这段时间内汽车运行的距离）与汽车的速度成正比，汽车的制动
距离（司机踏下制动器后，汽车继续行驶的一段距离）与汽车的速度的平方成正比，汽车急刹车的停车距
离等于汽车的反应距离与汽车的制动距离之和.设汽车的速度为𝑣(m⁄s)，该型号汽车急刹车的停车距离为
𝑠(m).下表是𝑣取某一数值时，s对应的值.
𝑣(m⁄s) 𝑠(m)
20 50
30 99
根据上述信息，解答下列问题.
(1)求s与v的函数表达式.
(2)一辆该型号汽车以22m/s的速度在高速公路上行驶，突然发现正前方60m处有一障碍物，司机紧急刹车，
汽车与障碍物会相撞吗?说明理由.
(3)高速公路上，驾驶着一辆该型号汽车的司机突然发现正前方75m 处有一辆抛锚的汽车，司机紧急刹车，
要使该汽车能在距离抛锚的汽车2.5m以上处停住，则该汽车行驶的速度不超过_________m/s.
【答案】(1)𝑠 =0.08𝑣2+0.9𝑣
(2)汽车不会与障碍物会相撞
(3)25
【分析】（1）将已知值代入，求解方程组即可；
（2）将自变量值代入解析式，求出函数值，判断；
（3）根据题意，建立一元二次方程，求解，确定取值范围；
【详解】（1）解：∵汽车的反应距离与汽车的速度成正比，
∴设汽车的反应距离𝑠 =𝑎𝑣(𝑎 ≠0).
1
∵汽车的制动距离与汽车的速度的平方成正比，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴设汽车的制动距离𝑠 =𝑏𝑣2(𝑏 ≠0).
2
∴𝑠 =𝑠 +𝑠 =𝑎𝑣+𝑏𝑣2.
1 2
∵当𝑣 =20m/s时，𝑠 =50m；当𝑠 =30m/s时，𝑦 =99m.
∴列方程组，得{
50=20𝑎+400𝑏,
99=30𝑎+900𝑏.
解方程组，得{
𝑎 =0.9,
𝑏 =0.08.
∴s与v的函数表达式为𝑠 =0.08𝑣2+0.9𝑣.
（2）当𝑣 =22，𝑦= 0.08×222+0.9×22=58.52.
∵60>58.52，
∴汽车不会与障碍物会相撞.
（3）由题意，得 0.08𝑣2+0.9𝑣 =75−2.5
145
解得，𝑣 =25,𝑣 =− （不合题意，舍去）
1 2 4
∴𝑣 <25m/s时，汽车能在距离抛锚的汽车2.5m以上处停住．
故答案为：25．
【点睛】本题考查确定函数解析式，求解函数值，自变量值；熟练运用方程的思维，采用待定系数法是解
题的关键．
18．已知，一辆汽车在笔直的公路上刹车后，该车的速度𝑣(米/秒)与时间𝑡(秒)(0<𝑡 ≤15)之间满足一次函
数关系，其图象如图所示；
(1)求𝑣与𝑡之间的函数关系式；
(2)已知汽车在该运动状态下，一段时间内向前滑行的距离等于这段时间内的平均速度乘以时间(该运动状态
下的平均速度𝑣 =
𝑣1+𝑣2，𝑣
表示这段时间起始时刻的速度，𝑣 表示这段时间结束时刻的速度)．若该车刹车
2 1 2
后𝑡秒内向前滑行了378米，求𝑡的值．
【答案】(1)𝑣 =−4𝑡+60
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)该车刹车后9秒内向前滑行了378米
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据题意得出𝑣 =−2𝑡+60，路程等于速度乘以时间，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：将点(4,44)，(12,12)代入𝑣 =𝑘𝑡+𝑏，
{
44 =4𝑘+𝑏
，解得：{
𝑏 =60
，
12=12𝑘+𝑏 𝑘 =−4
∴𝑣与𝑡之间的函数关系式为𝑣 = −4𝑡+60；
（2）解：依题意，𝑣 =
𝑣1+𝑣2
=
1
(−4𝑡 +60−4𝑡 +60) =−2(𝑡 +𝑡 )+60， 𝑡 =0，𝑡 =𝑡，
1 2 1 2 1 2
2 2
则𝑣 =−2𝑡+60
依题意，378=𝑣𝑡，
即−2𝑡2+60𝑡 = 378
解得：𝑡 =9或𝑡 =21（舍去）
答：该车刹车后9秒内向前滑行了378米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，求得一次函数
解析式是解题的关键．
19．为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑
是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的
愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从𝐴地出发，匀速跑向距离12000m处的𝐵地，
小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达𝐵地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从𝐴地到达𝐵地后，小明以跑步形式继续前进到𝐶地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30
分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增
加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从𝐴地到𝐶地锻炼共用多少分钟．
【答案】(1)480米
(2)70分钟
【分析】（1）设小齐每分钟跑𝑥米，则小明每分钟跑1.2𝑥米，根据题意建立分式方程，解方程即可得；
（2）设小明从𝐴地到𝐶地锻炼共用𝑦分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】（1）解：设小齐每分钟跑𝑥米，则小明每分钟跑1.2𝑥米，
12000 12000
由题意得： −5= ，
𝑥 1.2𝑥
解得：𝑥 =400，
经检验，𝑥 =400既是所列分式方程的解也符合题意，
则1.2𝑥 =1.2×400 =480，
答：小明每分钟跑480米．
（2）解：设小明从𝐴地到𝐶地锻炼共用𝑦分钟，
由题意得：10×30+(𝑦−30)(10+𝑦−30)=2300，
解得：𝑦 =70，𝑦 =−20（不符合题意，舍去），
1 2
答：小明从𝐴地到𝐶地锻炼共用70分钟．
【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
20．某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如下表．与第一次锻炼相比，王老师第二次
锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率
为x（0＜x＜0.5）．
注：步数×平均步长＝距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求x的值；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好
为24000步，求王老师这500米的平均步长．
【答案】（1）①10000(1+3𝑥)，② 0.6(1−𝑥)；（2）𝑥的值为 0.1；（3）王老师这500𝑚的平均步长为 0.5
米/步．
【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的 3倍，得出第
二次锻炼的步数；②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为 x，即可表示出第二次锻炼的平均
步长（米/步）；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案；
（3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长．
【详解】（1）①根据题意可得第二次锻炼的步数为10000（1＋3x）；
②第二次锻炼的平均步长（米/步）为：0.6（1−x）；
故答案为：10000（1＋3x）；0.6（1−x）；
（2）根据题意得10000(1+3𝑥)×0.6(1−𝑥) =7020，
17
解得𝑥 = >0.5（舍去），𝑥 =0.1.
1 30 2
则𝑥的值为0.1.
（3）根据题意可得：10000＋10000（1＋0.1×3）＝23000，
500÷（24000−23000）＝0.5（m）．
答：王老师这500米的平均步长为0.5米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键．
【类型三 动态几何】
21．如图，在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，P点在BC上，从B点到C点运动(不包括 C点)，
点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点(不包括A点)，速度为5cm/s．若点P、Q分别从
B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：
（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5√2cm？
（2）经过多少时间后，𝑆 的面积为15cm2？
△𝑃𝐶𝑄
（3）设运动时间为t，用含t的代数式表示△PCQ的面积，并用配方法说明t为何值时△PCQ的面积最大，
最大面积是多少？
3
【答案】（1）经过1秒后，P、Q两点的距离为 5√2cm；（2）经过 或2秒后，𝑆 的面积为15cm2；（3）
2 △𝑃𝐶𝑄
𝑆 =−5𝑡2+ 35 𝑡；当𝑡 = 7 时，𝑆 最大，最大面积为 245 𝑐𝑚2
△𝑃𝐶𝑄 2 4 △𝑃𝐶𝑄 16
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）连接PQ，根据勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形，∠C=90°，然后设x秒后，P、Q两
点的距离为5√2cm，根据勾股定理列出方程即可求出结论；
（2）设y秒后，𝑆 的面积为15cm2，根据三角形的面积公式列出方程即可求出结论；
△𝑃𝐶𝑄
（3）利用三角形的面积公式即可用含 t 的代数式表示△PCQ 的面积，然后配方，根据平方的非负性即可求
出𝑆 的取值范围，从而求出其最值．
△𝑃𝐶𝑄
【详解】解：（1）连接PQ，
∵在△ABC中，BC=7cm，AC=24cm，AB=25cm，
∴BC2＋AC2=625=AB2
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°
设x秒后，P、Q两点的距离为5√2cm
根据题意可得BP=2x,CQ=5x
∴CP=BC－BP=7－2x
根据勾股定理可得CP2＋CQ2=PQ2
即（7－2x）2＋（5x）2=（5√2）2
1
解得：𝑥 =1,𝑥 =− （不符合实际，舍去）
1 2 29
答：经过1秒后，P、Q两点的距离为5√2cm．
（2）设y秒后，𝑆 的面积为15cm2
△𝑃𝐶𝑄
根据题意可得BP=2y,CQ=5y
∴CP=BC－BP=7－2y
1
∴ ×5𝑦×(7−2𝑦)=15
2
3
解得：𝑦 = ,𝑦 =2
1 2 2
3
答：经过 或2秒后，𝑆 的面积为15cm2．
2 △𝑃𝐶𝑄
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）根据题意可得BP=2t,CQ=5t
∴CP=BC－BP=7－2t
1
∴𝑆 = 𝐶𝑄•𝐶𝑃
△𝑃𝐶𝑄 2
1
= ×5𝑡×(7−2𝑡)
2
=−5𝑡2+ 35 𝑡
2
=−5(𝑡2− 7 𝑡)
2
=−5(𝑡2− 7 𝑡+ 49 − 49 )
2 16 16
2
7 245
=−5(𝑡− ) +
4 16
2
7
∵(𝑡− ) ≥0
4
2
7
∴−5(𝑡− ) ≤0
4
2
7 245 245 7 245
∴−5(𝑡− ) + ≤ （当且仅当𝑡 = 取等号），即𝑆 ≤
4 16 16 4 △𝑃𝐶𝑄 16
∴当𝑡 = 7 时，𝑆 最大，最大面积为 245 𝑐𝑚2．
4 △𝑃𝐶𝑄 16
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解决此题的关键．
22．如图，在𝛥𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵 =90∘，𝐴𝐵 =6𝑐𝑚，𝐵𝐶 =3𝑐𝑚，点𝑃从点𝐴出发沿边𝐴𝐵向点𝐵以 1𝑐𝑚/𝑠的速度
移动，点𝑄从点𝐵出发沿边𝐵𝐶向点𝐶以2𝑐𝑚/𝑠的速度移动. 𝑃、𝑄分别从𝐴、𝐵同时出发.
（1）多长时间后𝑃、𝑄间的距离等于4√2？
4
（2）多长时间后四边形𝐴𝑃𝑄𝐶的面积等于𝛥𝐴𝐵𝐶面积的 ？
9
【答案】（1）0.4s；(2)1s.
【详解】（1）解：设𝑡𝑠后𝑃𝑄的距离是4√2
(6−𝑡)2+(2𝑡)2 =(4√2)2
解得：𝑡 =0.4,𝑡 =2（舍去）
1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司故0.4s后𝑃、𝑄间的距离等于4√2
4
（2）解：设𝑡𝑠后四边形𝐴𝑃𝑄𝐶的面积等于𝛥𝐴𝐵𝐶面积的
9
1 4
根据题意可得： (6−𝑡)2𝑡 =(1− )×9
2 9
解得𝑡 =1,𝑡 =5（舍去）
1 2
4
故1s后四边形𝐴𝑃𝑄𝐶的面积等于𝛥𝐴𝐵𝐶面积的
9
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于结合实际运用一元二次方程.
23．如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶点,𝐴𝐵 =16𝑐𝑚, AD =6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,
点P以 3𝑐𝑚/𝑠的速度向点B移动,一直到点B为止,点Q以 2𝑐𝑚/𝑠的速度向点D移动,设移动时间为 𝑡(𝑠),问：
(1)当t为何值时，P、Q两点间的距离是10cm？
(2)当t为何值时，P、Q两点间距离最小？最小距离为多少？
(3)𝑃、Q两点间距离能否是18cm？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
16
【答案】（1）P、Q出发1.6和4.8秒时,P,Q间的距离是10厘米；（2）𝑡 = 时,PQ最小,最小为6；（3）两点间
5
距离不能是18cm．
【分析】（1）可通过构建直角三角形来求解．过Q作QM⊥AB于M，如果设出发x秒后，QP＝10厘米．那
么可根据路程＝速度×时间，用未知数表示出PM、PQ的值，然后在直角三角形PMQ中，求出未知数的值．
（2）在直角三角形PMQ中，PM为0时，PQ就最小，那么可根据这个条件和（1）中用勾股定理得出的PQ
的式子，让PM＝0，得出此时时间的值．
（3）利用勾股定理求得线段AC的长，与18比较即可得到结论．
【详解】解：(1)设出发t秒后P、Q两点间的距离是10厘米．
则𝐴𝑃=3𝑡,𝐶𝑄 =2𝑡,作QM⊥AB于M,
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则𝑃𝑀 = |16−2𝑡−3𝑡|=|16−5𝑡|,
(16−5𝑡)2+62 =102,
8 24
解得：𝑡 = =1.6或𝑡 = =4.8,
5 5
答：P、Q出发1.6和4.8秒时,P,Q间的距离是10厘米；
（2）∵PQ=√(16−5𝑥)2+62，
16
∴当16−5𝑡 =0时,即𝑡 = 时,PQ最小,最小为6；
5
（3）∵AC=√𝐴𝐵2+𝐵𝐶2 =√162+62 =√292＜18，
∴P、Q两点间距离不能是18cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，本题结合几何知识并根据题意列出方程，然后求解．
24．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=3cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移
动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点同时出发．
（1）几秒钟后，P、Q间的距离等于4√2cm？
（2）几秒种后，△BPQ的面积与四边形CQPA的面积相等？
【答案】（1）
2 ；（2）6−3√2
5 2
【分析】（1）设时间为 x秒，依题意得 BP=xcm，AP=（6-x）cm，BQ=2xcm，在Rt△BPQ中利用勾股定理列
方程求解；
（2）设a秒钟后，△BPQ的面积与四边形CQPA的面积相等，依题意得BP=acm，AP=（6-a）cm，BQ=2acm，
然后表示出△BQP的面积和四边形CQPA的面积，列出方程，即可解出答案．
【详解】设x秒后，PQ=4√2cm，则BQ=2x，BP=6-x，
由题意得：BQ 2+BP 2=PQ 2，
∴(2x)2+(6−x)2＝(4√2)2
整理得：（5x-2）（x-2）=0，
解得：x1＝2，x2＝2
5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∵BC=3cm，
∴x=2不合题意，舍去，
答：2秒后PQ=4√2cm；
5
（2）设a秒钟后，△BPQ的面积与四边形CQPA的面积相等，则△BPQ的面积是△ABC的面积的一半，由题
1 1 1
意得： ×2a×（6-a）= × ×6×3，
2 2 2
解得：a=
6±3√2，
2
∵BC=3cm，
∴a=
6+3√2不合题意，舍去，
2
∴a=
6−3√2．
2
答：6−3√2秒钟后，△BPQ的面积与四边形CQPA的面积相等．
2
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用．以及勾股定理的应用．关键是根据题意表示出BP、BQ的长．
25．如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵 =15cm，𝐴𝐷 =5cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm⁄s的
速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm⁄s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设
移动时间为𝑡(s)，连接𝑃𝑄，𝑄𝐵．
(1)当𝑡 =______时，P，Q两点间的距离为13cm．
(2)四边形𝐴𝑃𝑄𝐷的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由；
(3)当△𝐵𝑃𝑄为等腰三角形时，求t的值；
【答案】(1)0.6
(2)当𝑡 =3时，四边形𝐴𝑃𝑄𝐷为矩形
(3)当△𝐵𝑃𝑄为等腰三角形时，𝑡的值为
15±5√5
或9−√41或
15
8 7
【分析】（1）可通过构建直角三角形来求解．过𝑄作𝑄𝑀 ⊥𝐴𝐵于𝑀，如果设出发𝑡秒后，𝑄𝑃 =13cm，那么
可根据路程=速度×时间，用未知数表示出𝑃𝑀的值，然后在直角三角形𝑃𝑀𝑄中，求出未知数的值；
（2）利用矩形的性质得出当𝐴𝑃 =𝐷𝑄时，四边形𝐴𝑃𝑄𝐷为矩形，建立方程，解方程即可求解；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）由题意得：𝐴𝑃 =3𝑡cm，𝐶𝑄 =𝐵𝑀 =2𝑡cm，𝑃𝐵 =15−3𝑡(cm)，作𝑄𝑀 ⊥ 𝐴𝐵于𝑀，则四边形𝐵𝐶𝑄𝑀是
矩形，则𝑃𝑀 = |15−2𝑡−3𝑡|=|15−5𝑡|，根据勾股定理可得𝑃𝑄2 =(15−5𝑡)2+52，然后分三种情况：
当𝑃𝑄 =𝑃𝐵时，当𝐵𝑄 =𝐵𝑃时，当𝑄𝑃 =𝑄𝐵时，分别列出方程求出𝑡的值即可．
【详解】（1）解：设出发𝑡秒后𝑃、𝑄两点间的距离是13cm
则𝐴𝑃=3𝑡cm，𝐶𝑄 =2𝑡cm，作𝑄𝑀 ⊥𝐴𝐵于𝑀，则四边形𝐵𝐶𝑄𝑀是矩形，
由矩形性质可知：𝐶𝑄 =𝐵𝑀 =2𝑡cm，𝑄𝑀 =𝐵𝐶 =𝐴𝐷=5cm，
则𝑃𝑀 = |15−2𝑡−3𝑡|=|15−5𝑡|，
由勾股定理可得：𝑃𝑀2+𝑄𝑀2 =𝑃𝑄2，即：(15−5𝑡)2+52 =132，
解得：𝑡 =0.6或𝑡 =5.4，
∵𝐴𝐵 =15，
∴3𝑡 ≤15，
∴𝑡 ≤5，
∴𝑡 =5.4不符合题意舍去，
则：当𝑡 =0.6时，𝑃、𝑄间的距离是13cm；
故答案为：0.6；
（2）四边形𝐴𝑃𝐷𝑄的形状有可能为矩形；
理由：由（1）知𝐴𝑃 =3𝑡cm，𝐷𝑄 =𝐶𝐷−𝐶𝑄 =15−2𝑡(cm)，
当四边形𝐴𝑃𝐷𝑄为矩形，则𝐴𝑃 =𝐷𝑄，
即3𝑡 =15−2𝑡，
解得：𝑡 =3．
即：当𝑡 =3时，四边形𝐴𝑃𝑄𝐷为矩形．
（3）由题意得：𝐴𝑃 =3𝑡cm，𝐶𝑄 =𝐵𝑀 =2𝑡cm，𝑃𝐵 =15−3𝑡(cm)，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司作𝑄𝑀 ⊥𝐴𝐵于𝑀，则四边形𝐵𝐶𝑄𝑀是矩形，则𝑃𝑀 =|15−2𝑡−3𝑡|=|15−5𝑡|，
则𝑃𝑄2 = (15−5𝑡)2+52，
当𝑃𝑄 =𝑃𝐵时，(15−5𝑡)2+52 =(15−3𝑡)2，解得：𝑡 = 15±5√5 ；
8
当𝐵𝑄 =𝐵𝑃时，(2𝑡)2+52 =(15−3𝑡)2，解得：𝑡 =9−√41，𝑡 =9+√41>5（舍去）；
1 2
15
当𝑄𝑃 =𝑄𝐵时，𝑀为𝑃𝐵的中点，则𝑃𝑀 =𝐵𝑀，即：15−5𝑡 =2𝑡，解得：𝑡 = ；
7
综上所述，当△𝐵𝑃𝑄为等腰三角形时，𝑡的值为
15±5√5
或9−√41或
15
．
8 7
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，一元
二次方程，解答本题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．
26．小华同学学习了课本1.4节“问题6”后，在已知条件不变的情况下，又对该例题进行了拓展探究，请你
和他一起解决以下几个问题：
问题6如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵 =6cm，𝐵𝐶 =12cm，点P从点A出发沿𝐴𝐵以1cm/𝑠的速度向点B移动，
同时，点Q从点B出发沿𝐵𝐶以2cm/𝑠的速度向点C移动．
(1)几秒钟后点P、Q的距离为4√2？请说明理由；
(2)几秒钟后∠𝐷𝑄𝑃为直角？请说明理由；
(3)当𝐵𝑃 =𝐵𝑄时，Rt△𝑃𝐵𝑄内有一个动点M，连接𝑃𝑀 、𝑄𝑀、𝐵𝑀．若∠𝐵𝑄𝑀 =∠𝑀𝐵𝑃，线段𝑃𝑀的最小
值为______．
2
【答案】(1)2秒或 秒后，点P、Q的距离为4√2，理由见解析；
5
3
(2) 秒或6秒后，∠𝐷𝑄𝑃为直角，理由见解析；
2
(3)2√5−2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】（1）设运动时间为𝑡秒，则𝐴𝑃=𝑡cm，𝐵𝑄 =2𝑡cm，𝐵𝑃 =(6−𝑡)cm，利用勾股定理列方程求解，
即可得到答案；
（2）设运动时间为𝑡秒，则𝐴𝑃=𝑡cm，𝐵𝑄 =2𝑡cm，𝐵𝑃 =(6−𝑡)cm，𝐶𝑄 =(12−2𝑡)cm，利用勾股定理分
别表示出𝐷𝑃、𝐷𝑄、𝑃𝑄，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案；
（3）设运动时间为𝑡秒，根据题意求出𝑡 =2，进而得到𝐵𝑃 =𝐵𝑄 =4，取𝐵𝑄的中点 N，连接𝑀𝑁、𝑃𝑁，先
证明△𝐵𝑀𝑄直角三角形，进而得到𝑀𝑁 =𝐵𝑁 =2，再利用勾股定理，求得𝑃𝑁 =2√5，最后根据两点间线段
最短，得到𝑃𝑀+𝑀𝑁的最小值，即可求出线段𝑃𝑀的最小值．
【详解】（1）解：设运动时间为𝑡秒，
∴𝐴𝑃=𝑡cm，𝐵𝑄 =2𝑡cm，
∵𝐴𝐵 =6cm，
∴𝐵𝑃=(6−𝑡)cm，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∴∠𝐵 =90°，
由勾股定理得：𝐵𝑃2+𝐵𝑄2 =𝑃𝑄2，
∵𝑃𝑄 =4√2，
2
∴(6−𝑡)2+(2𝑡)2 =(4√2) ，
整理得：(𝑡−2)(5𝑡−2)=0
2
解得：𝑡 =2或𝑡 = ，
5
2
∴2秒或 秒后，点P、Q的距离为4√2；
5
（2）解：设运动时间为𝑡秒，
∴𝐴𝑃=𝑡cm，𝐵𝑄 =2𝑡cm，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∴𝐴𝐵 =𝐶𝐷 =6cm，𝐵𝐶 =𝐴𝐷=12cm，∠𝐴 =∠𝐵 =∠𝐶 =90°，
∴𝐵𝑃=(6−𝑡)cm，𝐶𝑄 =(12−2𝑡)cm，
在Rt△𝑃𝐴𝐷中，𝐷𝑃2 =𝐴𝐷2+𝐴𝑃2 =122+𝑡2 =𝑡2+144，
在Rt△𝑃𝐵𝑄中，𝑃𝑄2 =𝐵𝑃2+𝐵𝑄2 =(6−𝑡)2+(2𝑡)2 =5𝑡2−12𝑡+36，
在Rt△𝐷𝐶𝑄中，𝐷𝑄2 =𝐶𝐷2+𝐶𝑄2 =62+(12−2𝑡)2 =4𝑡2−48𝑡+180，
∵∠𝐷𝑄𝑃为直角，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由勾股定理得：𝐷𝑃2 =𝐷𝑄2+𝑃𝑄2，
∴𝑡2+144=(4𝑡2−48𝑡+180)+(5𝑡2−12𝑡+36)，
整理得：2𝑡2−15𝑡+18 =0，即(2𝑡−3)(𝑡−6)=0
3
解得：𝑡 = 或𝑡 =6，
2
3
∴ 秒或6秒后，∠𝐷𝑄𝑃为直角；
2
（3）解：设运动时间为𝑡秒，则𝐴𝑃 =𝑡cm，𝐵𝑄 =2𝑡cm，𝐵𝑃 =(6−𝑡)cm
∵𝐵𝑃=𝐵𝑄，
∴6−𝑡 =2𝑡，
解得：𝑡 =2，
∴𝐵𝑃=𝐵𝑄 =4，
如图，取𝐵𝑄的中点N，连接𝑀𝑁、𝑃𝑁，
∵∠𝑃𝐵𝑄=90°，
∴∠𝑀𝐵𝑃+∠𝑀𝐵𝑄=90°，
∵∠𝐵𝑄𝑀 =∠𝑀𝐵𝑃，
∴∠𝐵𝑄𝑀+∠𝑀𝐵𝑄=90°，
∴∠𝐵𝑀𝑄=90°，
∵点N是𝐵𝑄的中点，
1
∴𝑀𝑁 = 𝐵𝑄 =𝐵𝑁 =2，
2
在Rt△𝑃𝐵𝑁中，𝑃𝑁 =√𝐵𝑃2+𝐵𝑁2 =√42+22 =2√5，
∵𝑃𝑀+𝑀𝑁 ≥𝑃𝑁，即𝑃、𝑀、𝑁三点共线，𝑃𝑀+𝑀𝑁有最小值，最小值为𝑃𝑁的长2√5，
∴𝑃𝑀的最小值为𝑃𝑁−𝑀𝑁 =2√5−2，
故答案为：2√5−2．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解一元二
次方程，最短线段问题等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题关键，属于中考常考题型．
27．如图，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶 =90°，𝐴𝐶 = 6cm，𝐵𝐶=8cm，点𝑃从𝐵点出发以每秒1cm的速度向𝐶点运动，
同时𝑄从𝐶点出发以相同的速度向𝐴点运动，当其中一个点到达目的地时另一点自动停止运动，设运动时间
为𝑡(s)。
(1)多长时间后△𝐶𝑃𝑄的面积为6cm2
(2)多长时间后𝑃点、𝑄点的距离为5√2cm2？
【答案】(1)经过2s或6s时，△𝐶𝑃𝑄的面积为6cm2
(2)1秒后𝑃点、𝑄点的距离为5√2cm2
【分析】（1）由𝐵𝐶的长度，结合点𝑃的出发点、运动方向及运动时间即可用含𝑡的代数式表示出𝐶𝑃的长，由
点𝑄的出发点、运动方向及运动时间即可用含𝑡的代数式表示出𝐶𝑄的长，由𝐵𝐶，𝐴𝐶的长及点𝑃，𝑄的运动速
度，即可找出 t 的取值范围，利用三角形的面积计算公式，结合△𝐶𝑃𝑄的面积，即可得出关于𝑡的一元二次
方程，解之即可得出结论．
（2）根据勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】（1）∵𝐵𝐶 =8cm，点𝑃从𝐵点出发以每秒1cm的速度向𝐶点运动，
∴当运动时间为𝑡(s)时，𝐶𝑃 =(8−𝑡)cm；
∵点𝑄从𝐶点出发以每秒1𝑐𝑚的速度向𝐴点运动，
∴𝐶𝑄 =𝑡 cm．
∵𝐴𝐶 =6cm，𝐵𝐶 =8cm，点𝑃，𝑄的运动速度为每秒1cm，且当其中一个点到达目的地时，另一点自动停止
运动，
∴𝑡的取值范围为0⩽𝑡 ⩽6．
1
依题意得： (8−𝑡)𝑡 =6，
2
整理得：𝑡2−8𝑡+12=0，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解得：𝑡 =2，𝑡 =6．
1 2
答：经过2s或6s时，△𝐶𝑃𝑄的面积为6cm2．
（2）∵𝐶𝑃 =(8−𝑡)，𝐶𝑄 =𝑡
△𝐶𝑃𝑄是直角三角形，
∴𝐶𝑃2+𝐶𝑄2 =𝑃𝑄2
2
依题意，(8−𝑡)2+𝑡2 =(5√2)
解得𝑡 =1,𝑡 =7
1 2
∵0⩽𝑡 ⩽6
∴𝑡 =1
答：1秒后𝑃点、𝑄点的距离为5√2cm2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列勾股定理，根据题意列出方程是解题的关键．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，
同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．
(1)几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
(2)是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3秒或√41秒
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）设𝑡秒后点𝑃、𝐷的距离是点𝑃、𝑄距离的2倍，根据勾股定理可得𝑃𝐷2 =4𝑃𝑄2，然后再代入相
应数据可得方程82+(2𝑡)2 =4[(10−2𝑡)2+𝑡2]，再解即可；
（2）设𝑥秒后Δ𝐷𝑃𝑄的面积是24cm2，利用矩形面积−Δ𝐷𝑃𝑄的面积=周围三个三角形面积和列方程即可．
【详解】（1）设𝑡秒后点𝑃、𝐷的距离是点𝑃、𝑄距离的2倍，
∴𝑃𝐷 =2𝑃𝑄，
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是矩形，
∴∠𝐴=∠𝐵 =90°，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴𝑃𝐷2 =𝐴𝑃2+𝐴𝐷2，𝑃𝑄2 =𝐵𝑃2+𝐵𝑄2，
∵𝑃𝐷2 =4𝑃𝑄2，
①0<𝑡 ≤5时，
∴82+(2𝑡)2 =4[(10−2𝑡)2+𝑡2]，
解得：𝑡 =3，𝑡 =7；
1 2
∵𝑡 =7时10−2𝑡 < 0，
∴𝑡 =3，
②5<𝑡 ≤8时，
𝑃𝐷 =√𝐴𝐵2+𝐴𝐷2 =2√41，
∵𝑃𝐷 =2𝑃𝑄，
∴𝑃𝑄 =√41，
∵点𝑄从点𝐵出发沿𝐵𝐶以1cm/s的速度向终点𝐶运动，
∴𝑡 =√41，
答：3秒或√41秒后，点𝑃、𝐷的距离是点𝑃、𝑄的距离的2倍；
（2）不存在，理由如下：
设𝑥秒后Δ𝐷𝑃𝑄的面积是22cm2，
∵𝑆 =𝑆 −𝑆 −𝑆 −𝑆 ．
Δ𝐷𝑃𝑄 四边形𝐴𝐵𝐶𝐷 Δ𝐴𝐷𝑃 Δ𝐵𝑄𝑃 Δ𝐷𝐶𝑄
1 1 1
∴ ×8×2𝑥+ (10−2𝑥)⋅𝑥+ (8−𝑥)×10=80−22，
2 2 2
整理得𝑥2−8𝑥+18=0，
∵该方程无解，
∴不存在时间𝑡使得Δ𝐷𝑃𝑄的面积是22cm2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程求解是
解题的关键．
29．如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵 =90°，𝐴𝐶 =13，𝐵𝐶 =12，点𝑃从点𝐵开始沿𝐵𝐴边向点𝐴以每秒3个单位的速
度移动；同时，点𝑄也从点𝐵开始沿𝐵𝐶边向点𝐶以每秒4个单位的速度移动，当𝑃、𝑄中有一点到达终点时，
两点同时停止运动．设时间为𝑡秒．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）由已知可得𝐴𝐵 =_______．
（2）求𝑡为何值时，四边形𝐴𝑃𝑄𝐶的面积为24？此时𝑃与𝑄的距离是多少？
（3）请直接写出当𝑡为何值时，以点𝐴、𝐵、𝐶、𝑃、𝑄中的三个点为顶点的三角形是等腰三角形．
5 4 119 5
【答案】（1）5；（2）𝑡为1，𝑃与𝑄的距离是5；（3） ， ， 或
4 3 96 8
【分析】（1）根据勾股定理求解即可；
（2）根据𝑆 =𝑆 −𝑆 ，得出关于t的等式30−6𝑡2 =24，然后求解即可；
𝛥𝑃𝑄𝐶 𝛥𝐴𝐵𝐶 𝛥𝐵𝑃𝑄
（3）根据等腰三角形的判定求解即可．
【详解】解：（1）∵ 𝐴𝐶 =13，𝐵𝐶 =12，∠𝐵 =90°，
∴𝐴𝐵 =√132−122 =5
（2）𝑆 =𝑆 −𝑆 ，
𝛥𝑃𝑄𝐶 𝛥𝐴𝐵𝐶 𝛥𝐵𝑃𝑄
𝑆 =30
𝛥𝐴𝐵𝐶
1 1
𝑆 = 𝐵𝑄⋅𝐵𝑃 = ⋅4𝑡⋅3𝑡 = 6𝑡2
𝛥𝐵𝑃𝑄 2 2
即30−6𝑡2 =24，
6𝑡2 =6
𝑡 =±1，
∵𝑡 =−1（舍），
∴𝑡 =1，
即𝐵𝑃=3，𝐵𝑄= 4，
∴𝑃𝑄 =5．
（3）𝑃、𝑄两点到达终点时，
5
𝑡 = 𝑠，𝑡 =3𝑠
𝑃 3 𝑄
5
∴𝑃先到终点，用了 𝑠
3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司①𝛥𝐴𝐵𝐶（舍），
②𝛥𝐴𝐵𝑃（舍），
③𝛥𝐴𝐵𝑄⇒𝐴𝐵 =𝑄𝐵 =5，
5
∴𝑡 =
4
④𝛥𝐵𝐶𝑃（舍），
⑤𝛥𝐶𝑃𝑄 ⇒𝐶𝑄 =𝑃𝑄，
4
∴𝑡 =
3
⑥𝛥𝐴𝐶𝑄⇒ 𝐴𝑄=𝐶𝑄，
119
∴𝑡 =
96
⑦𝛥𝐴𝐶𝑃（舍），
⑧𝛥𝐵𝐶𝑄（舍），
⑨𝛥𝐴𝑃𝑄⇒𝐴𝑃 =𝑃𝑄，
5
∴𝑡 =
8
5 4 119 5
综上所述，𝑡 = ， ， 或 ．
4 3 96 8
【点睛】本题考查了勾股定理及考查一元二次方程的实际运用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关
键．
30．如图1，𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵 =90°， 𝐴𝐵 =6cm， 𝐵𝐶 =8cm，点𝑃从点𝐴开始沿𝐴𝐵边向点𝐵以1cm/s的速
度移动，与此同时，点𝑄从点𝐵开始沿𝐵𝐶向点𝐶以2cm/s的速度移动．如果𝑃，𝑄同时分别从𝐴，𝐵点出发，设
出发时间为𝑡s(𝑡 >0)．
（1）当𝑡为何值时，△𝑃𝐵𝑄的面积是8cm2？
（2）当𝑡为何值时，点𝑃和点𝑄间的距离是6cm？
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）如图2，若点𝑃，点𝑄同时从𝐵点出发，点𝑃沿折线𝐵𝐴−𝐴𝐶移动，点𝑄沿折线𝐵𝐶−𝐶𝐴移动，其余条件
均不变，求当𝑃，𝑄在𝐷点相遇时，点𝐷与点𝐵的距离．
12 8
【答案】（1）2s或4s；（2）𝑡 = 𝑠；（3） √10𝑐𝑚
5 5
1
【分析】（1）根据题意表示出BP，BQ，然后利用𝑆 = 𝑃𝐵⋅𝐵𝑄 =8列出方程，解方程即可；
△𝑃𝐵𝑄 2
（2）根据勾股定理列出一个关于t的一元二次方程，解方程即可得出答案；
（3）首先根据勾股定理求出 AC 的长，作𝐷𝐸 ⊥ 𝐴𝐶于点 E，连接 DB，则 DE 可求，进而利用勾股定理求出
AE的长度，则可得出DE的长度，最后再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）根据题意有𝐴𝑃 =𝑡,𝐵𝑄 =2𝑡，
∵𝐴𝐵 =6，
∴𝑃𝐵 =𝐴𝐵−𝐴𝑃=6−𝑡，
1 1
∴𝑆 = 𝑃𝐵⋅𝐵𝑄 = (6−𝑡)⋅2𝑡 =8，解得𝑡 =2或𝑡 =4，
△𝑃𝐵𝑄 2 2
∴当t为2s或4s时，△𝑃𝐵𝑄的面积是8cm2；
（2）∵∠𝐵 =90°，
∴𝐵𝑃2+𝐵𝑄2 =𝑃𝑄2，
即(6−𝑡)2+(2𝑡)2 =62，解得𝑡 = 12 或𝑡 =0（舍去），
5
12
∴当𝑡 = 𝑠时，点𝑃和点𝑄间的距离是6cm；
5
（3）∵∠𝐵 =90°,𝐴𝐵 =6𝑐𝑚,𝐵𝐶 =8𝑐𝑚，
∴𝐴𝐶 =√62+82 =10𝑐𝑚．
根据题意得(1+2)𝑡 =6+8+10，解得𝑡 =8，
∴𝐴𝐷 =8−6=2𝑐𝑚．
作𝐵𝐸 ⊥ 𝐴𝐶于点E，连接DB，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司𝐴𝐵⋅𝐵𝐶 6×8 24
则𝐵𝐸 = = = ，
𝐴𝐶 10 5
2
∴𝐴𝐸 =√𝐴𝐵2−𝐵𝐸2 =√62+( 24 ) = 18 𝑐𝑚 ，
5 5
8
∴𝐷𝐸 =𝐴𝐸−𝐴𝐷= 𝑐𝑚 ，
5
2 2
∴𝐵𝐷=√𝐵𝐸2+𝐷𝐸2 =√( 24 ) +( 8 ) = 8 √10𝑐𝑚．
5 5 5
【点睛】本题主要考查三角形中的动点问题，掌握勾股定理，一元二次方程的解法是解题的关键．
【类型四 围栏问题】
31．在足够大的空地上有一段长为32米的旧墙𝑀𝑁，王爷爷要利用旧墙和60米的木栏围成中间有一道木栏
𝐸𝐹的矩形菜园𝐴𝐵𝐶𝐷，其中𝐴𝐷 ≤𝑀𝑁，如图所示，设𝐴𝐵 =𝑥米．
(1)𝐵𝐶的长为__________米（用含𝑥的式子表示）；
(2)若所围成的矩形菜园𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为300平方米，求𝑥的值；
(3)嘉嘉说：“当矩形菜园𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为297平方米时，有两种围法．”请你判断嘉嘉的说法是否正确，并通
过计算说明．
【答案】(1)(60−3𝑥)
(2)𝑥 =10
(3)嘉嘉的说法不正确，理由见解析
【分析】（1）设𝐴𝐵 =𝑥米，根据60米的木栏表示出𝐵𝐶的长即可；
（2）根据矩形的面积公式列出方程求解即可；
1
（3）首先根据题意得到60−3𝑥 ≤ 32，求得𝑥 ≥9 ，根据矩形的面积公式列出方程求解即可．
3
【详解】（1）根据题意可得，
∵𝐴𝐵 =𝑥
∴𝐸𝐹 =𝐶𝐷 =𝐴𝐵 =𝑥
∴𝐵𝐶 =60−(𝐴𝐵+𝐸𝐹+𝐶𝐷) =60−3𝑥；
（2）根据题意可得：𝑥(60−3𝑥) =300
解得𝑥 =𝑥 =10；
1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）不正确，理由如下：
∵𝐴𝐷 ≤𝑀𝑁
1
60−3𝑥 ≤32，解得𝑥 ≥9 ，
3
根据题意可得，
𝑥(60−3𝑥) =297
解得𝑥 =9（应舍去），𝑥 =11
1 2
∴𝑥 =11．
∴嘉嘉的说法不正确，只有一种围法．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
32．如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃𝐴𝐵𝐶𝐷，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围．墙可利用的最大长度为
15 m，篱笆长为24 m，设平行于墙的边𝐵𝐶长为x m．
(1)若围成的花圃面积为40 m2，求𝐵𝐶的长；
(2)如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为48 m2，请你判断能否围成花圃．如
果能，求𝐵𝐶的长；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)𝐵𝐶的长为4米．
(2)能围成花圃，𝐵𝐶的长为12米
【分析】（1）设平行于墙的𝐵𝐶边长为 xm，由于篱笆总长为 24m，由此得到𝐴𝐵，接着根据题意列出方程，
解方程即可求出𝐵𝐶的长．
（2）设平行于墙的𝐵𝐶边长为xm，根据题意列出方程，解方程即可求出𝐵𝐶的长．
【详解】（1）解：设平行于墙的𝐵𝐶边长为xm．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司24−𝑥
根据题意得：𝐴𝐵 = m，
2
24−𝑥
则 ⋅𝑥 =40，
2
解得：𝑥 =20，𝑥 =4，
1 2
因为20>15，
所以𝑥 =20舍去，
答：𝐵𝐶的长为4米．
（2）设平行于墙的边𝐵𝐶长为x m．
24−𝑥
根据题意得：𝐴𝐵 = m，
3
24−𝑥
则 ⋅𝑥 =48，
3
解得𝑥 =12，
∵12<15,
∴能围成花圃，𝐵𝐶的长为12米．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然
后根据题意列出方程即可解决问题．
33．如图，老王想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长38m）围成一个矩形羊圈𝐴𝐵𝐶𝐷，并在
边𝐵𝐶上留一个2m宽的门（建在𝐸𝐹处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)长为32m，宽为20m
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵 =𝑥m，则边𝐵𝐶 =(72−2𝑥)m，由面积关系建立方程并解之，验证根的
合理性即可；
（2）由（1）所设，由面积关系建立方程，计算判别式，由判别式的值即可作出判断．
【详解】（1）解：设矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵 =𝑥m，则边𝐵𝐶 =70−2𝑥+2=(72−2𝑥)m．
根据题意，得：𝑥(72−2𝑥) =640，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司化简，得：𝑥2−36𝑥+320=0，解得：𝑥 = 16，𝑥 =20，
1 2
当𝑥 =16时，72−2𝑥 =72−32=40>38，不符合，舍去；
当𝑥 =20时，72−2𝑥 =72−40=32；
答：当羊圈的长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈；
（2）答：不能
理由：由题意，得：𝑥(72−2𝑥) =650，化简，得𝑥2−36𝑥+325 =0，
∵Δ=(−36)2−4×325=−4< 0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到650m2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、并列出一元二次方程是解题的关键．
34．学校课外兴趣活动小组准备利用长为8m的墙𝐴𝐵和一段长为26m的篱笆围建一个矩形苗圃园，设平行于
墙一边𝐶𝐷长为𝑥m．如图，如果矩形苗圃园的一边由墙𝐴𝐵和一节篱笆𝐵𝐹构成，另三边由篱笆𝐴𝐶𝐷𝐹围成．
(1)𝐴𝐶 =___________m：(用含𝑥的代数式表示)
(2)当苗圃园的面积为60m2时，求𝑥的值．
【答案】(1)(17−𝑥)
(2)𝑥 =12．
【分析】（1）由矩形的性质即可得出答案；
（2）由矩形的面积公式，列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵四边形𝐴𝐶𝐷𝐹是矩形，
∴𝐴𝐶 =𝐷𝐹，𝐴𝐹 =𝐶𝐷，
26+8−2𝑥
∴𝐴𝐶 = =(17−𝑥)m；
2
故答案为：(17−𝑥)；
（2）由题意得：(17−𝑥)𝑥 =60，
解得：𝑥 =5，𝑥 =12，
1 2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当𝑥 =5时，𝑥 <8，不合题意，舍去，
∴𝑥 =12，
【点睛】本题考查了矩形的性质、一元二次方程的应用等知识，由矩形面积公式，列出一元二次方程是解
题的关键．
35．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃，已知墙长为18米，设这个苗圃垂直于
墙的一边长为𝑥米．
(1)若苗圃的面积为72平方米，求𝑥的值．
(2)能否围成面积为120平方米的矩形苗圃，为什么？
【答案】(1)𝑥 =12
(2)不能围成面积为120平方米的矩形苗圃．
【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可得出答案；
（2）先根据题意可得𝑥(30−2𝑥) =120，再判断方程是否有解即可．
【详解】（1）解：依题意可列方程𝑥(30−2𝑥) =72，
∴𝑥2−15𝑥+36=0．
解得𝑥 =3，𝑥 =12．
1 2
当𝑥 =3时，30−2𝑥 =24>18，故舍去；
当𝑥 =12时，30−2𝑥 =6<18，
∴𝑥 =12；
（2）依题意，𝑥(30−2𝑥) =120．
∴𝑥2−15𝑥+60=0；
∴Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =(−15)2−4×1×60=225−240=−15<0，
∴原方程无解，
∴不能围成面积为120平方米的矩形苗圃．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和根的判别式的应用，确定相等关系建立方程是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司36．如图，有长为12米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度𝑎为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方
形花圃．
(1)如果要围成面积为9平方米的花圃，𝐴𝐵的长是多少米？
(2)能围成面积比9平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)3米或1米；
(2)能围成面积比9平方米更大的花圃，当𝐴𝐵长为2米，𝐵𝐶为6米时，有最大面积为12平方米．
【分析】（1）设𝐴𝐵的长是x米，则𝐵𝐶的长为(12−3𝑥)米，根据长方形的面积公式得到关于x的方程，然后
求解方程即可；
（2）利用配方法将（1）中的一元二次方程变形即可得到答案．
【详解】（1）设𝐴𝐵的长是x米，则𝐵𝐶的长为(12−3𝑥)米，
根据题意得：(12−3𝑥)𝑥 =9，
解得𝑥 =3，𝑥 =1，
1 2
当𝑥 =3时，长方形花圃的长为12−3𝑥 =3；
当𝑥 =1时，长方形花圃的长为12−3𝑥 =9，
均符合题意；
∴𝐴𝐵的长为3米或1米；
（2）花圃的面积为：(12−3𝑥)𝑥 =−3𝑥2+12𝑥 =−3(𝑥−2)2+12，
∵−3(𝑥−2)2 ≤0，
∴−3(𝑥−2)2+12≤12
∴当𝑥 =2时，花圃有最大面积12，
∴能围成面积比9平方米更大的花圃，当𝐴𝐵长为2米，𝐵𝐶为6米时，有最大面积为12平方米．
【点睛】本题主要考查一元二次方程与配方法的应用，解此题的关键在于设出未知数，根据题意列出一元
二次方程．
37．如图1，张爷爷用30m长的隔离网在一段15m长的院墙边围成矩形养殖园．已知矩形的边𝐶𝐷院墙，𝐴𝐷
和𝐵𝐶与院墙垂直．设𝐴𝐵的长为𝑥m．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)当围成的矩形养殖园面积为108m2时，求𝐵𝐶的长；
(2)如图2，张爷爷打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道隔离网．已知两道隔离网
与院端垂直．请问此时养殖园的面积能否达到100m2？若能，求出𝐴𝐵的长；若不能．请说明理由．
【答案】(1)𝐵𝐶的长为9m
(2)不能．理由见解析
30−𝑥
【分析】（1）由𝐴𝐵 =𝑥m，表示𝐴𝐷 =𝐵𝐶 = m，再利用矩形的面积公式列方程，再解方程即可；
2
30−𝑥
（2）由𝐴𝐵 =𝑥m，表示𝐴𝐷 =𝐵𝐶 = m，再利用矩形的面积公式列方程，结合一元二次方程根的判别式
4
可得答案．
30−𝑥
【详解】（1）解：由𝐴𝐵 =𝑥m，得𝐴𝐷 =𝐵𝐶 = m，
2
30−𝑥
根据题意，得 ⋅𝑥 =108，
2
整理，得𝑥2−30𝑥+216=0，
解得𝑥 =12，𝑥 =18>15 （舍去）．
1 2
30−12
当𝑥 =12时，𝐵𝐶 = =9(m)
2
答：𝐵𝐶的长为9m．
（2）不能．理由如下：
30−𝑥
由𝐴𝐵 =𝑥m，得𝐴𝐷= 𝐵𝐶 = m，
4
30−𝑥
根据题意，得 ⋅𝑥 =100，
4
整理，得𝑥2−30𝑥+400=0．
Δ=(−30)2−4×1×400 =−700< 0，
∴该方程无实数根．
∴此时养殖园的面积不能达到100m2．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的确定相等关系，再建立方程是解本题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司38．某体育场准备利用一堵呈“L”形的围墙（粗线𝐴−𝐵−𝐶表示墙，墙足够高）改建室外篮球场，如图所示，
已知𝐴𝐵 ⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵 =8米，𝐵𝐶 =70米，现计划用总长为136米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场，并在
每个篮球场开一个宽3米的门（细线表示围网，两个篮球场之间用围网𝐺𝐻隔开），为了充分利用墙体，点F
必须在线段𝐵𝐶上，设𝐸𝐹的长为x米．
(1)𝐷𝐸 =___________米；（用含x的代数式表示）；
(2)若围成的篮球场𝐵𝐷𝐸𝐹的面积为1200平方米，求𝐸𝐹的长；（围网及墙体所占面积忽略不计）
(3)篮球场𝐵𝐷𝐸𝐹的面积是否能达到1900平方米？请说明理由．
【答案】(1)150−3𝑥
(2)40米
(3)篮球场𝐵𝐷𝐸𝐹的面积不能达到1900平方米，理由见解析
【分析】（1）根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出𝐷𝐸的长；
（2）根据围成的篮球场𝐵𝐷𝐸𝐹的面积为1200平方米，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的
值即可；
（3）令篮球场的面积等于1900平方米，列出关于x的一元二次方程，由根的判别式得出方程没有实数根，
即可得出结论．
【详解】（1）解：∵𝐸𝐹的长为x米，
∴𝐷𝐸 =136+3+3−(3𝑥−8)=150−3𝑥，
故答案为：150−3𝑥；
（2）解：由题意可得，𝑥(150−3𝑥) =1200，
解得𝑥 =40，𝑥 =10，
1 2
当𝑥 =40时，150−3𝑥 =150−3×40=30< 70，符合题意；
当𝑥 =10时，150−3𝑥 =150−3×10=120 >70，不符合题意，故舍去，
答：篮球场的宽𝐸𝐹的长为40米．
（3）解：篮球场𝐵𝐷𝐸𝐹的面积不能达到1900平方米，理由如下：
由题意可得，𝑥(150−3𝑥) =1900，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司整理得，3𝑥2−150𝑥+1900 =0，
∵Δ=(−150)2−4×3×1900= −300<0，
∴该方程没有实数根，
∴篮球场𝐵𝐷𝐸𝐹的面积不能达到1900平方米．
39．如图，要利用一面墙（墙长为60米），用100米的围栏建菜园（围栏无剩余），基本结构为三个大小相
同的矩形．
(1)如果围成的总面积为400平方米，求菜园的边𝐴𝐵、𝐵𝐶的长各为多少米？
(2)保持菜园的基本结构，菜园总面积是否可以达到840平方米？请说明理由．
【答案】(1)𝐴𝐵长为20米，𝐵𝐶长为20米
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设𝐴𝐵 =𝑥米，则𝐵𝐶 =(100−4𝑥)米，由矩形面积公式列出关于x的方程，解之可得；
（2）设𝐴𝐵 =𝑦米时，根据菜园的总面积为840平方米，列方程𝑦(100−4𝑦)=840，即𝑦2−25𝑦+210=0，
再根据Δ =𝑏2−4𝑎𝑐 =(−25)2−4×1×210=−215 <0，得出方程无解，即可得出结论．
【详解】（1）解：设𝐴𝐵 =𝑥米，则𝐵𝐶 =(100−4𝑥)米，
∵100−4𝑥 ≤ 60，
∴𝑥 ≥10
由题意知：𝑥(100−4𝑥) =400，
即𝑥2−25𝑥+100=0，
解得：𝑥 =20，𝑥 =5（舍）
1 2
∴𝐴𝐵 =20米，𝐵𝐶 =100−4×20=20米
答：菜园的边𝐴𝐵长为20米，𝐵𝐶长为20米．
（2）解：不能．
理由：设𝐴𝐵 =𝑦米时，菜园的总面积为840平方米，
由题意得𝑦(100−4𝑦)=840，即𝑦2−25𝑦+210 =0
∵𝑎 =1，𝑏 =−25，𝑐 =210，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴Δ=𝑏2−4𝑎𝑐 =(−25)2−4×1×210=−215<0，
∴方程无实数根
∴菜园的总面积不能达到840平方米
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
40．如图，学校准备在围墙边用栅栏围成一个矩形场地𝐴𝐵𝐶𝐷（靠墙一面不用栅栏），用于修建自行车棚，
若所用栅栏的总长度为34米，墙的最大可用长度为18米，为了出入方便，在垂直于墙的一边留了一个2
米宽的门（门用其他材料），设栅栏𝐴𝐵的长为x米，
解答下列问题：
(1)若围成的自行车棚𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为154平方米，求栅栏𝐵𝐶的长；
(2)围成的自行车棚𝐴𝐵𝐶𝐷的面积能为200平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)栅栏𝐵𝐶的长为14米；
(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）根据题意，列出一元二次方程，求解即可；
（2）根据题意，列出一元二次方程，判断判别式即可求解．
【详解】（1）解：设栅栏𝐴𝐵的长为x米，则𝐵𝐶的长度为：(36−2𝑥)米
由题意可得：(36−2𝑥)𝑥 =154
化简可得：𝑥2−18𝑥+77=0
解得𝑥 =11或𝑥 =7
当𝑥 =7时，36−2𝑥 =22>18，不符合题意，舍去，
当𝑥 =11时，36−2𝑥 =14<18，符合题意，
栅栏BC的长为14米；
（2）不能，理由如下：
设栅栏𝐴𝐵的长为x米，则𝐵𝐶的长度为：(36−2𝑥)米
由题意可得：(36−2𝑥)𝑥 =200
化简可得：𝑥2−18𝑥+100=0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司判别式Δ =182−4×100 =−76<0
方程𝑥2−18𝑥+100=0无实数解，
即围成的自行车棚𝐴𝐵𝐶𝐷的面积不能为200平方米．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根的情况与判别式的关系，解题的关键是理解题意，找到等量
关系，正确的列出方程．
【类型五 数字问题】
41．一个数字和为10的两位数，把个位与十位数字对调后得到一个两位数，这两个两位数之积是2296，则
这个两位数是多少？
【答案】28或82
【分析】设原两位数个位数字为𝑥，则十位数字为10−𝑥，根据这两个两位数之积是2296，列方程进行求解
即可．
【详解】解：设原两位数个位数字为𝑥，则十位数字为10−𝑥，
根据题意得：[10(10−𝑥)+𝑥][10𝑥+(10−𝑥)]=2296，
解得：𝑥 =8或𝑥 =2，
∴这个两位数是28或82．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能够设出未知数并表示出这两个数．
42．一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原
两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数为26．
【分析】设原来的两位数十位上的数字为𝑥，根据“原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位
数”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设原来的两位数的十位数字为𝑥，
𝑥(10𝑥+𝑥+4)+10=10(𝑥+4)+𝑥，
整理得：11𝑥2−7𝑥−30=0，
15
解得：𝑥 =2，𝑥 =− （不符合题意，舍去），
1 2 11
𝑥+4=6，
答：原来的两位数为26．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司43．一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原
来的两位数的乘积为252，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数是12或21
【分析】设原来的两位数十位上的数字为𝑥，则个位上的数字为(3−𝑥)，根据“新两位数与原来的两位数的
乘积为252”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】设原来的两位数十位上的数字为𝑥，则个位上的数字为(3−𝑥)，
依题意得：(10𝑥+3−𝑥)[10(3−𝑥)+𝑥] =252，
整理得：𝑥2−3𝑥+2=0，
解得：𝑥 =1，𝑥 =2，
1 2
当𝑥 =1时，3−𝑥 =2，
当𝑥 =2时，3−𝑥 =1，
∴原来的两位数是12或21，
答：原来的两位数是12或21．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键．
44．一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位
数放在这个两位数的右边所成的三位数大252，求这个两位数．
【答案】16或49
【分析】设一位数为𝑥，则两位数为𝑥2，根据题意列出方程求解即可．
【详解】设一位数为𝑥，则两位数为𝑥2．
则根据题意可得：100𝑥+𝑥2 −(10𝑥2+𝑥) =252，
整理得：𝑥2−11𝑥+28=0．
分解得：(𝑥−4)(𝑥−7)=0，
解得：𝑥 =4，𝑥 =7．
1 2
答：这个两位数为16或49．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把一个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，可以表示
为100𝑥+𝑥2；把一个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数，可以表示为10𝑥2+𝑥，读懂题意，找出
等量关系式是解题的关键．
45．一个两位数，两个数字的和为5，把这个两位数的个位上的数字与十位上的数字互换得到一个新的两位
数，它与原两位数的积为736，求原两位数．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】23或32．
【分析】设原两位数字的十位数字为x，则个位数字为（5-x），根据“把这个两位数的个位数字与十位数字互
换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736”，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设原两位数字的十位数字为x，则个位数字为（5-x），
根据题意得：（10x+5-x）[10（5-x）+x]=736，
整理得：x2-5x+6=0，
解得：x1=2，x2=3，
∴5-x=3或2，
∴原两位数是23或32．
故答案为：23或32．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
46．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小
4，求这个两位数．
【答案】这个两位数为84．
【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数
解即可．
【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
解得：x1＝8，x2＝1.5（舍），∴x﹣4＝4，∴10x+（x﹣4）＝84．
答：这个两位数为84．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用；用到的知识点为：两位数＝10×十位数字+个位数字．
47．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．一个两位数，个位上的数
字比十位上的数字小4，且个位上数字与十位上数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数．
【答案】x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4，一般形式为：2x2－19x+24=0．
【分析】等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数
解即可．
【详解】设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
整理得：2x2－19x+24=0．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是找等量关系．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司48．一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位
数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．
【答案】42
【分析】可设个位数字为未知数，利用两个数字和为6表示出十位数字，根据新两位数×原来的两位数=1008
列方程求得个位上的数字及十位上的数字，再求原来的两位数即可．
【详解】设原两位数的个位数字为x，十位数字为（6－x），
根据题意可知：[10（6－x）+x]×[10x+（6－x）]=1008，
解得：x1=x2=2，
∴6－x=4，
故这个两位数是42．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，能正确用每一位上的数字表示这个两位数是解决此题的关键．
49．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，
得到的两位数比原来的两位数小27，求原来的两位数．
【答案】原两位数为74．
【分析】等量关系为：原来的两位数-新两位数=27，把相关数值代入计算可得各位上的数字，根据两位数的
表示方法求得两位数即可．
【详解】设原两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x2－9）．
∴10（x2－9）+x－10x－（x2－9）=27，
解得x1=4，x2=－3（不符合题意，舍去）．
∴x2－9=7，
∴原两位数为74．
【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练的掌握一元二次方程的应用是解题的关键.
50．一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所形成的两位数与原两位数的积是1008，
求原来的两位数．
【答案】这个两位数是42或24．
【分析】可设个位数字为未知数，利用两个数字和为6表示出十位数字，根据新两位数×原来的两位数=1008
列方程求得个位上的数字及十位上的数字，再求原来的两位数即可．
【详解】设原两位数的个位数字为𝑥，十位数字为(6−𝑥)，
根据题意可知：[10(6−𝑥)+𝑥][10𝑥+(6−𝑥)]=1008，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司即：𝑥2−6𝑥+8=0，
解得：𝑥 =2，𝑥 =4，
1 2
∴6−𝑥 =4，或6−𝑥 =2，
∴10(6−𝑥)+𝑥 =42或10(6−𝑥)+𝑥 =24，
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题目，设出合适的未知数，找出等量关系，列方
程求解.
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