文档文本内容
石景山区 2024 年高三统一练习
数 学
本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数中，在区间 上为减函数的是（ ）
.
A B. C. D.
3. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到
红球”为事件 ，“第二次取到红球”为事件 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 设 是三个不同平面，且 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 等差数列 的首项为1，公差不为0．若 成等比数列，则 的前5项和为（ ）
A. B. C. 5 D. 25
6. 直线 与圆 相交于 两点，则线段 的长度可能为（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 147. 已知函数 的部分图象如图所示，则 的值是（ ）
.
A B. 1 C. D.
8. 设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
9. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的
五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（ ）
A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 72种
10. 对于曲线 ，给出下列三个命题：
①关于坐标原点对称；
②曲线 上任意一点到坐标原点的距离不小于2；
③曲线 与曲线 有四个交点．
其中正确 的命题个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数z在复平面内对应的点为 ，则 ___________．
12. 斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点 ，且与该抛物线相交于 ， 两点，则 ______.13. 已知向量 满足 ， 与 的夹角为 ，则当实数 变化时， 的最小值为______．
14. 设函数 ，
①若 有两个零点，则实数 的一个取值可以是______；
②若 是 上的增函数，则实数 的取值范围是______．
15. 黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义 为： 时，
．若数列 ，给出下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围．
17. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ．
（1）求证： 平面 ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面 与平面 所成锐二面角的大
小．
条件①： ；
条件②： 平面 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
18. 为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑
假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层
的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：
表1：老山油松人工林林下灌木层
植物名称 植物类型 株数
酸枣 灌木 28
荆条 灌木 41
孩儿拳头 灌木 22
河朔荛花 灌木 4
臭椿 乔木幼苗 1
黑枣 乔木幼苗 1
构树 乔木幼苗 2
元宝槭 乔木幼苗 1
表2：妙峰山油松次生林林下灌木层
植物名称 植物类型 株数
黄栌 乔木幼苗 6
朴树 乔木幼苗 7
栾树 乔木幼苗 4
鹅耳枥 乔木幼苗 7
葎叶蛇葡萄 木质藤本 8
毛樱桃 灌木 9
三裂绣线菊 灌木 11胡枝子 灌木 10
大花溲疏 灌木 10
丁香 灌木 8
（1）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；
（2）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假
设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为 ，求 的分布列和数学期望；
（3）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同
植物名称的概率估计值为 ；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2
株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为 ．请直接写出 与 大小关系．（结论不要求证
明）
19. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
的
（2）求 在区间 上 最大值与最小值；
（3）当 时，求证： ．
20. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，过点 分别作直线 ，直线 与椭圆相切于第三象限内的点 ，直线
交椭圆 于 两点．若 ，判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由．
21. 已知集合 ，对于 ，，定义 与 之间的距离为 ．
（1）已知 ，写出所有的 ，使得 ；
（2）已知 ，若 ，并且 ，求 的最大值；
（3）设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：．
