文档文本内容
极限判断方法
与洛必达法则
赠课
极限的判断方法
1. 基本初等函数的极限
2n
x
2
1
n
x
1
x
ex
ln x
sin x
cos x
x
0
不存在 不存在
x
0
0
无意义 不存在 不存在
0
x
0
0
0 ,
x
1
x
1
0
1
0 ,
x
1
x
2. 极限的四则运算
若函数
y
f x
和
y
g x
在
0
x
x
处均存在极限，那么：
0
0
0
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
f x
g x
f x
g x
；
0
0
0
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
f x g x
f x
g x
；
0
0
0
0
lim
lim
lim
0
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
f x
f x
g x
g x
g x
.
3. 无穷大与无穷小
若用表示趋近于正无穷或负无穷的数，用表示趋近于正无穷的数，用表示趋近
于负无穷的数，用0 表示无穷小（趋近于0）的数，那么：
c
，
，
，0
0
0
，
不确定；
(
0)
c
c
，，0 0
0
，0不确定；
1
0
，1
0 ，0
0 、
不确定．
4. 不定式的极限——利用增长速度的快慢
有些形式的极限是不确定的，如：
；0；0
0 、
．
判断不定式的极限有两种方法：（1）利用各部分增长速度的快慢；（2）利用洛必达法则.
【方法1】当各部分增长速度不同时，整个式子的极限由增长更快的那个函数所决定.
当x 时，增长速度：
①指数函数幂函数对数函数；
②不同幂函数比较时，高次低次.
【注】在零点问题中，我们掌握方法一就足够了；洛必达法则只会在涉及端点效应的题目中出
现.
【1】判断下列函数的极限：
lim e
(
0)
x
n
x
x
n
，
lim ln
(
0)
n
x
x
x
n
，
e
lim
(
0)
x
n
x
n
x
，
ln
lim
(
0)
n
x
x n
x
，
lim
e (
0)
n
x
x
x
n
，
0
lim
ln (
0)
n
x
x
x n
.
【大坑点】
在判断极限时，首先一定要判断是否属于不定式：若为定式，直接求出极限即可。
【2】关于下列函数的极限，判断正确的是（ ）
①
0
x
时，ln
e x
x
x
②x 时，
1
0
e
sin
x
x
x
③x 时，ln
x
x
x
④x 时，e +1
0
x
x
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
【3】关于下列函数的极限，判断正确的是（ ）
①x 时，
2
ln
2sin
(
0)
x
ax
x
a
②
0
x
时，
e
ln
0
x
x
x
③
1
x
时，(
1)ln
e
e
x
a x
x
a
④x 时，
3
2
e x
a
x
x
ax
x
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
5. 洛必达法则
【思考】如何判断
1
lim
1
x
x
x
的极限?
5. 洛必达法则
法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
， (2)
，
那么
=
。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：
(1)
及
； (2)
，
那么
=
。
lim
0
x
a f x
lim
0
x
a g x
lim
x
a
f
x
l
g
x
lim
x
a
f x
g x
lim
x
a
f
x
l
g
x
lim
x
a f x
lim
x
a g x
lim
x
a
f
x
l
g
x
lim
x
a
f x
g x
lim
x
a
f
x
l
g
x
【注】使用洛必达法则时应注意：
①将上面公式中的x→a 换成x→+∞，x→-∞，洛必达法则也成立。
②洛必达法则可处理
，
，
型不定式。
③在着手求极限以前，首先一定要检查是否满足
，
，
型不定式，否则滥用洛必达
法则会出错。
④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
0
0
0
0
0
0
【4】求下列函数的极限
①
1
lim 2
x
x
x
②
0
sin
lim
x
x
x
③
0
lim
e
1
x
x
x
④
0
lim
ln
x
x
x
⑤
0
lim
ex
x
x
【总结】判断函数极限的一般步骤
1.判断函数中各项的极限；
2.利用四则运算法则判断该函数极限是否属于不定式：若为定式，则直接求出极限；若
为不定式，则利用各部分的增长速度或者利用洛必达法则判断极限。
